北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)：三角形重點(diǎn)知識(shí)匯總

第三章三角形一.認(rèn)識(shí)三角形1.三角形的概念由不在同一直線上的 三條線段首尾順次相接所組成的 圖形叫做二曲鬢匕注息：①組成三角形的三條線段要“不在同一直線上”； 如果在同一直線上，三角形就不存在；②三條線段“首尾是順次相接"，是指三條線段兩兩之間有一個(gè)公共端點(diǎn)，這個(gè)公共端點(diǎn)就是三角形的頂點(diǎn)。2、三角形分類按內(nèi)角的大小可以分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。3、關(guān)于三角形三條邊的關(guān)系根據(jù)公理“連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短”可得三角形三邊關(guān)系的 一個(gè)性質(zhì)定理，即三角形任意兩邊之和大于第三邊。三角形三邊關(guān)系的另一個(gè)性質(zhì)：三角形任意兩邊之差小于第三邊。設(shè)三角形三邊的長(zhǎng)分另為a、b、c則：①一般地，對(duì)于三角形的 某一條邊a來(lái)說(shuō)，一定有|b-c|vavb+c成立；反之，只有|b-c|vavb+c成立，a、b、c三條線段才能構(gòu)成三角形；②特殊地，如果已知線段a最大,只要滿足b+c>a,那么a、b、c三條線段就能構(gòu)成三角形；如果已知線段a最小，只要滿足|b-c|va,那么這三條線段就能構(gòu)成三角形。4、關(guān)于三角形的內(nèi)角和三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180°①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；②一個(gè)三角形中至多有一個(gè)直角或一個(gè)鈍角；③一個(gè)三角中至少有兩個(gè)內(nèi)角是銳角。5、關(guān)于三角形的角平分線、高線和中線①三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線；②任意一個(gè)三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高；③任意一個(gè)三角形的 三條角平分線、三條中線都在三角形的內(nèi)部。 但三角形的高卻有不同的位置：銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部，如圖1;直角三角形有一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高恰好是它兩條邊，如圖2;鈍角三角形一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高在三角形的 外部，如圖3。④一個(gè)三角形中，三條中線交于一點(diǎn)，三條角平分線交于一點(diǎn)，三條高所在的直線交于一點(diǎn)。鵬翔教圖1鵬翔教圖1、圖形的全等能夠完全重合的圖形稱為全等形。全等圖形的形狀和大小都相同。只是形狀相同而大小不同，或者說(shuō)只是滿足面積相同但形狀不同的 兩個(gè)圖形都不是全等的 圖形。三、全等三角形1.全等三角形的概念能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。 互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。所而二一自全重合”，就是各條邊對(duì)面用率各個(gè)角也對(duì)應(yīng)相等。因此也可以這樣說(shuō)，各條邊對(duì)應(yīng)相等，各個(gè)角也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。應(yīng)用：證明兩條線段相等和兩個(gè)角相等。3、三角形全等的條件(1)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“ SS6(2)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“ SAS(3)兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA(4)兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS4、直三角形全等的條件(1)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的 兩個(gè)直角三角形全等。簡(jiǎn)稱為“斜邊、直角邊”或“HL'。這只對(duì)直角三角形成立。(2)直角三角形是三角形中的一類，它具有一般三角形的 性質(zhì)，因而也可用“SAS、“ASA、"AAS、“SS6來(lái)判定。直角三角形的其他判定方法可以歸納如下：①兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的 兩個(gè)直角三角形全等；②有一個(gè)銳角和一條邊對(duì)應(yīng)相等的 兩個(gè)直角三角形全等。③三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。四.作三角形.已知兩個(gè)角及其夾邊，求作三角形，是利用三角形全等條件“角邊角”即("ASA)來(lái)作圖的。.已知兩條邊及其夾角，求作三角形，是利用三角形全等條件“邊角邊”即(" SAS)來(lái)作圖的。.已知三條邊，求作三角形，是利用三角形全等條件“邊邊邊”即(" SS6)來(lái)作圖的五、利用三角形的全等測(cè)距離，即三角形全等的應(yīng)用第三章三角形經(jīng)典練習(xí).選擇題：.下列四種圖形中，一定是軸對(duì)稱圖形的有( )①等腰三角形②等邊三角形 ③直角三角形 ④等腰直角三角形A.1種B.2種C.3種D.4種.到三角形三邊距離都相等的點(diǎn)是三角形( )的交點(diǎn)A.三邊中垂線 B.三條中線C.三條高 D.三條內(nèi)角平分線.到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)是三角形( )的交點(diǎn)A.三邊中垂線 B.三條中線C.三條高 D.三條內(nèi)角平分線.如圖，OP平分MON,PAON于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA2,則PQ的最小值為(A.1B.2C.3D.A.1B.2C.3D.45.如圖，已知/1=Z2,則不一定??5.如圖，已知/1=Z2,則不一定??能使△AB四△ACM條件是()A.AB=ACB.BD=CDC./B=ZCD,ZBDA=/CDAB./ADBZADCD./B=/C,BD=DC第B./ADBZADCD./B=/C,BD=DC第6題圖7下列命題中，真命題是( ).(A)周長(zhǎng)相等的銳角三角形都全等;(C)周長(zhǎng)相等的鈍角三角形都全等;8.如圖所示，EF90°,B(B) 周長(zhǎng)相等的直角三角形都全等；(D) 周長(zhǎng)相等的等腰直角三角形都全等.C,AEAF,結(jié)論：①EMFN;②CDDN;③FANEAM;④AACN^AABM.其中正確的有6、如圖下列條件中，不能證明4AB四AACD勺是( )??A.BD=DCABACC.ZB=ZC,/BAD：/CAD￡9.如圖2所示，在RtABC中，A.B.2個(gè) C.3個(gè)D.4個(gè)A￡9.如圖2所示，在RtABC中，A.B.2個(gè) C.3個(gè)D.4個(gè)A90,BD平分ABC,交AC于點(diǎn)D,且則點(diǎn)D到BC的距離是AB4,BD510.如圖，給出下列四組條件:56①ABDE,BC②ABDE,B③BE,BC④ABDE,ACEF,ACDF;E,BCEF;EF,CF;DF,BE.其中，能使AABC^ADEF的條件共有（A.1A.1組B.2組 C.3組D.4組11.如圖，D,E分別為AABC的AC,BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處.若CDE48°,則APD等于（ ）A.420B.48°C.52D.580

12、如圖，為估計(jì)池塘岸邊A、B兩點(diǎn)的距離，小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O,測(cè)彳導(dǎo)OA15米，OB10米，A、B間的距離不可能是 （ ）A.5米 B.10米 C.15米 D.20米13、下列命題中，錯(cuò)誤的是（ ）.A.三角形兩邊之和大于第三邊B.三角形的外角和等于360°C.三角形的一條中線能將三角形面積分成相等的兩部分D.等邊三角形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形14、如圖,在RtzXABC中，B90ED是AC的垂直平分線，交AC14、如圖,在RtzXABC中，B90ED是AC的垂直平分線，交AC于占J八、、交BC于點(diǎn)E.已知BAE10,則C的度數(shù)為（A.30C.50 D .6015、如圖，AC=AD,BC=BQ則有（ ）A.AB^直平分CD B.CM直平分ABC.AB^CD互相垂直平分 D.。皿分/ACB16、如圖，將Rt^ABC其中/B=34°,ZC=90°）繞A點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到^AB1C1的位置，使得點(diǎn)C、A、Bi在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角最小等于（ ）A.560 B.68 0 C.124 0 D.1800CA

CA17、如圖，△ACBW/XACB,BCB=30°17、如圖，△ACBW/XACB,BCB=30°,則ACA的度數(shù)為（A.20° B,30° C.35D.4018、尺規(guī)作圖作AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交OA、OB于C、D,再分別以點(diǎn)C、D為圓心，以大于-CD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線2OP,由作法得△OCP^zXODP的根據(jù)是（ ）A.SASB.ASAC.AASD.SSS19、如圖，為估計(jì)池塘岸邊A、19、如圖，為估計(jì)池塘岸邊A、B的距離，小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O,測(cè)得OA15米,OB=10米，AB間的距離不可能是（ ）A.20米 B.15米 C.10米D.5米20、如圖，O20、如圖，O呼分AOB,PAOA,PB成立的是（）A.PAPBB.PO平分APBOB,垂足分別為A,B.下列結(jié)論中不一定AB垂直平分AB垂直平分OP.填空題：.我國(guó)國(guó)旗上的每一個(gè)五角星的對(duì)稱軸有條.在△ABC中，邊ABAC的垂直平分線相交于點(diǎn)巳則PAPRPC的大小關(guān)系為.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3,4ABD的周長(zhǎng)為13,那么△ABC的周長(zhǎng)為.兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在5.線段是5.線段是圖形，它的對(duì)稱軸是6、已知△ABC中，AB=BC=AG作與△ABC只有一條公共邊，且與△ABC全等的三角形,這樣的三角形一共能作出個(gè).7.（2009年濟(jì)寧市）觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第 5個(gè)大三角形中白色三角形有個(gè).第1個(gè) 第2個(gè) 第3個(gè)三.解答題：.如圖，點(diǎn)E是Rt^ABC的斜邊AB的中點(diǎn)，ED￡AB,且/CAD/BAD=52則/BAC的度數(shù)是多少？.如圖，AB=ACAB的垂直平分線DE交BC延長(zhǎng)線于E,交AC于F,ZA=50°,AB+BC=6則（1）4BCF的周長(zhǎng)為多少？（2）ZE的度數(shù)為多少？.已知：如圖，/ABG/DCBBDCA分別是/ABC/DCB勺平分線.求證：AB=DC4、如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB=DE/A=/D,AF=DC求證：BC/IEF.5、兩塊完全相同的三角形紙板ABC^DEF按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點(diǎn)O為邊AC^DF的交點(diǎn).不重疊的兩部分△AOFW△DOC!否全等？為什么？.在4ABC中,AB=CB,/ABC=90o,F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE=CF.⑴求證:Rt^ABE^RtACBF;(2)若/CAE=30o求/ACF度數(shù)..如圖6,ABBD于點(diǎn)B,EDBD于點(diǎn)D,AE交BD于點(diǎn)C,且BCDC.求證ABED..如圖，在Rt^ABC中，/BAC=90,AC=2AB點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與 A、D重合，連結(jié)BEEC.試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想. 『B是ARACB是ARAC上,且AB=ACAD=AE求證/B=ZC..如圖，在^ABO^,AD是中線，分別過(guò)點(diǎn)RC作AD及其延長(zhǎng)線的垂線BECF,垂足分別為點(diǎn)E、F.求證：BE=CF..如圖，在^ABC^,D是BC邊上的點(diǎn)(不與B,C重合)，F(xiàn),E分別是AD及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，CFBE請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使△BD*ACDF(不再添加其它線段，不再標(biāo)注或使用其他字母)，并給出證明.(1)你添加的條件是：(2)證明：.如圖，B, F, C, E在同一條直線上， 點(diǎn)A,D在直線 BE的兩側(cè)，AB// DE AC//DF, BF=CE求證：AC=DF

.已知：如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，CE=CD/ACDWBCE,求證：AE=BD.已知：如圖，點(diǎn)ARCD在同一條直線上，EA!AQFD)±ADAE=DFAB=DC求證：/ACE:ZDBF.如圖，點(diǎn)A、E、BD在同一條直線上，AE=DBAC=DFAC//DF請(qǐng)?zhí)剿鰾C與EF有怎樣的位置關(guān)系