重慶江北區(qū)2022年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析-202211232111575

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。雙曲線Cx2A．x 2y2xy

2y

1的漸近線方程( )x2y0D．2xy0陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具，也稱陀.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某個(gè)陀螺的三圖，則該陀螺的表面積為（ ） A．72 2 B．10 C．104 2D．114 2z1

1i,z2

1i11z z1 2

=（ ）B．1

i D．如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局（注：同比是指本期與同期作對(duì)比；環(huán)比是指本期與上期作對(duì)比.如：2019年2月與2018年2月相比較稱同比，2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比）根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A．2019年12月份，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比持平B．201812201912月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比均上漲C．201812201912D．2018年11月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格高于2017年12月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格（287年212年圓2 2柱容球”的立體幾何圖形，為紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的

，且球的表面積也是圓柱表面積的 這3 3一完美的結(jié)論已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為24，則該圓柱的內(nèi)切球體積( )A．43

B．16 C．163

D．323a2

y2b2

1(a0,b0)的左焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線l與雙曲線的左支交于不同的兩點(diǎn)A，B，若AF2FB，則該雙曲線的離心率為（ ．1032

2 33

37A|xB|x2mx12AA．4 B．－4 C．8

B則m（ ）D．－86元拼手氣紅包被乙?丙?丁三人搶完1元?jiǎng)t乙獲得“最佳手氣即乙領(lǐng)到的錢(qián)數(shù)多于其他任何的概率是（ ）1 3 2 3B． C． D．3 10 5 4A2,0B0,2Py

x的圖象上，則使得△PAB的面積為2的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（ ）A．1

2 C．3

D．4y2

2pxp0P(異于原點(diǎn)O)y2

8pxp0B兩點(diǎn)，直線OPy28pxp0的另一個(gè)交點(diǎn)為QSA．1 B．2 C．3

ABQABO

（ ）D．4R11A|x22x3Bx|x10}，則R

(AB)（ ）.A．(,1) [3,) B．(,1] [3,)C．(,1)

(3,)

D．(1,3)在 ABC 中，角B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知C則正數(shù)的取值范圍為

，c1．當(dāng)ab變化時(shí)，若zba存在最大值，3A．(0,1)

B．(0,2)

1C．( ,2)2

D．(1,3)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知函數(shù)f(x)xm|lnx|恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍 如圖，橢圓x2a2

y2b2

1ab0的離心率為e，F(xiàn)是的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是上第一角限內(nèi)任意一點(diǎn)，OQOP0，F(xiàn)QOP0，若e，則e的取值范圍是 ．如圖所示在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O.剪去AOB將剩余部分沿OC折疊，使OA、OB重合，則以A(B)、C、D、O為頂點(diǎn)的四面體的外接球的體積. f(x)sin3x3cos

xx

, 的值域?yàn)?． 3 270（12分）已知點(diǎn)M(1,0),N(1,0)，若點(diǎn)P(x,y)滿足|PM||PN4.（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)Q( 3,0)的直線l與（Ⅰ）中曲線相交于B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積的最大值及此時(shí)直線l的方程.

x1cos 18（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為ysin

（ 為參數(shù)x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為sin2 2.4 4 Cl的直角坐標(biāo)方程；若射線0與曲線C交于點(diǎn)（不同于極點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)，求|OA|的最大值.2219（12分）已知數(shù)列an

的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足a21an n

2n2n0.

|OB|求aa1 2

及n

的通項(xiàng)公式；n求數(shù)列a的前nS.nn20（12分）如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，PA，NC都垂直ABCDPAAB4NC2MPA上一動(dòng)點(diǎn).MOEFNAMMP的值；MPAMEFN的體積.21（12分）己知圓F：x+111=1(1，圓1：x-11y1=(4．（1）證明：圓F1與圓F1有公共點(diǎn)，并求公共點(diǎn)的軌跡E的方程；（1）Q(m，0)(m<0)Ek(k≠0）的直線與（Ⅰ）EM，NQM的斜率k1QNk1mk(k1+k1)m的值，若不存在，說(shuō)明理由．22（10分）在某外國(guó)語(yǔ)學(xué)校舉行的HIMCM高中生數(shù)學(xué)建模大賽中參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為1:3,分布在[40,100] 分?jǐn)?shù)在80以上含80)的同學(xué)獲獎(jiǎng)．按女生、男生用分層抽樣的方法抽取200人的成績(jī)作為樣本得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示．(Ⅰ)求a的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(Ⅱ)填寫(xiě)下面的22列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”．女生 男生 總計(jì)獲獎(jiǎng) 5不獲獎(jiǎng)總計(jì)附表及公式：

2000.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8410.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.8280k0K2

n(adbc)2 nabc(a nabc參考答案125601、A【解析】y2yy2y2

x2 1

，其漸近線方程為

x2 1

，化簡(jiǎn)整理即得漸近線方程.2 2【詳解】y2雙曲線C:xy2

2y

1

x2 1

，則其漸近線方程為

x2 0y21 y22 2整理得x 2y0.故選：A【點(diǎn)睛】2、C【解析】畫(huà)出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可，【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是底面半徑為1，高為3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐,幾何體的表面積為：12 23(104 2)，2故選：C【點(diǎn)睛】3、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)z1

1i,z2

1i，則11則z z1 2 1 11i 1i 1i 1ii1i ii1i1i2 2故選：A.【點(diǎn)睛】4、D【解析】先對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理，再結(jié)簡(jiǎn)單的合情推理一一檢驗(yàn)即可【詳解】C36B201812月份，201811月份，201712月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格分別為abcbaac1.9%，則有cc a abD正確.11.9%故選：D【點(diǎn)睛】5、D【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r則其母線長(zhǎng)為l2r,由圓柱的表面積求出r.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為r,則其母線長(zhǎng)為l2r,因?yàn)閳A柱的表面積公式為S圓柱表

=2r22rl，2,r2r2r2,因?yàn)閳A柱的體積公式為V圓柱

r22r,所以V圓柱

223,2由題知圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的 ，3所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為2V V =216=.23 圓柱3 3故選:D【點(diǎn)睛】屬于中檔題.6、A【解析】直線lx【詳解】

byca1AF2FB.a由題意可知直線lx xbyc，且b2c2

byc,a1.a2將xbyc代入雙曲線方程x2y2b2

1中，得到b41y22b3cyb40AxyBxy1 1則yy 1 2

2 22b3c,yyb41 1

b4b41

y

2b3cAF2FB

2

2 b41b，故b1 2 42y2 2 b41則8b2c21b4，解得b219b2110則cb2110310所以雙曲線離心率ec10a 3故選：A【點(diǎn)睛】7、B【解析】【詳解】

B，可知B，代入計(jì)算即可求出m.由A B可知B，又因?yàn)锽x|x2mx120，x(2)22m120，m4.【點(diǎn)睛】本題考查交集的概念，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】將所有可能的情況全部枚舉出來(lái),再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【詳解】設(shè)乙,丙,丁分別領(lǐng)到x元,y元,z元,記為(x,y,z),則基本事件有(1,1,4)(1,4,1)(4,1,1)(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)(2,2,2),10個(gè)最佳手3氣”的有3個(gè),故所求概率為10,B.【點(diǎn)睛】屬于基礎(chǔ)題型9、C【解析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，以AB為底結(jié)合△PAB的面積計(jì)算出點(diǎn)P到直線AB的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于a的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】 x y設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為a, a ，直線AB的方程

1xy20，2 2PABdS

1ABd12 2d2，解得d 2，另一方面，由點(diǎn)到直線的距離公式得d

2 2a a2 2，2整理得a a0或a a40P故選：C.【點(diǎn)睛】

a0a0a1或a

9 17.2本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．10、C【解析】.【詳解】

PQsin PQ作圖，設(shè)AB與OP的夾角為，則△ABQ中AB邊上的高與 ABO中AB邊上的高之比為OPsinOP，yS

y y y

y2

OP:y

1 x 2p ABQ

Q P

Q1，設(shè)P

1 ,

，則直線

y2 ，即y x，與y28px聯(lián)立，解得S OP y yABO P P

2p 1

1 y2p 1y 4yQ

，從而得到面積比為

113.441C【點(diǎn)睛】解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)的比例關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯(cuò)的綜合題.11、A【解析】、B

B，再求補(bǔ)集即可.【詳解】由x22x30，得 1

3，所以A{x|1x3}，又B{x|x1}，RABx|1x3}故選：A.R

AB){x|x1x3}.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.12、C【解析】因?yàn)镃2

，c1，所以根據(jù)正弦定理可得 a

b c

2，所以a

2sinA，b

32sinB，所以33zba

332 23333sinB sinA33

sinA sinB sinC2323[sinBsin(B)] [(1)sinB23233 2323(1323(1 )2(23)222

sin(B)tan

2

，0B ，333zbaB

2k,kZ，可得2k 2k,kZ， 333333所以tan ，所以 ，解得 2，所以正數(shù)的取值范圍為( ,2)，故選C．3 2 3 2 2452013、【解析】lnxf(x)xm|lnx|3個(gè)不同的零點(diǎn)mlnx

x 0x1.【詳解】lnx解：f(x)xm|lnx|恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)m x 0x1lnx x

,x0,1gx

x ,x

gx

x = lnxlnxlnxlnxlnx x

,x1,lnxxgx1lnx0gxx0,1遞增；ln2xxgxx1,e,gx

lnx10，ln2xlnx10,gx遞減，ln2xxe,,gx

lnx10,gx遞增，ln2xgx

geeminmef(x)x0,1x2個(gè)零點(diǎn)；m.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，這類題一般用分離參數(shù)的方法，中檔題.2 214、0,2 【解析】POPx軸的正方向的夾角在變，所以先設(shè)FOQFQOP0，可知 ccos2 ccossinccos2,ccossin

，從而可得P , ，而點(diǎn)P在橢圓上，所以將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程 中化簡(jiǎn)可得結(jié)果．【詳解】OFcPxyFOQ，則Qcos2ccossin，OQOP0

ccos2 ccossinP ,由 ，得 ，代入橢圓方程， c2cos4 c2cos2sin2 c2 b2 cos2 得 2 ，化簡(jiǎn)得

0

恒成立，a2 b2 a2

a2 1cos2b2 12 2

e0, 2由此得

，即a 2c ，故 2．a(chǎn)2 2 20,2 【點(diǎn)睛】此題考查的是利用橢圓中相關(guān)兩個(gè)點(diǎn)的關(guān)系求離心率，綜合性強(qiáng)，屬于難題15、8 【解析】將三棱錐置入正方體中，利用正方體體對(duì)角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知，將三棱錐置入正方體中，如圖所示CD4，OAOCOD2 2，故正方體體對(duì)角線長(zhǎng)為 OA2OC2OD22 6，4所以外接球半徑為R故答案為：8 .【點(diǎn)睛】

6，其體積為 R38 .3本題考查三棱錐外接球的體積問(wèn)題，一般在處理特殊幾何體的外接球問(wèn)題時(shí)，要考慮是否能將其置入正（長(zhǎng)）是一道中檔題.63 3 16

,3 8 【解析】

3 利用換元法，得到gt

t33t23,t

,1，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g2

的單調(diào)性和最值，即可得到函數(shù)的值域，得到答案．【詳解】由題意，可得fxsin3x3cos2xsin3x3sin2x3,xπ,,π，令tsinx，t

，即gtt33t23，t

3 2333 3

,1 2 2 則g't3t26t3tt2，3當(dāng) t0時(shí)，g't0，當(dāng)0t1時(shí)，g't0，323ygt3

,0為增函數(shù)，在為減函數(shù)2 3 3又g 2

，g03663 3

g1， 63 3

,3． 3 【點(diǎn)睛】g，再利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與預(yù)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。x2 y217（Ⅰ）

1（Ⅱ）AOB面積的最大值為

，此時(shí)直線l的方程為x

y .3634 3 3363【解析】根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程；設(shè)出直線方程后，采用1|AB|d（dAB的距離）.2【詳解】（Ⅰ）由定義法可得，P點(diǎn)的軌跡為橢圓且a4，c1.x2 y2因此橢圓的方程為

1.4 3（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為xty

x2 y23與橢圓3

1交于點(diǎn)A(x,y)，4 3 1 1B(x2,y2)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去x可得24)y26 30，即yy1

6 2

，yy 12

3.24(y(yy)24yy1 2 12AOB1 3

△

|OQ||yy(6 (6 24)24 3232 3 32 3

| 32224

6 212 2 24 213t213t21令 u，則u≥1，上式可化為u23

6u3 ，3≤u3≤6當(dāng)且僅當(dāng)u 3，即t633因此AOB面積的最大值為3

時(shí)等號(hào)成立，63，此時(shí)直線l的方程為x y .633【點(diǎn)睛】常見(jiàn)的利用定義法求解曲線的軌跡方程問(wèn)題：M(c,0),N(c,0)Pxy滿足|PM||PN|2a2aP的軌跡是橢圓；M(c,0),N(c,0)Pxy滿足||PM||PN||2a且2aP的軌跡是雙曲線.18（1）C1

：2cos，直線l：xy4（） ．11 2【解析】

xcos由消參法把參數(shù)方程化為普通方程，再由公式y(tǒng)sin

進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化；代入曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程，求出極徑1 2

，把比值

化為的三角函OAOBOAOB【詳解】消去參數(shù)可得曲線C的普通方程是(x1)2y2

xcos1x2y22x0ysin得22cos，即2cos，∴曲線C的極坐標(biāo)方程是2cos；2224

，化為直角坐標(biāo)方程為xy4．設(shè)

,1

),B(2

,)，則1

2cos，

2 2 )2 2242OAOBcos)sincoscos2OAOB4

1sin

1cos1

sin(2

)1，12

2 2 4 4 4 4 4 4當(dāng)

OAOB1OAOB1 28 4【點(diǎn)睛】

xcos本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，掌握公式y(tǒng)sin

可輕松自如進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化．

8 19（1）a1

3；a2

5.an

2n1（）S n 3

4n1【解析】根據(jù)題意，知an

0，且a21an

2n2n0，令n1n2即可求出aa1 2

，以及運(yùn)用遞推關(guān)系求出n

的通項(xiàng)公式；通過(guò)定義法證明出n

4na的前nn項(xiàng)和S.nn【詳解】（）由題可知，an

0a21an

2n2n0，n1a21

2a1

30，則a1

3，n2a23a2 2

100，a2

5， 由已知可得na 0，且a 0 n n n∴n

的通項(xiàng)公式：an

2n1.（2）設(shè)bn

2an，則bn

22n1，b所以 nbn1

22n122n1

224，b1

238，得n

是首項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，n所以數(shù)列n

的前n

n為：b，nS bb，nn 1 2

4n 8 即S 2325 22n1n

14

4n1，3所以數(shù)列2的前n項(xiàng)和：S 84

1.n 3【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力.20（1）AMMP3.（2）163【解析】△OCN利用線面垂直的性質(zhì)得出MOON，進(jìn)而得出AMMP△OCN

，利用相似三角形的性質(zhì)，得出AM，從而利用線面垂直的判定定理得出EFACN，進(jìn)而得出四面體MEFN的體積V1EFS

，計(jì)算出EFSMEFN的體積.【詳解】△OCNMOEFNONEFNMOONPANCABCD，所以△OCNEFABCDBCCDPAAB4NC2

3 △MONAM AO 2所以 2

AM33 2OC NC 23 2AM:MP3.EFABCDBCCDEFACPANCABCDEFABCDEFCN因?yàn)锳CNCC,AC,NC平面ACN，所以EF平面ACN所以，四面體MEFN的體積V1EFS2EF22

，S△MON

12

3222422

△MON所以V16.3【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，以及求棱錐的體積，屬于中檔題.21（1）x2y2

1（1）存在，m24 3【解析】F

F

4可得P1 2 1 1 1 2 1 2點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求出方程；（1）過(guò)

點(diǎn)且斜率為kyk(x1)，設(shè)Mx

，Nx,

，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)2 1 1 2 2定理以及k

1 ，k

y2 ，可得k

k

(6m24)k2

，根據(jù)其為定值，則有3m2120，y1 xmy1進(jìn)而可得結(jié)果.

1 x m2

1 2 4(m1)2k

12【詳解】（1）F(1,0)F(1,0)F

2，1 2 1 2F的半徑為r

的半徑為4r，1 2又因?yàn)?r3，所以|4rr2，即|4rrFF

|4rr|，1 2F

有公共點(diǎn)，1 2設(shè)公共點(diǎn)為P，因此PFPF 4，所以P點(diǎn)的軌跡E是以F(1,0)，

(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，1 2 1 2所以4，c1a2，b 3，Ex2y21；4 3（1）F點(diǎn)且斜率為kyk(x1