通過求曲邊梯形的面積課件

教學(xué)教法分析課前自主導(dǎo)學(xué)當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)易錯易誤辨析課后知能檢測課堂互動探究教師備選資源1．4定積分與微積分基本定理1．4.1曲邊梯形面積與定積分●三維目標(biāo)1．知識與技能(1)通過求曲邊梯形的面積，了解定積分的背景；(2)了解求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程的共同點(diǎn)，感受在其過程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限(逼近)；教學(xué)教法分析課前自主導(dǎo)學(xué)當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)易錯易誤辨析課后知能檢測(3)借助幾何直觀體會定積分的基本思想、初步了解定積分的概念．2．過程與方法理解求曲邊圖形面積及求汽車行駛的路程的過程：分割、以直代曲、逼近，感受在其過程中滲透的思想方法．3．情感、態(tài)度與價值觀通過曲邊梯形的面積，進(jìn)一步感受極限的思想．(3)借助幾何直觀體會定積分的基本思想、初步了解定積分的概念●重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握過程步驟：分割、以直代曲、求和、逼近(取極限)；理解定積分的概念及幾何意義．難點(diǎn)：對過程中所包含的微積分“以直代曲”思想的理解．●重點(diǎn)難點(diǎn)通過求曲邊梯形的面積課件【問題導(dǎo)思】

1．能否用求直邊圖形面積的方法求曲邊梯形的面積？【提示】由于曲邊梯形有一邊是曲線段，因此不能用求直邊圖形面積的方法求曲邊梯形的面積．2．當(dāng)曲邊梯形的高很小時，是否可用“直邊圖形”的面積近似代替曲邊梯形的面積？【提示】可以．【問題導(dǎo)思】曲邊梯形由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線

所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖1－4－1)．y＝f(x)曲邊梯形y＝f(x)【問題導(dǎo)思】

分析求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動的路程的步驟，試找出它們的共同點(diǎn)．【提示】兩個問題均可通過“分割、近似代替、求和、取極限”解決．都可以歸結(jié)為一個特定形式和的極限．【問題導(dǎo)思】定積分的定義設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義在區(qū)間[a，b]上(如圖1－4－2)．用分點(diǎn)a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把區(qū)間[a，b]分為n個小區(qū)間，其長度依次為Δxi＝xi＋1－xi，i＝0，1，2，…，n－1.記λ為這些小區(qū)間長度的最大者，當(dāng)λ趨近于0時，所有的小區(qū)間長度都趨近于0.在每個小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)ξi，作定積分的定義通過求曲邊梯形的面積課件【問題導(dǎo)思】

定積分和曲邊梯形的面積有何關(guān)系？【問題導(dǎo)思】通過求曲邊梯形的面積課件C

C以曲線f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積

面積的代數(shù)和

正號

負(fù)號

以曲線f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積面積的代數(shù)和正號負(fù)求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形面積．【思路探究】

按分割、近似代替、求和、取極限四個步驟進(jìn)行求解．求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件(3)求和因?yàn)槊恳粋€小矩形的面積都可以作為相應(yīng)小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形面積S的近似值，即(3)求和通過求曲邊梯形的面積課件求曲邊梯形面積：(1)思想：以直代曲．(2)步驟：分割→近似代替→求和→取極限．(3)關(guān)鍵：近似代替．(4)結(jié)果：分割越細(xì)，面積越精確．求曲邊梯形面積：本例改為“求由直線x＝0，x＝2，y＝0和曲線y＝2x－x2圍成的圖形面積”，如何求解？【解】

(1)分割：在區(qū)間[0，2]上等間隔地插入n－1個點(diǎn)，將區(qū)間[0，2]等分成n個小區(qū)間：本例改為“求由直線x＝0，x＝2，y＝0和曲線y＝2x－x2通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件(3)求和：(3)求和：通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件有一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，在時刻t的速度為v(t)＝3t2＋2(單位：km/h)，那么該汽車在0≤t≤2(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？【思路探究】

把變速直線運(yùn)動的路程問題化歸為勻速直線運(yùn)動的路程問題，通過分割、近似代替、求和、取極限四步解決．有一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，在時刻t的速度為v(t)＝通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件把變速直線運(yùn)動的路程問題化歸為求勻速直線運(yùn)動的路程問題，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取極限，求變速直線運(yùn)動的路程和曲邊梯形的面積，雖然它們的意義不同，但都可以歸納為求一個特定形式和的極限，通過這樣的背景問題，能更好體會后面所要學(xué)習(xí)的定積分的概念．把變速直線運(yùn)動的路程問題化歸為求勻速直線運(yùn)動的路程問題，采用已知某正電荷在某電場中做變速直線運(yùn)動，在時刻t的速度為v(t)＝t2(單位m/s)，求它在0≤t≤1這段時間運(yùn)動的路程是什么？已知某正電荷在某電場中做變速直線運(yùn)動，在時刻t的速度為v(t通過求曲邊梯形的面積課件【思路探究】

對于本題(1)、(2)可先確定被積函數(shù)、積分區(qū)間，畫出圖形，然后用幾何法求出圖形面積，從而確定定積分的值；對于(3)可根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性求解．【思路探究】對于本題(1)、(2)可先確定被積函數(shù)、積分區(qū)通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件【錯因分析】

在應(yīng)用定積分的幾何意義求定積分時，錯解中沒有考慮在x軸下方的面積取負(fù)號，x軸上方的面積取正號，導(dǎo)致錯誤．【錯因分析】在應(yīng)用定積分的幾何意義求定積分時，錯解中沒有考通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件【答案】

D【答案】D2．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi－1，xi]上的近似值等于(

)A．只能是區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi－1)B．只能是區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi)C．可以是區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi－1，xi])D．以上都不正確【解析】

以直代曲，可以把區(qū)間[xi－1，xi]上的任意點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi－1，xi]作為小矩形的高)．【答案】

C2．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi－1，xi]上通過求曲邊梯形的面積課件4．求由直線x＝0，x＝1，y＝0與曲線y＝x2＋2x＋1圍成的曲邊梯形的面積．4．求由直線x＝0，x＝1，y＝0與曲線y＝x2＋2x＋1圍通過求曲邊梯形的面積課件課后知能檢測點(diǎn)擊圖標(biāo)進(jìn)入…

課后知能檢測(1)請根據(jù)速度函數(shù)描述質(zhì)點(diǎn)的三種運(yùn)動狀態(tài)；(2)試求這一質(zhì)點(diǎn)在13s內(nèi)的運(yùn)動路程．(1)請根據(jù)速度函數(shù)描述質(zhì)點(diǎn)的三種運(yùn)動狀態(tài)；【思路探究】

在每一段內(nèi)按照四個步驟求出相應(yīng)的面積，最后再求和．【自主解答】

(1)v(t)＝2t2(0≤t≤3)，說明質(zhì)點(diǎn)在前3s內(nèi)做變加速直線運(yùn)動；v(t)＝18(3<t<7)，說明質(zhì)點(diǎn)在第3s～7s之間做勻速直線運(yùn)動；v(t)＝－3t＋39(7≤t≤13)，說明質(zhì)點(diǎn)在第7s～13s之間做勻減速直線運(yùn)動．【思路探究】在每一段內(nèi)按照四個步驟求出相應(yīng)的面積，最后再求通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件1．利用定義求定積分的步驟：1．利用定義求定積分的步驟：2．利用定積分的幾何意義求定積分的步驟：(1)確定被積函數(shù)和積分區(qū)間．(2)準(zhǔn)確畫出圖形．(3)求出各陰影部分的面積．2．利用定積分的幾何意義求定積分的步驟：求直線x＝1，x＝2，y＝0與y＝x3所圍成的曲邊梯形的面積．求直線x＝1，x＝2，y＝0與y＝x3所圍成的曲邊梯形的面積通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件(3)求和：因?yàn)槊恳粋€小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形ABCD面積S的近似值，即(3)求和：

(4)求極限：當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目愈多，即Δx愈小時，和式①的值就愈接近曲邊梯形ABCD的面積S，因此，n趨向無窮大即Δx趨向于0時，和式①的極限就是所求的曲邊梯形ABCD的面積．(4)求極限：通過求曲邊梯形的面積課件教學(xué)教法分析課前自主導(dǎo)學(xué)當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)易錯易誤辨析課后知能檢測課堂互動探究教師備選資源1．4定積分與微積分基本定理1．4.1曲邊梯形面積與定積分●三維目標(biāo)1．知識與技能(1)通過求曲邊梯形的面積，了解定積分的背景；(2)了解求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程的共同點(diǎn)，感受在其過程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限(逼近)；教學(xué)教法分析課前自主導(dǎo)學(xué)當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)易錯易誤辨析課后知能檢測(3)借助幾何直觀體會定積分的基本思想、初步了解定積分的概念．2．過程與方法理解求曲邊圖形面積及求汽車行駛的路程的過程：分割、以直代曲、逼近，感受在其過程中滲透的思想方法．3．情感、態(tài)度與價值觀通過曲邊梯形的面積，進(jìn)一步感受極限的思想．(3)借助幾何直觀體會定積分的基本思想、初步了解定積分的概念●重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握過程步驟：分割、以直代曲、求和、逼近(取極限)；理解定積分的概念及幾何意義．難點(diǎn)：對過程中所包含的微積分“以直代曲”思想的理解．●重點(diǎn)難點(diǎn)通過求曲邊梯形的面積課件【問題導(dǎo)思】

1．能否用求直邊圖形面積的方法求曲邊梯形的面積？【提示】由于曲邊梯形有一邊是曲線段，因此不能用求直邊圖形面積的方法求曲邊梯形的面積．2．當(dāng)曲邊梯形的高很小時，是否可用“直邊圖形”的面積近似代替曲邊梯形的面積？【提示】可以．【問題導(dǎo)思】曲邊梯形由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線

所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖1－4－1)．y＝f(x)曲邊梯形y＝f(x)【問題導(dǎo)思】

分析求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動的路程的步驟，試找出它們的共同點(diǎn)．【提示】兩個問題均可通過“分割、近似代替、求和、取極限”解決．都可以歸結(jié)為一個特定形式和的極限．【問題導(dǎo)思】定積分的定義設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義在區(qū)間[a，b]上(如圖1－4－2)．用分點(diǎn)a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把區(qū)間[a，b]分為n個小區(qū)間，其長度依次為Δxi＝xi＋1－xi，i＝0，1，2，…，n－1.記λ為這些小區(qū)間長度的最大者，當(dāng)λ趨近于0時，所有的小區(qū)間長度都趨近于0.在每個小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)ξi，作定積分的定義通過求曲邊梯形的面積課件【問題導(dǎo)思】

定積分和曲邊梯形的面積有何關(guān)系？【問題導(dǎo)思】通過求曲邊梯形的面積課件C

C以曲線f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積

面積的代數(shù)和

正號

負(fù)號

以曲線f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積面積的代數(shù)和正號負(fù)求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形面積．【思路探究】

按分割、近似代替、求和、取極限四個步驟進(jìn)行求解．求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件(3)求和因?yàn)槊恳粋€小矩形的面積都可以作為相應(yīng)小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形面積S的近似值，即(3)求和通過求曲邊梯形的面積課件求曲邊梯形面積：(1)思想：以直代曲．(2)步驟：分割→近似代替→求和→取極限．(3)關(guān)鍵：近似代替．(4)結(jié)果：分割越細(xì)，面積越精確．求曲邊梯形面積：本例改為“求由直線x＝0，x＝2，y＝0和曲線y＝2x－x2圍成的圖形面積”，如何求解？【解】

(1)分割：在區(qū)間[0，2]上等間隔地插入n－1個點(diǎn)，將區(qū)間[0，2]等分成n個小區(qū)間：本例改為“求由直線x＝0，x＝2，y＝0和曲線y＝2x－x2通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件(3)求和：(3)求和：通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件有一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，在時刻t的速度為v(t)＝3t2＋2(單位：km/h)，那么該汽車在0≤t≤2(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？【思路探究】

把變速直線運(yùn)動的路程問題化歸為勻速直線運(yùn)動的路程問題，通過分割、近似代替、求和、取極限四步解決．有一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，在時刻t的速度為v(t)＝通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件把變速直線運(yùn)動的路程問題化歸為求勻速直線運(yùn)動的路程問題，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取極限，求變速直線運(yùn)動的路程和曲邊梯形的面積，雖然它們的意義不同，但都可以歸納為求一個特定形式和的極限，通過這樣的背景問題，能更好體會后面所要學(xué)習(xí)的定積分的概念．把變速直線運(yùn)動的路程問題化歸為求勻速直線運(yùn)動的路程問題，采用已知某正電荷在某電場中做變速直線運(yùn)動，在時刻t的速度為v(t)＝t2(單位m/s)，求它在0≤t≤1這段時間運(yùn)動的路程是什么？已知某正電荷在某電場中做變速直線運(yùn)動，在時刻t的速度為v(t通過求曲邊梯形的面積課件【思路探究】

對于本題(1)、(2)可先確定被積函數(shù)、積分區(qū)間，畫出圖形，然后用幾何法求出圖形面積，從而確定定積分的值；對于(3)可根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性求解．【思路探究】對于本題(1)、(2)可先確定被積函數(shù)、積分區(qū)通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件【錯因分析】

在應(yīng)用定積分的幾何意義求定積分時，錯解中沒有考慮在x軸下方的面積取負(fù)號，x軸上方的面積取正號，導(dǎo)致錯誤．【錯因分析】在應(yīng)用定積分的幾何意義求定積分時，錯解中沒有考通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件通過求曲邊梯形的面積課件【答案】

D【答案】D2．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi－1，xi]上的近似值等于(

)A．只能是區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi－1)B．只能是區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi)C．可以是區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi－1，xi])D．以上都不正確【解析】

以直代曲，可以把區(qū)間[xi－1，xi]上的任意點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi－1，xi]作為小矩形的高)．【答案】

C2．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi－1，xi]上通過求曲邊梯形的面積課件4．求由直線x＝0，x＝1，y＝0與曲線y＝x2＋2x＋1圍成的曲邊梯形的面積．4．求由直線x＝0，x＝1，y＝0與曲線y＝x2＋2x＋1圍通過求曲邊梯形的面積課件課后知能檢測點(diǎn)擊圖標(biāo)進(jìn)入…

課后知能檢測(1)