線性代數(shù)模擬題目-1章矩陣

線性代數(shù)與解析幾何1《微積分》《線性代數(shù)與解析幾何》教師：(miao):

k:2《線性代數(shù)與空間解析幾何》，高等教育參考《線性代數(shù)與解析幾何輔導(dǎo)》，或其它形式的《線性代數(shù)輔導(dǎo)》等準(zhǔn)備1個練習(xí)本，課上用準(zhǔn)備2個作業(yè)本(寫上學(xué)號),每周二交作業(yè)交大4§1.1

矩陣及其運(yùn)算5一、矩陣的概念二、矩陣的線性運(yùn)算三、矩陣的乘法四、矩陣的轉(zhuǎn)置例(價(jià)格數(shù)據(jù))四種食品(Food)在三家商店(Shop)中,單位量的售價(jià)可用以下數(shù)表給出F1

F2

F3

F4

7

7211

S123引例63

A

2

4

5

2

3

1

4

5

0

A

系數(shù)矩陣?yán)€性方程組2x1

3x2

14x1

5x2

02

x

3

y

174

x

5

y

0增廣矩陣8am1

x1

am

2

x2

a

amn

xn

bm21

x1

a22

x2

a2n

xn

b2

a11

x1

a12

x2一般的線性方程組

a1n

xn

b1mn

a

a

a

m

2

m1a2n

a1n

a11

a12

a21

a22對應(yīng)著兩個數(shù)表

a

a

a

b

b2

b1

m

2

mn

m1

m

a1na2n

a11

a12

a21

a22矩陣就是一個數(shù)表.矩陣是數(shù)學(xué)中一個極重要的應(yīng)用廣泛的工具.—、矩陣的定義921

222n

,amn

am

2

am1a1n

a11

a12

a

a

a記作A

aij表示第i行第j列元素.簡記為ijmnA

a

或Amn由m

n個數(shù)aij

(i

1,2,,

m;

j

1,2,,

n)排成的m行n列的數(shù)表簡稱m

n矩陣.稱為m行n列矩陣.1.定義10實(shí)矩陣元素是實(shí)數(shù).復(fù)矩陣

元素是復(fù)數(shù).例如

1

0

3

5

9

6

4

3是一個實(shí)矩陣,2

42

213

6 2i

2

2

22是一個

3

3

復(fù)矩陣,112

3

549

是一個1

4

矩陣,是一個11

矩陣.

4

2是一個3

1

矩陣,

7

51

2

310

143216543問題：試寫出413A122.一些特殊的矩陣零矩陣

元素全為零的矩陣稱為零矩陣，mnm

n零矩陣記作

O

或

o.O

0

0.

A

a1

,a2

,,an

,

000,

O

02122如行矩陣列矩陣只有一行的矩陣

an

a1

B

a2

,

只有一列的矩陣?yán)?

22

2

1

6

7是一個3階方陣.方陣行數(shù)與列數(shù)都等于n

的矩陣A

，也可記作

An

.一般的n階方陣：anA

a

a

n1

n221

a11

a12a22a11

,a22

,,ann稱為主矩陣(或?qū)顷嚕?nn

0

0

0

a22

0

0

0

a

a11形如

的方陣,稱為對角不全為014記作11

22A

diag

a

,

ann,,

a

.0

如

A

diag(

2,1)

2

0

1單位矩陣方陣，主對角元素全為1，其余元素都為零.記作

In

或

I

.nInn1

diag(1,1,...,1)

11nkkkI

k

全相等nn15數(shù)量矩陣上三角矩陣形如nn

0

a0

0a2n

的方陣.a1n

a11

a12a22下三角矩陣的方陣.nn

n2

n1形如

a2111

a

0

0

a22

0

a

a

a162

0

0

1

1

1，

0

0

0

0

0

1

2

3

0

1

上三角矩陣下三角矩陣11

2

1030

2

1

0

0

0例17二、矩陣的線性運(yùn)算18同型矩陣：Amn

,Bmn

3 7

3

9

1

2

14

3

例如

5

6與

8

4為同型矩陣.同階矩陣：An

,Bn與

0 1

1

2

1 5

3

2為同階矩陣.例

設(shè)B

1

x

3

,

y

1

z

A

1

2

3

,

3

1

2已知A

B,求x,y,z.解

A

B,

x

2,

y

3,

z

2.A與B相等：A

(aij

)與B

(bij

)同型，且aij

bij

,

i

1,...,

m;

j

1,...,

n記為A=B.1920注意：對于同型矩陣加法才有意義.

例如

1

1

0

1

1

1

0

1

2

0

11.加法：A與B同型，定義A

B

(aij

bij

).mn

mn

a

m1

bm1

am

2

m

2a2n

b2n

a1n

b1n

b12

b22

b

a

b

a11

b11

a12a22即A

B

a21

b2111

1

1

2

1A

與B

不能相加.

2

1

1

0

1

2

221減法負(fù)矩陣

mn

a

a

a

A

m1

m12n

2221

a11

a12

a1n

a

a

aaij

稱為矩陣A的負(fù)矩陣.A

B

A

(B) (對應(yīng)元素相減)A

B

A

B

O矩陣加法滿足的運(yùn)算規(guī)律交換律：A

B

B

A.結(jié)合律：(A

B)C

A(BC).AO

A,其中A與O是同型矩陣.A(A)O.222.數(shù)乘kA

(kaij

)ij(1)A

(a

)

A,21mn

m1

m1kaka2n

.

ka11

ka12

ka1n

ka

ka22

ka

kaij即kA

(ka

)

2

0

1

0

2

1

2

2

4例

1

023I

3

0

1

0

3

3

023(3)

A

A

A;

A

B;(4)

A

B

矩陣數(shù)乘滿足的運(yùn)算規(guī)律設(shè)A、B為m

n矩陣，

,

為數(shù)1A

AA

A

A;

結(jié)合律矩陣加法與數(shù)乘運(yùn)算合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.分配律兩個工廠生產(chǎn)甲,乙,丙三種產(chǎn)品.

矩陣表示一年中各工廠生產(chǎn)每種產(chǎn)品的數(shù)量,

矩陣AB表示每種產(chǎn)品的單位價(jià)格及單位利潤,

矩陣

C表示各工廠的總收入和總利潤.1.引例某地有1,2

a21A

a11

a12

a13

a22

a23

甲

乙

丙32

3121

22

b

b

b11B

b

bb12

甲12乙

丙單位 單位價(jià)格

利潤c22

11 12

c21

c

cC

12總收入

總利潤三、矩陣的乘法24收入=單位價(jià)格*數(shù)量利潤=單位利潤*數(shù)量25

a21A

a11

a12

a13

a22

a23

甲

乙

丙32

3121

22

b

b

b11B

b

bb12

甲12乙

丙單位

單位價(jià)格

利潤11 12

c21

c22

c

cC

12收入=單位價(jià)格*數(shù)量總收入

總利潤

利潤=單位利潤*數(shù)量c11

a11b11

a12b21

a13b31c12

a11b12

a12b22

a13b322623 32

21

12

22

2223

3122

21

21

11

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

ba11b12

a12b22

a13b32

a11b11

a12b21

a13b31c22

11

12

c21

c

cC

其中(i,

j

1,2)

ai

3b3

jcij

ai1b1

j

ai

2b2j23

22

21a

a

a

a11

a12

a13

A

32

3121

22

b

bb12

b11B

b

b3

aikbkjk

1連加號n

akk

1a1

a2

annk

1

k

3

13

23

n3例i

3 3

ji

2 2

ji1

1

j

a

b

a

b

a

b3k

1ik

kja

b2.矩陣的乘法AmtBtn

Cmn

(cij

)mn=Ccij.A……..第i

行第j列當(dāng)A的列數(shù)＝B的行數(shù)時(shí)，才有AB且乘積C=AB的行數(shù)為A的行數(shù)，列數(shù)為B的列數(shù)Btk

1其中

cij

ai1b1

j

ai

2b2

j

aitbtj

aikbkji

1,2,m;

j

1,2,,

n,29231

2

1A

1

1

132

1

2

2B

1

13例22

1

3

2

623

32A

B23

321

2

1

1

1

1

1

2

2

1

1311

(2)

(1)

1

(2)221

2

(2)1

1

31

2

11

1

311

1

(1)

1

(2)123A

32

1

2

2B

1

13

(

1)

1

11

(2)1

313132

1

2

2B32

A23

111

211231

2

11

11

2

11

1133

1

3

0

3

0

3

07(2)1

31

33(

1)

1

11

11

21

1

(2)

21(

1)

(2)

11(2)

(2)

31注意AB

BA,矩陣乘法不滿換律3091

1

2

3例如

8不存在.2

3當(dāng)A的列數(shù)＝B的行數(shù)時(shí)，才有AB313

332設(shè)

0.A

1

13

0

1

4

1

2

1

3B

1解3

4求AB4

3故

C

AB

56

7

102

6

2

17

10332

n

(b1

,

b2

,...,

bn

)

a

a

a1

解

AB

an

a

a

2

1

BA

(b1

,

b2

,...,

bn

)n n

a

b a

b

a

b

n

1

n

22

n

2

1

2

2

a1b2

a1bn

a

b a

b

a

b

a1b1

b1a1

b2a2

bnan2.設(shè)A

2a,B

(b1

,b2

,...,bn

).求AB,BA.

a

n

a1

32

3122211

2

3

aaa11

a123.

b

a解a12b1

a22b2

a32b33

b

b1

11

1

a

b2b1

b b3

=(

a11b1

a21b2

a31b3a13b1

a23b2

）

b2

3435an

nna

a14.2bn

nnb2

b1na

ba2b2n

nn

a1b1單位矩陣在矩陣乘法中的作用與數(shù)“1”在數(shù)的乘法中的作用一樣.Im

Amn

Amn

,

Amn

In

Amn

0

1

0

0

5.

0

1

001

3433

36373.矩陣乘法滿足的運(yùn)算規(guī)律(

AA(BC)

AB

AC,結(jié)合律分配律(BC)A

BACA;

左分配律(3)數(shù)乘結(jié)合律(AB)(A)B

A(B)（其中

為數(shù)）結(jié)合律右分配律數(shù)乘結(jié)合律ab

ba兩個非零數(shù)的乘積不為零，即：a

0,

b

0

ab

0或ab

0

a

0或b

0數(shù)的乘法滿足消去律，即：a

0,

ab

ac

b

c或ab

ac

a

0或b

c(1)數(shù)的乘法滿

換律，即：38但是換律，即：AB

BA,(2)兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣?yán)O(shè)

1

1A

11

1B

1

1

1

0

0

0

0則

AB

,故

AB

BA.

2

2

2,

2

BA

1 1

1

1

1

1 1

1A

O,

B

O,但AB

O(1)矩陣乘法不滿3940也有例外，如0,A

2

0

2

1,則有

2,2AB

2

2BA

2

2

22

AB

BA.特別的，當(dāng)AB=BA時(shí)，則稱A與B可交換。0,B

1

A

2

1

1

0

241例設(shè)

1

2A

2

41

1

3B

2則且B

C.但

A

O,

7

1C

1

2AB

(3)矩陣乘法不滿足消去律

AC

10

10

5 5

42am1

x1

am

2

x2

a例對于n元線性方程組

amn

xn

bmx

a

x

a

x

b

a1n

xn

b121

1

22

2

2n

n

2

a11

x1

a12

x2

m

a2n

xn

a1n

xna11

x1

a12

x2mn

n

b

a

x

a

x

a

x

b2

b1

m

2

2m1

1a21

x1

a22

x2

a2n

a1n

am

2

am1

a21

a11

a12a221

n

n1

x

x2

amn

mn

x

m

b

b

2

b1

方程組的矩陣表示令則上述方程組可用矩陣表示為

AX

=b

.系數(shù)矩陣am1

x1

am

2

x243

a

amn

xn

bmx

a

x

a

x

b

a1n

xn

b121

1

22

2

2n

n

2

a11

x1

a12

x2對于n元線性方程組

2221mn2n

mna1n

m1

m

2

a11

a12A

a

a

a

a

a

a,1

n

n1

x

x

,

X

x2

m

m1

b

b1

b

b2

方陣的冪注意4.方陣的冪和方陣的多項(xiàng)式Ak

AA

Ak個A顯然：

Ak

Am

Ak

m

,(

Ak

)m

Akm(

AB)k

Ak

Bk當(dāng)AB

BA時(shí),

(

AB)k

(

AB

)(

AB

)(

AB

)k個AB44當(dāng)AB

BA時(shí),(

AB)k

Ak

Bk

.450方陣的多項(xiàng)式

設(shè)f

(

x)

a

xk

a

x

ak

1為x的多項(xiàng)式,A是n階方陣，則f

(

A)

a

Ak

a

Ak

1

a

A

ak k

1

1

0稱為A的k次多項(xiàng)式.I例設(shè)

2

02A

,

f

(

x)

x

3x

4,0

3求f

(A)f

(

A)

A2

3A

4I

2

0

1

0

3

4

0

3

0

3

0

102

246f

(

A)

A2

3A

4I

2

0

1

0

3

4

0

3

0

3

0

102

2

6

0

4

0

9

0

9

0

4

0

4

0

0

2214 0

47再如

（A

I）2

A2

2A

I(

A

I

)(

A

I

)

A2

I設(shè)有多項(xiàng)式

f

(x),g(x),A

為n階方陣，則f(A)

g(A)

=

g(A)

f(A).（A

I）(2A

I

)

(2A

I

)(

A

I

)（A

I）(2A

I

)

2A2

2A

A

I(2A

I

)(

A

I

)

2A2

A

2A

I如48但是，一般的

多項(xiàng)式f

(x),g

(x),A,

B

為n階方陣，則f

(

A)g(B)

g(B)

f

(

A).如（A

I）(2B

I

)

(2B

I

)(

A

I

)（A

I）(2B

I

)

2AB

2B

A

I(2B

I

)(

A

I

)

2BA

A

2B

I49(

A

B)(

A

B)

A2

B2（A

B）2

（A

B)(

A

B)

A2

BA

AB

B2（A

B）2

A2

2AB

B2再如50設(shè)A與B為n階方陣,問等式(

A

B)(A

B)

A2

B2成立的充要條件是什么?(

A

B)(

A

B)

A2

BA

AB

B2

A2

B2

,例解故A2

B2

(A

B)(A

B)成立的充要條件為AB

BA.四、矩陣的轉(zhuǎn)置51mn

a

a

aam

2a

aa2n

a221n

m11.定義（轉(zhuǎn)置）

設(shè)A

a211211am

2

am1

稱A為A的轉(zhuǎn)置.

1n

2n mn

a

a

a

a11

a21

a12

a22

TA(把A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣)若A為m

n矩陣，則AT為n

m矩陣.52例

1

2

2A

,4

5

8

2

8

1

4T

A

2

5;B

18

6,

18

.6TB532.轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)1

AT

T

A;2

A

BT

AT

BT

;3

AT

AT

;4

ABT

BT

AT

.

TkA

A

A1

2推論T

TTk2

1

A

A

A54證明(4)(

AB)T

BT

AT設(shè)A

(aij

)mn

,

B

(bij

)nsAT是n

m矩陣

BT是s

n矩陣

BT

AT是s

m矩陣(AB)T

與BT

AT

為同型矩陣.又(AB)T

的第i行第j列元,也就是AB的第j行第i列元,n

a

jkbkik

1n

n又BT

AT的第i行第j列元為

bkia

jk

a

jkbkik

1

k

1所以，(

AB)T

BT

AT

.則AB是m

s矩陣(AB)T

是s

m矩陣即為55例

已知A

2

0

1

3T求AB

.解

法1

A

2

1

42

1

117

13

10

0

14

3,

0

17

14

13

3

10TAB法2ABT

BT

AT21

1

0

0

3

1

4

2

2

1

7

2

1

3

14

13.

0

17

3

101

2

0

1,

1

3

2

1

7

1B

4

2

3

,0A

2563.

對稱矩陣與

稱矩陣定義設(shè)A為n階方陣，如果滿足

A

AT，即i,

j

1,2,,

naij

a

ji60

為對稱矩陣.

1

12

6

1例如

A

6

80說明1.對稱矩陣以主對角線為對稱軸對應(yīng)的元素相等.2.元素為實(shí)數(shù)的對稱矩陣稱為實(shí)對稱矩陣.那末A稱為對稱矩陣.57設(shè)

A

為

n

階方陣，如果滿足

A

AT，即i,

j

1,2,,

n稱陣.那末A

稱為

a

jiaij

0

1

0

6

1A

6

0 0

0

為稱陣.稱陣定義稱矩陣主對角線元素為0；以主對角線為對稱軸對應(yīng)的元素互為相反數(shù).說明58都是對稱矩陣.設(shè)B

(2,)BT

B

和則BBT=BT

(BT)T

=BTBmn)下1(

列矩陣是否是對稱矩陣？？0

5

1

2

1

0

0

3

1

21

1

0

3

1

2

23

10

0

30

2，

20

1證明

(BTB)T對稱矩陣稱矩陣不是59證則AB

BA是n階

稱矩陣.(

AB

BA)T

(

AB)T

(

BA)T

BT

AT

B(

A)

(

A)B

（AB

BA）.

AT

BTAT(3)An

,

Bn

,

A,

B

BT60例

證明任一n階矩陣A都可表示成對稱陣與稱陣之和.證明設(shè)A

B

CB為對稱矩陣,

C為則AT

B

C

TA

AT

B稱矩陣.22A

2A

AT

A

AT

BT

CT

B

C2A

ATC

對稱矩陣稱矩陣61數(shù)乘對稱矩陣是否仍為對稱矩陣？

是同階對稱矩陣之和是否仍為對稱矩陣？

是同階對稱矩陣的乘積是否仍為對稱矩陣？不一定事實(shí)上：A,B均為n階對稱陣，則AB對稱

AB=

BA.例

2

01

1

2

2

1

21

1

3

36263A,B均為n階對稱陣，則AB對稱

AB=BA.證“”(

AB)T

BT

AT

BA

AB.“

”

因?yàn)?AB)T

AB

BT

AT

BA.所以AB

(AB)T例

設(shè)列矩陣滿足XT

X

1,

T1

2

nX

x

,

x

,,

x陣,且HHT

I

.I為n階單位矩陣,H

I

2XXT

,證明H是對稱矩證明

HT

I

2

XX

T

T

IT

2XX

T

T

I

2XX

T

H

,

H是對稱矩陣.HH

T

H

2

I

2

XX

T

2

I

4XXT

4XXT

XXT

I

4XXT

4X

XT

X

XT

I

4XX

T

4XX

T

I

.

164

I

2XXT

I

2XXT

特殊矩陣

方陣m

n;

行矩陣與列矩陣;

單位矩陣;

零矩陣;小結(jié)65

上(下)三角矩陣;矩陣相等.同型矩陣,1.矩陣-----數(shù)表

對角矩陣;

數(shù)量矩陣;66

加法;

數(shù)與矩陣相乘;

矩陣與矩陣相乘;

轉(zhuǎn)置矩陣.2.矩陣運(yùn)算67作業(yè)

P15

2