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文檔簡介
3.3
QR方法一、矩陣的QR分解二、矩陣的擬上三角化（介紹）三、QR方法（介紹）復(fù)習(xí)3.3 QR方法QR方法是求一般矩陣的全部特征值和特征向量的一種迭代法。一、矩陣的
QR分解（正交三角分解）1、Householder矩陣（鏡面反射陣、初等反射陣）2、Householder矩陣的性質(zhì)3、矩陣的QR分解4、QR分解的實(shí)現(xiàn)5、QR分解的算法3.3 QR方法HT
H
,
H
HT
IH為對稱正交矩陣。QR方法是求一般矩陣的全部特征值和特征向量的一種迭代。一、矩陣的
QR
分解（正交三角分解）A
Q
RQ
——正交矩陣
R——上三角矩陣1、Householder矩陣（鏡面反射陣）H
I
2vvT
,(vT
v
1)3.3 QR方法QR方法是求一般矩陣的全部特征值和特征向量的一種迭代。一、矩陣的
QR
分解（正交三角分解）1、Householder矩陣（鏡面反射陣）H
I
2vvT
,(vT
v
1)2、Householder矩陣的性質(zhì)約化定理2、Householder矩陣的性質(zhì)證明：取單位向量2s
es
ev
H
I
2vvT則H
s
e幾何意義seH
s
e2s
ev
s
e
s
H
I
2vvT
,(vT
v
1)約化定理2、Householder矩陣的性質(zhì)證明：取單位向量2s
ev
s
eH
I
2vvT
,(vT
v
1)H
I
2vvT
s
e2H
s
(I
2vvT
)s
s
2vvT
s
s
2
v(sT
eT
)s
s
2
v(sT
s
eT
s)s
e約化定理2、Householder矩陣的性質(zhì)證明：取單位向量2s
es
ev
H
I
2vvTH
I
2vvT
,(vT
v
1)H
s
(I
2vvT
)s2
s
e
s
2
v(sT
eT
)s
s
2
v(sT
s
eT
s)
s
v
2(
2
eT
s)約化定理2、Householder矩陣的性質(zhì)證明：取單位向量H
I
2vvT
,(vT
v
1)H
s
(I
2vvT
)s2
2
s
e
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s
2
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)s
s
2
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s
eT
s)v2(
2
eT
s)
s
(s
e)T
(s
e)
2(
2
eT
s)約化定理2、Householder矩陣的性質(zhì)證明：取單位向量H
I
2vvT
,(vT
v
1)H
s
(I
2vvT
)s
s
2
v(sT
s
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s)v2
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s
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(s
e) (s
e)
2(
2
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s)
s
v
e證畢2
2
s
e
22s
es
ev
s
e約化定理例1
求正交變換使向量
3
1
x
2平行的向量。1化為與es
es
e2v
H
I
2vvTH
s
e方法一：利用初等旋轉(zhuǎn)變換方法二：利用鏡像變換例2將A化為上三角陣兩種方法：1、用初等旋轉(zhuǎn)陣2、用初等反射陣3.3 QR方法一、矩陣的
QR
分解（正交三角分解）1、Householder矩陣（鏡面反射陣）H
I
2vvT
,(vT
v
1)2、Householder矩陣的性質(zhì)3、矩陣的QR分解二、矩陣的擬上三角化Hessenberg陣（擬上三角陣）矩陣的擬上三角化二、矩陣的擬上三角化1.Hessenberg陣（擬上三角陣）A
(aij
)nn
,aij
0,i
j
1
時(shí)aa
aaA
43a32
a332321
22a11
a12
a132.矩陣的擬上三角化定義：對實(shí)矩陣作相似變換化為Hessenberg陣.方法：利用Household矩陣a
aaannaaaA
(1)(1)n2(1)n1(1)2n(1)22(1)211n
(1)
(1)12
(1)
a
a11
(1)
1
22
(1)12
(1)11A
cA
a其中
c
(a
,
a
,,
a
)T1
21
31
n1w
I
2v v
T
,
(v
T
v
1)1
1
1
1
1使w1c1
1e1QR方法1121(1)12(1)2211n2nn1(1)n
2aaaaaa(1)(1)
a(1)(1)
A
a(1)(1)
ann
(1)
1
22
(1)
12(1)11A
cAa令
1
1WH1
A2
H1
A1H11112
1A(1)
ww
A(1)
w
a(1)
w
c1
1
1
22 1
w1c1
1e12.矩陣的擬上三角化定義：對實(shí)矩陣作相似變換化為Hessenberg陣.方法：利用Household矩陣a
aaannaaA
(1)(1)n2(1)an1(1)2n(1)22(1)211n(1)
(1)12
(1)
11
a
a
aaaaa
ann
ca(2)(2)n2(2)2n(2)2211n
(2)
(2)12
(2)11
0H1
AH11(1)(1)(1)22(1)21(1)(1)12
(1)11aaaH1
a
aaaa
ann(1)n2(1)n12n1n
H
aaaaa
ann
ca(2)(2)n2(2)2n(2)221(2)1n(2)12
(1)11
0
2(2)221(2)1211Haaaaaa(2)n22n1n(2)a
(2)nn
(2)
0H2
c
(1)
a
a
aaa
aaa
a
aann
c(3)n4n3(3)a3n
(3)34(3)33(3)2n(3)24(3)23(2)a221(3)1n
(3)14(3)13(2)1211
0
0(3)c2
a
a0
(3)
ac
aaa
aaa
aaannrrr(r1)(r1)n,r1a(r1)
r1,n(r1)(r1)r
,n(r1)r
,r1(r
)
c1(r1)1n(r1)1,r1(r
)1r11A(r1)
H A(r
)
Hr
r
r1,r1
aaaa
aann
aA
H
AH
c(2)(2)n2(2)2n(2)221(2)1n(2)12
(1)111
1(2)
0
2A(3)
H
A(2)
Ha
a
aaaaa
aa
2a
aa
ann
c(3)n4n3(3)3n
34332(3)2n(3)24(3)(3)23(3)(2)221(3)1n(3)14(3)13(2)11
12
0
0(3)
c
a
a0
(3)aaa
a
aa(n1)
(n1)
n,n1
ann
cn2(n2)n2,n2
c1(n1)1,n(n1)1,n1(n2)1,n211A(n1)
令P
H1H2
Hn2思考：若A為實(shí)對稱陣，A(n1)是怎樣的形狀？a
aaannc(n1)(n1)n,n1(n1)
(n1)1
an1,nn1,n2(2)22
c1c1a11A(n1)
cn22.矩陣的擬上三角化對實(shí)矩陣作相似變換化為Hessenberg陣.設(shè)A
(aij
)nn
,re
(0,,0,1,0,0)Ts
(0,
a
,,
a
)T1
21
n1s1
s1Tc1
sign(a21)u1
s1
c1e21
11
11( )
W
O1
OH
I
2u
u u
uTTaaaa
aann
aA
H
AH
c(2)(2)n2(2)2n(2)2211
(2)1n(2)12
(1)111
1(2)
0
第一步：a
aaaa
aaaA
(1)nn(1)n2a(1)n1(1)2n(1)22(1)21(1)1n
(1)12
(1)11
第二步：H
s
c
e
(0,0,c
,0,,0)T2
2
2
3
2(2)
)Ts
(0,0,
a
(2)
,,
a2
32
n22
2322(2)
)s
T
sc
sign(au2
s2
c2e32
2
22
22( )
W
OI2
O
H
I
2u
u u
uTT
acnn
(3)a(3)n4a(3)n3a(3)a(3)a(3)a(3)2n
24231a(3)1n
a(3)14a(3)13a(2)12a1122A(3)
H A(2)
H
0
0
a
(2)
(3)
(3)22
a
ac20
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34
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aaa
a
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aA
H
AH
c(2)(2)n2(2)2n(2)221(2)1n
(2)12
(1)111
1(2)
0
第r步：rr
r
(0,,0,c
,0,,0)TH
s
c
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1nrr(r
)
)T(r
)
,,
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ca
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)
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,n
(r
)r
,rcr
1(r
)r
1,n(r
)r
1,r(r
1)ar
1r
11(r
)(r
)1,r
1n(r
1)11A(r
)
(r
)
1r
1
ac
aaa
aaa
aaannrrr(r1)(r1)n,r1a(r1)
r1,n(r1)(r1)r
,n(r1)r
,r1(r
)
c1(r1)1n(r1)1,r11r11A(r1)
H A(r
)
Hr
r
r1,r1
第r步：nrr(r
)
)T(r
)
,,
ar1,rs
(0,,0,
a(r
)
Tcr
sign(ar1,r
)
sr
sr
cr
er1ur
srr
(r
)TTr
r
r
rrO
W
O
u
u u
u( )
IrH
I
2aaa
a
aa(n1)
(n1)
n,n1
ann
cn2(n2)n2,n2
c1(n1)1,n(n1)1,n1(n2)1,n211A(n1)
令P
H1H2
Hn2思考：若A為實(shí)對稱陣，A(n1)是怎樣的形狀？aaaacacnnncn11)(nn1,n1)(1,nnnn11,2
n2(2)221c1a11A
n1)(
n1)(
具體算法：（P95）三、QR方法1、基本QR方法迭代公式QR方法的收斂性QR算法的具體實(shí)現(xiàn)QR方法的缺點(diǎn)2、帶原點(diǎn)位移的QR方法3、帶雙步位移的QR方法4、特征向量的計(jì)算三、QR方法1.基本QR方法(1)迭代公式
1,2,A
R
Q
,
kA
Q
Rk
1
k
kk
k
kA1
A
Rnnk
11)
A
QT
A
Qk
k
k3)
Ak
1
n1
n2
1
k
1
n2
n1
H
(k
)
H
(k
)
H
(k
)
A
H
(k
)
H
(k
)
H
(k
)說明:Q
H1H2
Hn1R
Hn1Hn2
H1
AA
QR-----特征值不變2)若Ak為H陣，則Ak
1也為H陣。-----矩陣形式不變-----Ak+1的計(jì)算方便三、QR方法1.基本QR方法(1)迭代公式1
R
Q
,
k
1,2,Ak
1
k
kAk
Qk
RkA
A
Rnn（2）QR方法的收斂性iiilim
a(k
)k
,i
1,2,,
n《數(shù)值線性代數(shù)》復(fù)旦（其主對角線以上的元素可以不收斂）。iiilim
a(k
)k
,i
1,2,,
n（2）QR方法的收斂性實(shí)的（3）QR算法的具體實(shí)現(xiàn)a、A
A1（擬上三角化）利用Householder矩陣對A作相似變換，把A化為擬上三角陣1A(n1)
Ab、對A1
進(jìn)行QR迭代（4）QR方法的缺點(diǎn)收斂速度慢：線性收斂。1.基本QR方法(1)迭代公式1
R
Q
,
k
1,2,Ak
kk
1Ak
Qk
RkA
A
Rnn2、帶原點(diǎn)位移的QR方法(1)迭代公式1Ak
1A
A
Rnn
Rk
Qk
k
I
,
k
1,2,Ak
k
I
Qk
Rk
QT
A
Qk
k
kk
12)若Ak為H陣，則Ak
1也為H陣3)
Ak
1H
(k
)
H
(k
)n2
n1
H
(k
)
H
(k
)
H
(k
)
A
H
(k
)n1
n2
1
k
1說明:1)A1
R
Q
,
k
1,2,Ak
kk
1Ak
Qk
RkA
A
Rnn(2)用原點(diǎn)位移的QR方法求實(shí)矩陣A的全部特征值的步驟①將A擬上三角化,②選取
Ak
的位移
kA
A1
,令k=1參考數(shù)值分析舊版P134ka(k
)a(k
)
a(k
)n1,n1n,n1
n,na(k
)n1,n
取D
的兩個(gè)特征值中按模最小的作為
(k
)322211111111
12nnn,n1n1,nn1,n1,1n1,n2(k
)(k
)a(k
)a(k
)a(k
)a(k
)aa(k
)a(k
)a(k
)
a(k
)
a(k
)a(k
)a(k
)
a(k
)
a(k
)Ak
11
11
an2,n1
(k
)
,n
n2
an2,n2a(k
)
(2)位移量uk的選取ka(k
)
a(k
)n1,n1n,n1
n,na(k
)
a(k
)n1,n
取D
的兩個(gè)特征值中按模最小的作為
(k
)(2)用原點(diǎn)位移的QR方法求實(shí)矩陣A的全部特征值的步驟①將A擬上三角化,②選取
Ak
的位移
k③迭代求1Ak
1A
A
Rnn
Rk
Qk
k
I
,
k
1,2,Ak
k
I
Qk
RkAk
1
H
(k
)
H
(k
)
H
(k
)
A
H
(k
)
H
(k
)
H
(k
)n1
n2
1
k
1
n2
n1A
A1
,令k=1參考數(shù)值分析舊版P134121k
1,3,5,AA
R
QA
s(k
)
Ik
2
k
1
k
12
k
1
k
1A
R
Q
s(k
)
I
Q
Rk
1
s(k
)
Ik
1k
k1
k
k
s(k
)
I
Q
Rk(n1)A
A3、帶雙步位移的QR方法(1)迭代公式Ak的特點(diǎn):2)若Ak為H陣，則Ak
1也為H陣k
1
k
k
k1)
A
QT
A
Q)3
T
Tk
1
kk
2k
k
k
QT
A
Q(2)位移量s(k
),s(k
)的選取1
2的兩個(gè)特征值作為s(k
),s(k
)1
2a(k
)
a(k
)
a(k
)
a(k
)取Dk
n,n1
n,nn1,n1n1,n
32221111111211nnn,n1n1,nn1,n1,1n1,n2(k
)(k
)a(k
)a(k
)a(k
)a(k
)aa(k
)a(k
)a(k
)a(k
)
a(k
)a(k
)a(k
)a(k
)
a(k
)Ak
11
11
an2,n1
(k
)
,n
n2
an2,n2a(k
)
1
2(2)位移量s(k
),s(k
)的選取1(k
)
(k
)2n,n,
s的兩個(gè)特征值作為sa(k
)
a(k
)a(k
)
a(k
)取Dk
n,n1n1,n1
n1,n121k
1,3,5,AA
R
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s(k
)
Ik
2
k
1
k
12
k
1
k
1A
R
Q
s(k
)
I
Q
Rk
1
s(k
)
Ik
1k
k1
k
k
s(k
)
I
Q
Rk(n1)A
A3、帶雙步位移的QR方法(1)迭代公式Ak的特點(diǎn):2)若Ak為H陣，則Ak
1也為H陣k(1)Ak
1
QT
AkQk)3
T
Tk
1
kk
2Qk
Ak
Qk
~
~(2)位移量s(k
),s(k
)的選取1
2的兩個(gè)特征值作為s(k
),s(k
)1
2a(k
)
a(k
)
a(k
)
a(k
)取Dk
n,n1
n,nn1,n1n1,n
1
2(2)位移量s(k
),s(k
)的選取21k的兩個(gè)特征值作為s(k
),s(k
)a(k
)
a(k
)
a(k
)
a(k
)a、取D
n,n1
n,nn1,n
n1,n1k
kT
Ak
Qk~T
~
Qk
Ak
1Ak
2
12k
1,3,5,A
R
QAAI
Q
RA
s
s(k
)
Ik
2
k
1
k
12
k
1
k
1
s(k
)
I
Q
Rk
1
R
Q
s(k
)
Ik
k
1k
1k
k(k
)k
1(n1)A
A存在的問題：位移量為復(fù)數(shù)時(shí)如何處理？Ak+2的計(jì)算。1
2(2)位移量s(k
),s(k
)的選取21k的兩個(gè)特征值作為s(k
),s(k
)a(k
)
a(k
)
a(k
)
a(k
)a、取D
n,n1
n,nn1,n
n1,n1b、為避免復(fù)數(shù)運(yùn)算,令1
s()k
I
)M
(
A
s()k
I
)(
Ak
k
2
kT
Ak
Qk~T
~
Qk
Ak
k k
1Ak
2
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sA
tI12k
1,3,5,A
R
QAAI
Q
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)
Ik
2
k
1
k
12
k
1
k
1
s(k
)
I
Q
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1
R
Q
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)
Ik
k
1k
1k
k(k
)k
1(n1)A
Ak
kS=?,t=?s
a(k
)
a(k
)n1,n1
n,n
t
det
Dk1
2(2)位移量s(k
),s(k
)的選取21k的兩個(gè)特征值作為s(k
),s(k
)a(k
)
a(k
)
a(k
)
a(k
)a、取D
n,n1
n,nn1,n
n1,n1b、為避免復(fù)數(shù)運(yùn)算,令1
s()k
I
)M
(
A
s()k
I
)(
Ak
k
2
k當(dāng)Ak
為實(shí)矩陣時(shí),Mk
也為實(shí)矩陣T
Ak
Qk~T
~
Qk
Ak
k k
1Ak
2
k
k
A2
sA
tI12k
1,3,5,A
R
QAAI
Q
RA
s
s(k
)
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k
1
k
1
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I
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)
Ik
k
1k
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k(k
)k
1(n1)A
As
a(k
)
a(k
)n1,n1
n,n
t
det
Dk1
2(2)位移量s(k
),s(k
)的選取21k的兩個(gè)特征值作為s(k
),s(k
)a(k
)
a(k
)
a(k
)
a(k
)a、取D
n,n1
n,nn1,n
n1,n1b、為避免復(fù)數(shù)運(yùn)算,令M
(
A
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)
I
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A
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)
I
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k k
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為實(shí)矩陣時(shí),
M 也為實(shí)矩陣~T
~A
QT
QT
A
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Q
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1
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k
k
kk
k
A2
sA
tI12k
1,3,5,A
R
QAAI
Q
RA
s
s(k
)
Ik
2
k
1
k
12
k
1
k
1
s(k
)
I
Q
Rk
1
R
Q
s(k
)
Ik
k
1k
1k
k(k
)k
1(n1)A
Ak
1
k
k
k
k
1k
23)
A
QT
QT
A
Q
QQk
Ak
Qk
~
~(3)帶雙步位移的QR迭代公式~
~
~
~12k
1,3,5,AMT
Qk
Ak
Qkk
2Qk
RkkMk
Ak
sAk
tI(n1)A
A1k
1,3,5,M
A2
sA
tIAk
1
QT
Ak
QkkMk
Qk
Rkk
k
k(n1)A
A(4)算法(P98-99)322211111111
12nnn,n1n1,n
n1,n1,1n1,n2(k
)(k
)a(k
)a(k
)a(k
)a(k
)aa(k
)a(k
)a(k
)
a(k
)
a(k
)a(k
)a(k
)
a(k
)
a(k
)Ak
11
11
an2,n1
(k
)
,n
n2an2,n2a(k
)
nna(k
)n,n1
a(k
)
n1,n2a(k
)nn(k
)n,n1n1,n2
n1,n1ka(k
)aa(k
)
a(k
)D
計(jì)算降階的特征值，降階(4)算法(P98-99)322211111111
12nnn,n1n1,n
n1,n1,1n1,n2(k
)(k
)a(k
)a(k
)a(k
)a(k
)aa(k
)a(k
)a(k
)
a(k
)
a(k
)a(k
)a(k
)
a(k
)
a(k
)Ak
11
11
an2,n1
(k
)
,nn2a(k
)an2,n2
nna(k
)n,n1
a(k
)
n1,n2a(k
)nn(k
)n,n1n1,n2
n1,n1ka(k
)aa(k
)
a(k
)D
計(jì)算降階的特征值，降階(4)算法(P98-99)
0
0
00
0
0
0
0
0
0
0
0Ak
1
0此時(shí)可分塊計(jì)算特征值(4)算法(P98-99)A(n1)
,
,
Lk
1,
m
n(k
)am,m1
?m
m
1mm
a(k
)n,na(k
)a的特征值作為s(k
),s(k
)1
2a(k
)
a(k
)求Dk
(k
)n,n1n1,n
n1,n1111
a(k
)m
1?stopNYm
2?stopY1
s1,
2
s2N
?m1,m2a(k
)m1
s1,
m
s2Ym
m
2k
L?計(jì)算Ak1k
k
1NstopYY帶雙步位移的QR算法kk
k
kM
A2
sA
tIk
kMk
Qk
Rk
A
QT
A
Q
k
1三、QR方法1、基本QR方法迭代公式QR方法的收斂性QR算法的具體實(shí)現(xiàn)QR方法的缺點(diǎn)2、帶原點(diǎn)位移的QR方法3、帶雙步位移的QR方法4、特征向量的計(jì)算的特征向量y4、特征向量的計(jì)算A
A1
A(n1)（1）用反冪法求
A(n1)（2）求A
的特征向量xA(n1)
y
yA(n1)
Hn2
H2
H1AH1H2
Hn2A(H1H2
Hn2
y)
(H1H2
Hn2
y)x
H1H2
Hn2
y的特征向量y4、特征向量的計(jì)算A
A1
A(n1)（1）用反冪法求
A(n1)（2）求A
的特征向量xx
H1H2
Hn2
y設(shè)z(n2)
yz(r1)
Hr
z(r
)
,
r
n
2,
n
3,,1z(0)
x3.3 QR方法（小結(jié)）QR
方法是求一般矩陣的全部特征值和特征向量的一種迭代法。一、矩陣的QR分解（正交三角分解）1、Householder矩陣（鏡面反射陣）2、Householder矩陣的性質(zhì)3、QR分解的可能性4、QR分解的實(shí)現(xiàn)（算法）二、矩陣的擬上三角化Hessenberg陣（擬上三角陣）矩陣的擬上三角化三、QR方法1、基本QR方法迭代公式QR方法的收斂性QR算法的具體實(shí)現(xiàn)QR方法的缺點(diǎn)2、帶原點(diǎn)位移的QR方法3、帶雙步位移的QR方法作業(yè)一、畫出利 步位移的QR方法計(jì)算矩陣的全部特征值的程序框圖。二、
帶原點(diǎn)位移的QR方法，畫出計(jì)算特征值與特征向量的程序框圖.三、推導(dǎo)QR算法中第四步的計(jì)算公式。（
44頁）上機(jī)作業(yè)數(shù)值試驗(yàn)三中有兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，各班1-15號(hào)作第一個(gè)實(shí)驗(yàn)，其余同學(xué)做第二個(gè)實(shí)驗(yàn)，有余力的同學(xué)可以都做，每個(gè)實(shí)驗(yàn)要按實(shí)驗(yàn)報(bào)告格式寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告，第十六周周五在數(shù)學(xué)
檢查上機(jī)情況，第十六周周二交本章的實(shí)驗(yàn)報(bào)告。矩陣特征值的求法用QR算法求矩陣的特征值
aaaacnn
(2)(2)n
2a(2)2n
(2)22a(2)1n
(2)121
0
0aaaaann
aaA
(1)(1)n
2a(1)n1(1)2n(1)22(1)21(1)1n(1)12(1)11
a
(
,1TH1
a1
c1
e1
(c1,
0, ,
0)H1
A
H1
(a1,
a2
,,
an
)(H1a1,H1a2
,,H1an
)
思考：H1
?
aaaac
ann
(2)(2)n
2a(2)2n
(2)22(2)1n
(2)121
0
0aaaaann
aaA
(1)(1)n
2a(1)n1(1)2n(1)22(1)21(1)1n(1)12(1)11
a
(
,11
1
1
2
nH
A
H
(a
,
a
,,
a
)1
1
1
21
n
(H
a
,
H
a
,,
H
a
)H
a
c
e
(c
,
0, ,
0)T1
1
1
1
11H
I
2vv
,
(v v
1)T
Tv
a1
c1
e
a1
c1
e
2c
aT
a1
1
1aaaaac
aaa
acnn(r
)n,ra(r
)
r
,n
(r
)r
,r(r
1)r
1,n(r
1)r
1,rr
1(2)1n(2)1,r(2)1r1
(r
)(r
)r
1,r
aaaac
aaa
acannr(r
1)
(r
1)n,r
1(r
1)r
1,n(r
1)(r
1)r
,n(r
1)r
,r
1(2)1n(2)1,r
1(2)1r1
r
1,r
1
r
Hr
1
A3.3
QR方法分解（正交三角分解）A
Q
R1、Householder矩陣（鏡面反射陣）H為對稱正交矩陣。H
I
2vvT
,(vT
v
1)2、Householder矩陣的性質(zhì)復(fù)習(xí):一、矩陣的QR3、QR分解的可能性A
Q
R
aaaacnn
(2)(2)n
2a(2)2n
(2)22a(2)1n
(2)121
0
0
aaaaann
aaA
(1)(1)n
2a(1)n1(1)2n(1)22(1)21(1)1n(1)12(1)11
a
(
,1H1
A
H1
(a1,
a2
,,
an
)
(H1a1,
H1a2
,,
H1an
)3、QR分解的可能性Hn1Hn2
H1
A
An(1A
Q
R令Q1
Ir
rH
,
r
1,2,,n
1R的計(jì)算：令A(yù)
A1r
1r
rA
H A
,
r
1,2,,
n
1Hn1
AnR
An
Hn1Hn2
H1
AA
H1H2Q
H1H2
Hn14、QR分解的實(shí)現(xiàn)（算法）Q的計(jì)算：二、矩陣的擬上三角化1.Hessenberg陣（擬上三角陣）A
(aij
)nn
,aij
0,i
j
1
時(shí)aa
aaA
43a32
a332321
22a11
a12
a132.矩陣的擬上三角化方法：利用Household矩陣a
aaannaaA
(1)(1)n2(1)an1(1)2n(1)22(1)211n(1)
(1)12
(1)
11
a
a
a
aaaaann
ca(2)(2)n2(2)2n(2)221(2)1n
(2)12
(2)11
0H1
AH1
A(2)
ac
aaa
aaa
aaannrrr(r1)(r1)n,r1a(r1)
r1,n(r
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