高斯公式與斯托克斯公式課件

§3高斯公式與斯托克斯公式

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二、斯托克斯公式

§3高斯公式與斯托克斯公式

一、高斯公式二、斯托克斯公式§3高斯公式與斯托克一、高斯公式定理22.3

設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲

面

S圍成.若函數(shù)

P,Q,R

在上連續(xù),且有一階連

續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則其中

S取外側(cè).(1)式稱(chēng)為高斯公式.一、高斯公式定理22.3設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封證下面只證讀者可類(lèi)似這些結(jié)果相加便得到高斯公式(1).先設(shè)V是一個(gè)

xy

型區(qū)域,即其邊界曲面

S由曲面證明其余兩式:證下面只證讀者可類(lèi)似這些結(jié)果相加便得到高斯公式(及垂直于的柱面組成(圖22-7),其中于是按三重積分的計(jì)算方法,有及垂直于的柱面組成(圖22-7),其中于是按三重積其中都取上側(cè).又由于平面上投影面

其中都取上側(cè).又由于平面上投影面從而得到對(duì)于不是

xy型區(qū)域的情形,一般可用有限個(gè)光滑積為零,所以曲面將它分割成若干個(gè)

xy型區(qū)域來(lái)討論.從而得到對(duì)于不是xy型區(qū)域的情形,一般可用有限例1

計(jì)算其中

S是邊長(zhǎng)為

a的正立方體表面并取外側(cè).解應(yīng)用高斯公式,例1計(jì)算其中S是邊長(zhǎng)為a的正立方體表面并取外側(cè)注若在高斯公式中則有于是得到應(yīng)用第二型曲面積分計(jì)算空間區(qū)域

V

的體積的公式:例2計(jì)算其中為曲面上的部分,并取

上側(cè).注若在高斯公式中則有于是得到應(yīng)用第二型曲面積分計(jì)算空間區(qū)解由于曲面不是封閉的,不能直接應(yīng)用高斯公式.為了能使用高斯公式以方便計(jì)算,可補(bǔ)充一塊平面并取下側(cè),則構(gòu)成一封閉曲面.于是解由于曲面不是封閉的,不能直接應(yīng)用高斯公式.為了能使用高而因此例3證明電學(xué)中的高斯定理:在由點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的

靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度向外穿過(guò)任何包含在其內(nèi)

而因此例3證明電學(xué)中的高斯定理:在由點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的部的光滑封閉曲面的電通量都等于證以為球心作一半徑充分小的球面使全部

落在所包含的區(qū)域內(nèi)部,并將坐標(biāo)原點(diǎn)取在處.由電學(xué)知識(shí),在點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為設(shè)其中易驗(yàn)證(參見(jiàn)圖22-8

)部的光滑封閉曲面的電通量都等于證以為球心作一所以穿過(guò)的電通量為其中取外側(cè),是包圍的半徑為的球體.在與所圍的空間區(qū)域上應(yīng)用高斯公式,其邊

界的外測(cè)是的外側(cè)和的內(nèi)側(cè).因?yàn)樗源┻^(guò)的電通量為其中取外側(cè),是包圍的半徑所以穿過(guò)的電通量為所以穿過(guò)的電通量為二、斯托克斯公式先對(duì)雙側(cè)曲面

S的側(cè)與其邊界曲線(xiàn)

L的方向作如下規(guī)定:設(shè)有人站在

S上指定的一側(cè),若沿

L行走,指定的側(cè)總在人的左方,則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€(xiàn)

L

的正向;若沿

L行走,指定的側(cè)總在人的右方,則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€(xiàn)

L的負(fù)向.這個(gè)規(guī)定也稱(chēng)為右手法則,如圖

22-9所示.二、斯托克斯公式先對(duì)雙側(cè)曲面S的側(cè)與其邊界曲線(xiàn)L定理22.4設(shè)光滑曲面

S的邊界

L是按段光滑的連續(xù)曲線(xiàn).若函數(shù)

P,Q,R在

S(連同

L)上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有斯托克斯公式如下:定理22.4設(shè)光滑曲面S的邊界L是按段光滑的連續(xù)其中

S的側(cè)與

L的方向按右手法則確定.證先證其中曲面

S由方程確定,它的正側(cè)法線(xiàn)方(3)

其中S的側(cè)與L的方向按右手法則確定.證先證若

S在

xy平面上的投影為區(qū)域平面上的投影為曲線(xiàn)現(xiàn)由第二型曲線(xiàn)積分定義及格林公式有向數(shù)為方向余弦為所以若S在xy平面上的投影為區(qū)域平面上的投影為曲線(xiàn)所以因?yàn)樗砸驗(yàn)橛捎趶亩捎趶亩鴮?/p>

(3),(4),(5)三式相加,即得公式

(2).如果

S不能以的形式給出,則可用一些光滑曲線(xiàn)把

S分割為若干小塊,使每一小塊能用這綜合上述結(jié)果,便得到所要證明的(3)式.當(dāng)曲面

S表示為時(shí),同樣可證

將(3),(4),(5)三式相加,即得公式(2)為了便于記憶,斯托克斯公式也常寫(xiě)成如下形式:例4計(jì)算其中種形式來(lái)表示.因而這時(shí)

(2)式也能成立.與各坐標(biāo)面的交線(xiàn),取圖

22-8所示的方向.為了便于記憶,斯托克斯公式也常寫(xiě)成如下形式:例4計(jì)算其中種解應(yīng)用斯托克斯公式推得:解應(yīng)用斯托克斯公式推得:車(chē)胎狀的環(huán)形區(qū)域則是非單連通的.與平面曲線(xiàn)積分相仿,空間曲線(xiàn)積分與路線(xiàn)的無(wú)關(guān)性也有下面相應(yīng)的定理.不經(jīng)過(guò)

V以外的點(diǎn)而連續(xù)收縮于屬于

V的一點(diǎn).例如:兩同心球面所界定的區(qū)域仍是單連通的;而形如區(qū)域

V稱(chēng)為單連通的,如果

V內(nèi)任一封閉曲線(xiàn)皆可注上述之單連通,又稱(chēng)為“按曲面單連通”.其意義是:對(duì)于

V內(nèi)任一封閉曲線(xiàn)

L,均能以

L為邊界,

繃起一個(gè)位于

V中的曲面.車(chē)胎狀的環(huán)形區(qū)域則是非單連通的.與平面曲線(xiàn)積分相仿,空間曲線(xiàn)與路線(xiàn)無(wú)關(guān);(i)對(duì)于

內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線(xiàn)

L有(ii)對(duì)于

內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線(xiàn)

L,曲線(xiàn)積分定理22.5設(shè)為空間單連通區(qū)域.若函數(shù)P,

個(gè)條件是等價(jià)的:Q,R在

上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下四與路線(xiàn)無(wú)關(guān);(i)對(duì)于內(nèi)任一按段光滑的封閉曲例5驗(yàn)證曲線(xiàn)積分與路線(xiàn)無(wú)關(guān),并求被積表達(dá)式的原函數(shù)這個(gè)定理的證明與定理

21.12相仿,這里不重復(fù)了.在

內(nèi)處處成立.(iii)

內(nèi)某一函數(shù)

u的全微分,即例5驗(yàn)證曲線(xiàn)積分與路線(xiàn)無(wú)關(guān),并求被積表達(dá)式的原函數(shù)這個(gè)定取如圖

22-11,從沿平行于

x軸的直線(xiàn)到

所以曲線(xiàn)積分與路線(xiàn)無(wú)關(guān).現(xiàn)在求原函數(shù):解對(duì)于顯然有取如圖22-11,從沿平行于x軸的直線(xiàn)到所再沿平行于y軸的直線(xiàn)到最后沿平行于

z軸的直線(xiàn)到于是再沿平行于y軸的直線(xiàn)到最后沿平行于z軸的直線(xiàn)到于為原點(diǎn),則得若取為任意點(diǎn),則為一任意常數(shù).其中是一個(gè)常數(shù).若取為原點(diǎn),則得若取為任意點(diǎn),則為一任意?！?高斯公式與斯托克斯公式

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二、斯托克斯公式

§3高斯公式與斯托克斯公式

一、高斯公式二、斯托克斯公式§3高斯公式與斯托克一、高斯公式定理22.3

設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲

面

S圍成.若函數(shù)

P,Q,R

在上連續(xù),且有一階連

續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則其中

S取外側(cè).(1)式稱(chēng)為高斯公式.一、高斯公式定理22.3設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封證下面只證讀者可類(lèi)似這些結(jié)果相加便得到高斯公式(1).先設(shè)V是一個(gè)

xy

型區(qū)域,即其邊界曲面

S由曲面證明其余兩式:證下面只證讀者可類(lèi)似這些結(jié)果相加便得到高斯公式(及垂直于的柱面組成(圖22-7),其中于是按三重積分的計(jì)算方法,有及垂直于的柱面組成(圖22-7),其中于是按三重積其中都取上側(cè).又由于平面上投影面

其中都取上側(cè).又由于平面上投影面從而得到對(duì)于不是

xy型區(qū)域的情形,一般可用有限個(gè)光滑積為零,所以曲面將它分割成若干個(gè)

xy型區(qū)域來(lái)討論.從而得到對(duì)于不是xy型區(qū)域的情形,一般可用有限例1

計(jì)算其中

S是邊長(zhǎng)為

a的正立方體表面并取外側(cè).解應(yīng)用高斯公式,例1計(jì)算其中S是邊長(zhǎng)為a的正立方體表面并取外側(cè)注若在高斯公式中則有于是得到應(yīng)用第二型曲面積分計(jì)算空間區(qū)域

V

的體積的公式:例2計(jì)算其中為曲面上的部分,并取

上側(cè).注若在高斯公式中則有于是得到應(yīng)用第二型曲面積分計(jì)算空間區(qū)解由于曲面不是封閉的,不能直接應(yīng)用高斯公式.為了能使用高斯公式以方便計(jì)算,可補(bǔ)充一塊平面并取下側(cè),則構(gòu)成一封閉曲面.于是解由于曲面不是封閉的,不能直接應(yīng)用高斯公式.為了能使用高而因此例3證明電學(xué)中的高斯定理:在由點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的

靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度向外穿過(guò)任何包含在其內(nèi)

而因此例3證明電學(xué)中的高斯定理:在由點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的部的光滑封閉曲面的電通量都等于證以為球心作一半徑充分小的球面使全部

落在所包含的區(qū)域內(nèi)部,并將坐標(biāo)原點(diǎn)取在處.由電學(xué)知識(shí),在點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為設(shè)其中易驗(yàn)證(參見(jiàn)圖22-8

)部的光滑封閉曲面的電通量都等于證以為球心作一所以穿過(guò)的電通量為其中取外側(cè),是包圍的半徑為的球體.在與所圍的空間區(qū)域上應(yīng)用高斯公式,其邊

界的外測(cè)是的外側(cè)和的內(nèi)側(cè).因?yàn)樗源┻^(guò)的電通量為其中取外側(cè),是包圍的半徑所以穿過(guò)的電通量為所以穿過(guò)的電通量為二、斯托克斯公式先對(duì)雙側(cè)曲面

S的側(cè)與其邊界曲線(xiàn)

L的方向作如下規(guī)定:設(shè)有人站在

S上指定的一側(cè),若沿

L行走,指定的側(cè)總在人的左方,則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€(xiàn)

L

的正向;若沿

L行走,指定的側(cè)總在人的右方,則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€(xiàn)

L的負(fù)向.這個(gè)規(guī)定也稱(chēng)為右手法則,如圖

22-9所示.二、斯托克斯公式先對(duì)雙側(cè)曲面S的側(cè)與其邊界曲線(xiàn)L定理22.4設(shè)光滑曲面

S的邊界

L是按段光滑的連續(xù)曲線(xiàn).若函數(shù)

P,Q,R在

S(連同

L)上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有斯托克斯公式如下:定理22.4設(shè)光滑曲面S的邊界L是按段光滑的連續(xù)其中

S的側(cè)與

L的方向按右手法則確定.證先證其中曲面

S由方程確定,它的正側(cè)法線(xiàn)方(3)

其中S的側(cè)與L的方向按右手法則確定.證先證若

S在

xy平面上的投影為區(qū)域平面上的投影為曲線(xiàn)現(xiàn)由第二型曲線(xiàn)積分定義及格林公式有向數(shù)為方向余弦為所以若S在xy平面上的投影為區(qū)域平面上的投影為曲線(xiàn)所以因?yàn)樗砸驗(yàn)橛捎趶亩捎趶亩鴮?/p>

(3),(4),(5)三式相加,即得公式

(2).如果

S不能以的形式給出,則可用一些光滑曲線(xiàn)把

S分割為若干小塊,使每一小塊能用這綜合上述結(jié)果,便得到所要證明的(3)式.當(dāng)曲面

S表示為時(shí),同樣可證

將(3),(4),(5)三式相加,即得公式(2)為了便于記憶,斯托克斯公式也常寫(xiě)成如下形式:例4計(jì)算其中種形式來(lái)表示.因而這時(shí)

(2)式也能成立.與各坐標(biāo)面的交線(xiàn),取圖

22-8所示的方向.為了便于記憶,斯托克斯公式也常寫(xiě)成如下形式:例4計(jì)算其中種解應(yīng)用斯托克斯公式推得:解應(yīng)用斯托克斯公式推得:車(chē)胎狀的環(huán)形區(qū)域則是非單連通的.與平面曲線(xiàn)積分相仿,空間曲線(xiàn)積分與路線(xiàn)的無(wú)關(guān)性也有下面相應(yīng)的定理.不經(jīng)過(guò)

V以外的點(diǎn)而連續(xù)收縮于屬于

V的一點(diǎn).例如:兩同心球面所界定的區(qū)域仍是單連通的;而形如區(qū)域

V稱(chēng)為單連通的,如果

V內(nèi)任一封閉曲線(xiàn)皆可注上述之單連通,又稱(chēng)為“按曲面單連通”.其意義是:對(duì)于

V內(nèi)任一封閉曲線(xiàn)

L,均能以

L為邊界,

繃起一個(gè)位于

V