拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件

§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（1）X§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（1）X1定義：在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫拋物線.拋物線的定義及標準方程準線方程焦點坐標標準方程圖形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)一、溫故知新定義：在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的2范圍1、由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍為二、探索新知如何研究拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)?拋物線在y軸的右側(cè)，當x的值增大時，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。范圍1、由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍3對稱性2、關(guān)于x軸對稱即點(x,-y)也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對稱.則(-y)2=2px若點(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，對稱性2、關(guān)于x軸即點(x,-y)也在拋物線上,故拋4頂點3、定義：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點。y2=2px(p>0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線y2=2px(p>0)的頂點（0，0）.注:這與橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點不同。頂點3、定義：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的5離心率4、P(x,y)拋物線上的點與焦點的距離和它到準線的距離之比，叫做拋物線的離心率。由定義知，拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.

下面請大家得出其余三種標準方程拋物線的幾何性質(zhì)。離心率4、P(x,y)拋物線上的點與焦點的距6（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點準線范圍頂點對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點準線范圍頂點對7特點：1.拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;思考：拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響.P(x,y)P越大,開口越開闊特點：1.拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但8補充（1）通徑：通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度：2PP越大,開口越開闊（2）焦半徑：連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑。焦半徑公式：（標準方程中2p的幾何意義）利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖。補充（1）通徑：通過焦點且垂直對稱軸的直線，|PF|=x0+9

因為拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（２，），解:所以設(shè)方程為：又因為點M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標準方程為：

例１：已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（２，），求它的標準方程.三、典例精析坐標軸當焦點在x(y)軸上,開口方向不定時,設(shè)為y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論因為拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點10練習一：1、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是

.2、已知點A（-2，3）與拋物線的焦點的距離是5，則P=

。4練習一：1、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線11四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于１；拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準線；拋物線的通徑為2P,2p越大，拋物線的張口越大.1、范圍：2、對稱性：3、頂點：4、離心率：5、通徑：四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸12§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（2）X§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（2）X13一、直線與拋物線位置關(guān)系種類xyO1、相離；2、相切；3、相交（一個交點，兩個交點）與雙曲線的情況一樣一、直線與拋物線位置關(guān)系種類xyO1、相離；2、相切；3、相14xyO二、判斷方法探討1、直線與拋物線相離，無交點。例：判斷直線y=x+2與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計算結(jié)果：得到一元二次方程，需計算判別式。相離。xyO二、判斷方法探討1、直線與拋物線相離，無交點。例：判斷15xyO2、直線與拋物線相切，交與一點。例：判斷直線y=x+1與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計算結(jié)果：得到一元二次方程，需計算判別式。相切。二、判斷方法探討xyO2、直線與拋物線相切，交與一點。例：判斷直線y=16xyO3、直線與拋物線的對稱軸平行，相交與一點。例：判斷直線y=6與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計算結(jié)果：得到一元一次方程，容易解出交點坐標二、判斷方法探討xyO3、直線與拋物線的對稱軸平行，相交與一點。例：判斷直線17xyO例：判斷直線y=x-1與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計算結(jié)果：得到一元二次方程，需計算判別式。相交。4、直線與拋物線的對稱軸不平行，相交與兩點。二、判斷方法探討xyO例：判斷直線y=x-1與計算結(jié)果：得到一元二次18三、判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序（一）把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與拋物線的對稱軸平行（重合）相交（一個交點）計算判別式>0=0<0相交相切相離三、判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序（一）把直線方程代入拋19幾何畫板演示幾何畫板演示20①①①①21①①①①①①22①①23拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件24xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.y2=4x解法一:由已知得拋物線的焦點為F(1,0),所以直線AB的方程為y=x-1xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線25xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.y2=4x解法二:由題意可知,xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線26分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．變式：過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準線相切．分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．變式：27證明：如圖．

所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準線l相切．設(shè)AB的中點為E，過A、E、B分別向準線l引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜證明：如圖．所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l28課堂練習:1.過拋物線的焦點,作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長為_________2.垂直于x軸的直線交拋物線y2=4x于A、B,且|AB|=4,求直線AB的方程.y2=8xX=3課堂練習:y2=8xX=329

點評：本題用了分類討論的方法.若先用數(shù)形結(jié)合，找出符合條件的直線的條數(shù)，就不會造成漏解。點評：本題用了分類討論的方法.若先用數(shù)形結(jié)合，找30§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（3）X§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（3）X31拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件32拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件33拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件34xyBAFO解：因為直線AB過定點F且不與x軸平行,設(shè)直線AB的方程為xyBAFO解：因為直線AB過定點F且不與x軸平35xyBAFOxyBAFO36xyBAFOxyBAFO37拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件38例3、已知拋物線y2=2x,過Q(2,1)作直線與拋物線交于A、B，求AB中點的軌跡方程..F解：例3、已知拋物線y2=2x,過Q(2,1)作直線與拋物線交于39例4.已知拋物線y=x2,動弦AB的長為2，求AB中點縱坐標的最小值。.xoyFABMCND解：例4.已知拋物線y=x2,動弦AB的長為2，求AB中點縱坐標40拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件41§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（1）X§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（1）X42定義：在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫拋物線.拋物線的定義及標準方程準線方程焦點坐標標準方程圖形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)一、溫故知新定義：在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的43范圍1、由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍為二、探索新知如何研究拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)?拋物線在y軸的右側(cè)，當x的值增大時，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。范圍1、由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍44對稱性2、關(guān)于x軸對稱即點(x,-y)也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對稱.則(-y)2=2px若點(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，對稱性2、關(guān)于x軸即點(x,-y)也在拋物線上,故拋45頂點3、定義：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點。y2=2px(p>0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線y2=2px(p>0)的頂點（0，0）.注:這與橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點不同。頂點3、定義：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的46離心率4、P(x,y)拋物線上的點與焦點的距離和它到準線的距離之比，叫做拋物線的離心率。由定義知，拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.

下面請大家得出其余三種標準方程拋物線的幾何性質(zhì)。離心率4、P(x,y)拋物線上的點與焦點的距47（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點準線范圍頂點對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點準線范圍頂點對48特點：1.拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;思考：拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響.P(x,y)P越大,開口越開闊特點：1.拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但49補充（1）通徑：通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度：2PP越大,開口越開闊（2）焦半徑：連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑。焦半徑公式：（標準方程中2p的幾何意義）利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖。補充（1）通徑：通過焦點且垂直對稱軸的直線，|PF|=x0+50

因為拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（２，），解:所以設(shè)方程為：又因為點M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標準方程為：

例１：已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（２，），求它的標準方程.三、典例精析坐標軸當焦點在x(y)軸上,開口方向不定時,設(shè)為y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論因為拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點51練習一：1、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是

.2、已知點A（-2，3）與拋物線的焦點的距離是5，則P=

。4練習一：1、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線52四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于１；拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準線；拋物線的通徑為2P,2p越大，拋物線的張口越大.1、范圍：2、對稱性：3、頂點：4、離心率：5、通徑：四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸53§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（2）X§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（2）X54一、直線與拋物線位置關(guān)系種類xyO1、相離；2、相切；3、相交（一個交點，兩個交點）與雙曲線的情況一樣一、直線與拋物線位置關(guān)系種類xyO1、相離；2、相切；3、相55xyO二、判斷方法探討1、直線與拋物線相離，無交點。例：判斷直線y=x+2與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計算結(jié)果：得到一元二次方程，需計算判別式。相離。xyO二、判斷方法探討1、直線與拋物線相離，無交點。例：判斷56xyO2、直線與拋物線相切，交與一點。例：判斷直線y=x+1與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計算結(jié)果：得到一元二次方程，需計算判別式。相切。二、判斷方法探討xyO2、直線與拋物線相切，交與一點。例：判斷直線y=57xyO3、直線與拋物線的對稱軸平行，相交與一點。例：判斷直線y=6與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計算結(jié)果：得到一元一次方程，容易解出交點坐標二、判斷方法探討xyO3、直線與拋物線的對稱軸平行，相交與一點。例：判斷直線58xyO例：判斷直線y=x-1與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計算結(jié)果：得到一元二次方程，需計算判別式。相交。4、直線與拋物線的對稱軸不平行，相交與兩點。二、判斷方法探討xyO例：判斷直線y=x-1與計算結(jié)果：得到一元二次59三、判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序（一）把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與拋物線的對稱軸平行（重合）相交（一個交點）計算判別式>0=0<0相交相切相離三、判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序（一）把直線方程代入拋60幾何畫板演示幾何畫板演示61①①①①62①①①①①①63①①64拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件65xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.y2=4x解法一:由已知得拋物線的焦點為F(1,0),所以直線AB的方程為y=x-1xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線66xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.y2=4x解法二:由題意可知,xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線67分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．變式：過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準線相切．分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．變式：68證明：如圖．