高等數(shù)學-概率22隨機變量的分布課件

第二章隨機變量第二節(jié)隨機變量的分布第二章隨機變量1

設X是一個離散型隨機變量，它可能取的值是

x1,x2,…,xn,…

為了描述隨機變量

X

，我們不僅需要知道隨機變量X取哪些值，而且還應知道X取每個值的概率.一、離散型隨機變量的分布設X是一個離散型隨機變量，它可能取的值是x1,x2,2

這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為例1

且這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.從中任取33

定義1：設xk(k=1,2,…,n,…)是離散型隨機變量X的所有可能取值，稱

k=1,2,…,n,…

為離散型隨機變量X的概率分布或概率函數(shù).或可寫為1、離散型隨機變量的概率分布

稱為離散型隨機變量X的分布列定義1：設xk(k=1,2,…,n,…)是離散4

k=1,2,…

（1）（2）用這兩條性質判斷一個二元序列是否是概率分布2、概率分布的基本性質

k=1,2,…（1）（2）用這兩條性質判斷2、概率分53、舉例

例1.一批產品的廢品率為5％，從中任意抽取一個進行檢驗，用隨機變量來描述廢品出現(xiàn)的情況，即寫出的分布。

3、舉例例1.一批產品的廢品率為5％，從中任意抽取一個進行6常見的離散型隨機變量的概率分布之一(I)兩點分布

設E是一個只有兩種可能結果的隨機試驗,用Ω={1,2}表示其樣本空間.P(1)=p,P(2)=1-pX()=1,=1

0,=2兩點分布或0－1分布常見的離散型隨機變量的概率分布之一(I)兩點分布設E是7例2.

產品有一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三等品率和廢品率分別為60％、10％、20％、10％，任取一個產品檢驗其質量，用隨機變量描述檢驗結果并畫出其概率函數(shù)圖。

例2.產品有一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三等品率和8例3.用隨機變量去描述擲一顆骰子的試驗情況。

例3.用隨機變量去描述擲一顆骰子的試驗情況。9例4.社會上定期發(fā)行一種獎券，每券1元，中獎率為。某人每次購買1張獎券，如果沒有中獎，下次再繼續(xù)購買1張，直到中獎為止。求該人購買次數(shù)的分布。

例4.社會上定期發(fā)行一種獎券，每券1元，中獎率為。某人每10例5.盒內裝有外形與功率均相同的15個燈泡，其中10個螺口，5個卡口，燈口向下放著?，F(xiàn)在需用1個螺口燈泡，從盒中任取一個，如果取到卡口燈泡就不再放回去。求在取到螺口燈泡之前已取出的卡口燈泡數(shù)的分布。

例5.盒內裝有外形與功率均相同的15個燈泡，其中10個螺口，11小結：求分布列問題

（1）先求隨機變量的所有可能取值；（2）再求取每個值的概率。小結：求分布列問題（1）先求隨機變量的所有可能取值；（2）12思考.將一顆骰子拋擲兩次，以表示兩次所得點數(shù)之和，以表示兩次拋擲得到的小的點數(shù)。試求，的分布列。

思考.將一顆骰子拋擲兩次，以表示兩次所得點數(shù)之和，以13二、隨機變量的分布函數(shù)

概率函數(shù)可以完全地描述一個離散型隨機變量，但連續(xù)型隨機變量是無法用分布列來描述的。因為：

（1）連續(xù)型隨機變量X的所有可能取值充滿一個區(qū)間,不可列；

（2）X取某一個具體的值的概率為零，意義不大。二、隨機變量的分布函數(shù)概率函數(shù)可以完全地描述一個離散14例如：某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，一位乘客對該汽車的通車時間一無所知，則該乘客的候車時間是一個連續(xù)型隨機變量X。（1）X的取值充滿區(qū)間[0,5].（2）P{X=2.859}=0，無太大意義.（3）考慮P{a<X≤b}=P{X≤b}－P{X≤a}例如：某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，一位乘客對該汽車15對于連續(xù)型隨機變量X：P{x1<X≤x2}對于離散型隨機變量X：P{X=xk

}

=P{X≤xk

}－P{X≤xk-1}。

=P{xk-1<X≤xk

}

=P{X≤x2}－P{X≤x1}。無論離散型r.v.還是連續(xù)型r.v.，都可以用形如P{X≤x}的概率來統(tǒng)一描述，這就是隨機變量的分布函數(shù)對于連續(xù)型隨機變量X：對于離散型隨機變量X：161、分布函數(shù)定義

2、分布函數(shù)的性質

設X()是一個隨機變量（離散型或連續(xù)型），稱函數(shù)

F(x):=P{X≤x},-∞<x<∞

為隨機變量X的分布函數(shù).（1）有界性：0≤F(x)≤1,-∞<x<∞；（2）單調性：F(x)是x的單調不減函數(shù)，即若x1<x2，則F(x1)≤F(x2)；（3）1、分布函數(shù)定義2、分布函數(shù)的性質17（4）右連續(xù)性：F(x＋0)＝F(x)，x為任意實數(shù)；（5）利用分布函數(shù)計算概率：P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}－P{X≤x1}＝F(x2)－F(x1)。F(x)至多有可列個間斷點，并且在間斷點處也右連續(xù)P{X≥x0}

P{X>x0}=1－F(x0)=1－F(x0－0)（4）右連續(xù)性：（5）利用分布函數(shù)計算概率：183、離散型隨機變量的分布函數(shù)例1、求0－1分布的分布函數(shù)，并畫出圖形。

已知概率函數(shù)3、離散型隨機變量的分布函數(shù)例1、求0－1分布的分布函數(shù)，并19例2、求擲一枚骰子所得的點數(shù)的分布函數(shù)，并畫出圖形。

例2、求擲一枚骰子所得的點數(shù)的分布函數(shù)，并畫出圖形20例3、求已知離散型隨機變量的分布函數(shù)如下，求的概率函數(shù)。例3、求已知離散型隨機變量的分布函數(shù)如下，求21離散型r.v.的分布函數(shù)與概率函數(shù)的關系（1）從概率函數(shù)求分布函數(shù)離散型r.v.的分布函數(shù)與概率函數(shù)的關系（1）從概率函數(shù)求分22離散型隨機變量X的分布函數(shù)圖是階梯曲線，在一切有正概率的點xk

都有一個跳躍，躍度為P{X=xk

}對F(x)任何連續(xù)點x，P{X＝x

}＝0。這一點對連續(xù)型隨機變量也是成立的。離散型隨機變量X的分布函數(shù)圖是階梯曲線，在一切有正概率的點x23（2）從分布函數(shù)求概率函數(shù)=P{X=xk

}pk

=F(xk)－F(xk

-0)

k=0，1，2，……離散型r.v.X在其分布函數(shù)F(x)的所有跳躍間斷點處取值，而其概率則是跳躍的幅度。（2）從分布函數(shù)求概率函數(shù)=P{X=xk}pk=F(xk24三、連續(xù)型隨機變量的分布

雖然分布函數(shù)可以統(tǒng)一地描述離散型和連續(xù)型兩類隨機變量的概率規(guī)律，但是就離散型隨機變量而言，用概率函數(shù)描述更為直觀和方便。那么，對連續(xù)型隨機變量，能不能也找到一種更加方便和直觀的描述方式呢？這就是連續(xù)型隨機變量的概率密度。三、連續(xù)型隨機變量的分布雖然分布函數(shù)可以統(tǒng)一地描述離散型和25高爾頓釘板試驗高26下面是我們用某大學大學生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的密度曲線

可見，概率P{a<X≤b

}就是區(qū)間[a,b]上，紅色曲線f(x)之下的曲邊梯形的面積。下面是我們用某大學大學生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是271、定義

如果存在一非負實函數(shù)f(x)，，使隨機變量X的分布函數(shù)F(x)可以表示成則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)稱為X的概率分布密度函數(shù)，簡稱概率密度。記作X～f(x)1、定義如果存在一非負實函數(shù)f(x)，282、概率密度函數(shù)的性質（1）f(x)≥0；（2）；（3）區(qū)間概率P{a<X≤b}

這兩條性質是判斷一個函數(shù)f(x)是否某r.v.X的概率密度的充要條件。（4）在f(x)的連續(xù)點x處，有（5）連續(xù)型r.v.X取單點值的概率為0，即（6）P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}

對，P{X=a}=0。=P{a<X≤b}2、概率密度函數(shù)的性質（1）f(x)≥0；（2）29

要注意的是，密度函數(shù)

f(x)在某點a處的高度，并不反映X取值a的概率。但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大。也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度。這就很直觀的描述了連續(xù)型隨機變量的概率規(guī)律。

f(x)

x

o要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點a處的高度，并不30例1、在區(qū)間[4,10]上任意拋擲一個質點，用表示這個質點與原點的距離，則是一個隨機變量。如果這個質點落在[4,10]上任一子區(qū)間內的概率與這個區(qū)間的長度成正比，求的分布函數(shù)和概率密度。3、舉例例1、在區(qū)間[4,10]上任意拋擲一個質點，用表示這個質點與31常見的連續(xù)型隨機變量的概率分布之一均勻分布如果隨機變量的概率密度為則稱服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，記作～U[a,b]。常見的連續(xù)型隨機變量的概率分布之一均勻分布如果隨機變量32例2、設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx，（1）確定常數(shù)A，B；（2）求的概率密度函數(shù)f(x)；（3）求。例2、設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為33例3、設連續(xù)型隨機變量的概率密度為，求：（1）常數(shù)A；（2）的分布函數(shù)F(x)；（3）落入區(qū)間的概率。例3、設連續(xù)型隨機變量的概率密度為34例4、設連續(xù)型隨機變量的概率密度為

且，求常數(shù)a，b。例4、設連續(xù)型隨機變量的概率密度為35復習與總結(1)F(x)=P{X≤x}求概率:

P{a<X≤b}=F(b)-F(a)；(2)離散型r.v.X，常用分布列描述

F(x)與分布列的關系（略）求概率:

P{a<X≤b}復習與總結(1)F(x)=P{X≤x}求概率:36(3)連續(xù)型r.v.X，常用概率密度f(x)描述

F(x)和f(x)的關系：求概率:

P{a<X≤b}(3)連續(xù)型r.v.X，常用概率密度f(x)描述37

第二章隨機變量第二節(jié)隨機變量的分布第二章隨機變量38

設X是一個離散型隨機變量，它可能取的值是

x1,x2,…,xn,…

為了描述隨機變量

X

，我們不僅需要知道隨機變量X取哪些值，而且還應知道X取每個值的概率.一、離散型隨機變量的分布設X是一個離散型隨機變量，它可能取的值是x1,x2,39

這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為例1

且這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.從中任取340

定義1：設xk(k=1,2,…,n,…)是離散型隨機變量X的所有可能取值，稱

k=1,2,…,n,…

為離散型隨機變量X的概率分布或概率函數(shù).或可寫為1、離散型隨機變量的概率分布

稱為離散型隨機變量X的分布列定義1：設xk(k=1,2,…,n,…)是離散41

k=1,2,…

（1）（2）用這兩條性質判斷一個二元序列是否是概率分布2、概率分布的基本性質

k=1,2,…（1）（2）用這兩條性質判斷2、概率分423、舉例

例1.一批產品的廢品率為5％，從中任意抽取一個進行檢驗，用隨機變量來描述廢品出現(xiàn)的情況，即寫出的分布。

3、舉例例1.一批產品的廢品率為5％，從中任意抽取一個進行43常見的離散型隨機變量的概率分布之一(I)兩點分布

設E是一個只有兩種可能結果的隨機試驗,用Ω={1,2}表示其樣本空間.P(1)=p,P(2)=1-pX()=1,=1

0,=2兩點分布或0－1分布常見的離散型隨機變量的概率分布之一(I)兩點分布設E是44例2.

產品有一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三等品率和廢品率分別為60％、10％、20％、10％，任取一個產品檢驗其質量，用隨機變量描述檢驗結果并畫出其概率函數(shù)圖。

例2.產品有一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三等品率和45例3.用隨機變量去描述擲一顆骰子的試驗情況。

例3.用隨機變量去描述擲一顆骰子的試驗情況。46例4.社會上定期發(fā)行一種獎券，每券1元，中獎率為。某人每次購買1張獎券，如果沒有中獎，下次再繼續(xù)購買1張，直到中獎為止。求該人購買次數(shù)的分布。

例4.社會上定期發(fā)行一種獎券，每券1元，中獎率為。某人每47例5.盒內裝有外形與功率均相同的15個燈泡，其中10個螺口，5個卡口，燈口向下放著。現(xiàn)在需用1個螺口燈泡，從盒中任取一個，如果取到卡口燈泡就不再放回去。求在取到螺口燈泡之前已取出的卡口燈泡數(shù)的分布。

例5.盒內裝有外形與功率均相同的15個燈泡，其中10個螺口，48小結：求分布列問題

（1）先求隨機變量的所有可能取值；（2）再求取每個值的概率。小結：求分布列問題（1）先求隨機變量的所有可能取值；（2）49思考.將一顆骰子拋擲兩次，以表示兩次所得點數(shù)之和，以表示兩次拋擲得到的小的點數(shù)。試求，的分布列。

思考.將一顆骰子拋擲兩次，以表示兩次所得點數(shù)之和，以50二、隨機變量的分布函數(shù)

概率函數(shù)可以完全地描述一個離散型隨機變量，但連續(xù)型隨機變量是無法用分布列來描述的。因為：

（1）連續(xù)型隨機變量X的所有可能取值充滿一個區(qū)間,不可列；

（2）X取某一個具體的值的概率為零，意義不大。二、隨機變量的分布函數(shù)概率函數(shù)可以完全地描述一個離散51例如：某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，一位乘客對該汽車的通車時間一無所知，則該乘客的候車時間是一個連續(xù)型隨機變量X。（1）X的取值充滿區(qū)間[0,5].（2）P{X=2.859}=0，無太大意義.（3）考慮P{a<X≤b}=P{X≤b}－P{X≤a}例如：某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，一位乘客對該汽車52對于連續(xù)型隨機變量X：P{x1<X≤x2}對于離散型隨機變量X：P{X=xk

}

=P{X≤xk

}－P{X≤xk-1}。

=P{xk-1<X≤xk

}

=P{X≤x2}－P{X≤x1}。無論離散型r.v.還是連續(xù)型r.v.，都可以用形如P{X≤x}的概率來統(tǒng)一描述，這就是隨機變量的分布函數(shù)對于連續(xù)型隨機變量X：對于離散型隨機變量X：531、分布函數(shù)定義

2、分布函數(shù)的性質

設X()是一個隨機變量（離散型或連續(xù)型），稱函數(shù)

F(x):=P{X≤x},-∞<x<∞

為隨機變量X的分布函數(shù).（1）有界性：0≤F(x)≤1,-∞<x<∞；（2）單調性：F(x)是x的單調不減函數(shù)，即若x1<x2，則F(x1)≤F(x2)；（3）1、分布函數(shù)定義2、分布函數(shù)的性質54（4）右連續(xù)性：F(x＋0)＝F(x)，x為任意實數(shù)；（5）利用分布函數(shù)計算概率：P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}－P{X≤x1}＝F(x2)－F(x1)。F(x)至多有可列個間斷點，并且在間斷點處也右連續(xù)P{X≥x0}

P{X>x0}=1－F(x0)=1－F(x0－0)（4）右連續(xù)性：（5）利用分布函數(shù)計算概率：553、離散型隨機變量的分布函數(shù)例1、求0－1分布的分布函數(shù)，并畫出圖形。

已知概率函數(shù)3、離散型隨機變量的分布函數(shù)例1、求0－1分布的分布函數(shù)，并56例2、求擲一枚骰子所得的點數(shù)的分布函數(shù)，并畫出圖形。

例2、求擲一枚骰子所得的點數(shù)的分布函數(shù)，并畫出圖形57例3、求已知離散型隨機變量的分布函數(shù)如下，求的概率函數(shù)。例3、求已知離散型隨機變量的分布函數(shù)如下，求58離散型r.v.的分布函數(shù)與概率函數(shù)的關系（1）從概率函數(shù)求分布函數(shù)離散型r.v.的分布函數(shù)與概率函數(shù)的關系（1）從概率函數(shù)求分59離散型隨機變量X的分布函數(shù)圖是階梯曲線，在一切有正概率的點xk

都有一個跳躍，躍度為P{X=xk

}對F(x)任何連續(xù)點x，P{X＝x

}＝0。這一點對連續(xù)型隨機變量也是成立的。離散型隨機變量X的分布函數(shù)圖是階梯曲線，在一切有正概率的點x60（2）從分布函數(shù)求概率函數(shù)=P{X=xk

}pk

=F(xk)－F(xk

-0)

k=0，1，2，……離散型r.v.X在其分布函數(shù)F(x)的所有跳躍間斷點處取值，而其概率則是跳躍的幅度。（2）從分布函數(shù)求概率函數(shù)=P{X=xk}pk=F(xk61三、連續(xù)型隨機變量的分布

雖然分布函數(shù)可以統(tǒng)一地描述離散型和連續(xù)型兩類隨機變量的概率規(guī)律，但是就離散型隨機變量而言，用概率函數(shù)描述更為直觀和方便。那么，對連續(xù)型隨機變量，能不能也找到一種更加方便和直觀的描述方式呢？這就是連續(xù)型隨機變量的概率密度。三、連續(xù)型隨機變量的分布雖然分布函數(shù)可以統(tǒng)一地描述離散型和62高爾頓釘板試驗高63下面是我們用某大學大學生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的密度曲線

可見，概率P{a<X≤b

}就是區(qū)間[a,b]上，紅色曲線f(x)之下的曲邊梯形的面積。下面是我們用某大學大學生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是641、定義

如果存在一非負實函數(shù)f(x)，，使隨機變量X的分布函數(shù)F(x)可以表示成則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)稱為X的概率分布密度函數(shù)，簡稱概率密度。記作X～f(x)1、定義如果存在一非負實函數(shù)f(x)，652、概率密度函數(shù)的性質（1）f(x)≥0；（2）；（3）區(qū)間概率P{a<X≤b}

這兩條性質是判斷一個函數(shù)f(x)是否某r.v.X的概率密度的充要條件。（4）在f(x)的連續(xù)點x處，有（5）連續(xù)型r.v.X取單點值的概率為0，即（6）P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}

對，P{X=a}=0。=P{a<X≤b}2、概率密度函數(shù)的性質（1）f(x)≥0；（2）66

要注意的是，密度函數(shù)

f(x)在某點a處的高度，并不反映X取值a的概率。但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大。也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度。這就很直觀的描述了連續(xù)型隨機變量的概率規(guī)律。

f(x)

x

o要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點a處的高度，并不67例1、在區(qū)間[4,10]上任意拋擲一個質點，用表示這個質點與原點的距離，則