717利用空間向量解立體幾何

向量法解立體幾何基本思路與方法一、基本工具1、數(shù)量積：ababcos2、射影公式：向量a在b上的射影為abb3、直線AxByC0的法向量為A,B，方向向量為B,A4、平面的法向量（略）二、用向量法解空間地址關(guān)系1、平行關(guān)系線線平行兩線的方向向量平行線面平行線的方向向量與面的法向量垂直面面平行兩面的法向量平行2、垂直關(guān)系線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直線面垂直線與面的法向量平行面面垂直兩面的法向量垂直三、用向量法解空間距離1、點(diǎn)點(diǎn)距離:PQ(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)22、點(diǎn)線距離:求點(diǎn)Px0,y0到直線l:AxByC0的距離：方法：在直線上取一點(diǎn)Qx,y，則向量PQ在法向量nA,B上的射影PQnAx0By0C=A2B2即為點(diǎn)P到l的距離.n3、點(diǎn)面距離:求點(diǎn)Px0,y0到平面的距離：方法：在平面上去一點(diǎn)Qx,y，得向量PQ，計(jì)算平面的法向量n，計(jì)算PQ在上的射影，即為點(diǎn)P到面的距離.四、用向量法解空間角1、線線夾角（共面與異面）兩線的方向向量的夾角或夾角的補(bǔ)角2、線面夾角的步驟：①先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；②再求其余角，即是線面的夾角.設(shè)平面α的法向量為n=（x,y,1)，則直線AB和平面α所成的角θ的正弦值為sinθ=cos(-θ)=|cos<AB,n>|=AB?n2AB?n3、面面夾角（二面角）：若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.n五、運(yùn)用法向量求空間距離1、求兩條異面直線間的距離設(shè)異面直線a、b的公共法向量為n(x,y,z)，在a、b上任取一點(diǎn)A、B，異面直線a、＇|AB?n|b的距離d=AB·cos∠BAA=*|n|其中，n的坐標(biāo)可利用a、b上的任向來量a,b（或圖中的AE,BF），與n的定義得nan?a0①解方程組可得n。nbn?b02、求點(diǎn)到面的距離求A點(diǎn)到平面α的距離，設(shè)平面α的法向量法為n(x,y,1)，在α內(nèi)任取一點(diǎn)B，則A點(diǎn)到平面α的距離為d=|AB?n|，的坐標(biāo)由n與平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線向量的垂直關(guān)系，|n|獲取方程組（近似于前面所述,若方程組無解，則法向量與XOY平面平行，此時(shí)可改設(shè)n(1,y,0)，下同）。3、求直線到與直線平行的平面的距離求直線a到平面α的距離，設(shè)平面α的法向量法為n(x,y,1)，在直線a上任取一點(diǎn)A，在平面α內(nèi)任取一點(diǎn)B，則直線a到平面α的距離d=|AB?n||n|4、求兩平行平面的距離設(shè)兩個(gè)平行設(shè)平面α、β的公共法向量法為n(x,y,1)，在平面α、β內(nèi)各任取一點(diǎn)A、B，則平面α到平面β的距離d=|AB?n||n|六、證明線面、面面的平行、垂直關(guān)系設(shè)平面外的直線a和平面α、β，兩個(gè)面α、β的法向量為n1,n2，則：a//an1aa//n1//n1//n2n1n2應(yīng)用舉例：例1：如右以下圖,在長方體ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1.求二面角C—DE—C1的正切值;求直線EC1與FD1所成的余弦值.解：（I）以A為原點(diǎn)，AB,AD,AA1分別為x軸，y軸,z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,3,0)、D(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C(4,3,2)11于是，DE(3,3,0),EC1(1,3,2),FD1(4,2,2)想法向量n(x,y,2)與平面C1DE垂直，則有nDE3x3y0xy1nEC1x3y2z0n(1,1,2),向量AA1(0,0,2)與平面CDE垂直,n與AA1所成的角為二面角CDEC1的平面角cosn?AA110102263|n||AA1|1140042tan2（II）設(shè)EC1與FD1所成角為β，則EC1?FD11(4)322221cos22222214|EC1||FD1|132(4)22例2：在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；(Ⅱ)設(shè)O點(diǎn)在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H⊥AP；(Ⅲ)求點(diǎn)P到平面ABD1的距離.例3：在長、寬、高分別為2，2，3的長方體ABCD-ABCD中，O是底面中心，求AO與BC111111的距離。D1C1A1B1DCOAB例4：在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求A1到面BDFE的距離。解：如圖，建立坐標(biāo)系D-ACD1，則B（1，1，0），A1（1，0，1），E（1，1，1）1,0,1)2∴BD(1,1,0)BE(A1B(0,1,1)2D1FC1設(shè)面BDFE的法向量為n(x,y,1)，則A1B1EnBD(x,y,1)?(1,1,0)0xy0x21,0,1)1x1∴DCnBE(x,y,1)?(00y222ABn(2,2,1)∴A到面BDFE的距離為d=|A1B?n|0,1,1?2,2,1|3|1|n|232212五、課后練習(xí):1、如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA=2,點(diǎn)E為CC1中點(diǎn),點(diǎn)F為BD1中點(diǎn).（1）證明EF為BD1與CC1的公垂線;（2）求點(diǎn)D1到面BDE的距離.A1D1B1C12、已知正方形ABCD，邊長為1，過D作PD⊥平面ABCD，且PD=1，E、F分別是AB和BC的中點(diǎn)，（1）求D到平面PEF的距離；（2）求直線AC到平面PEF的距離3、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如圖）（1）求證：平面A1BC1//平面ACD1；（2）求（1）中兩個(gè)平行平面間的距離；（3）求點(diǎn)B1到平面