剛體的定軸轉(zhuǎn)動課件

（RotationofRigidBodyaboutaFixedAxis）§4.1剛體的運動§4.5剛體的角動量和角動量守恒定律§4.4定軸轉(zhuǎn)動中的功和能§4.2剛體定軸轉(zhuǎn)動§4.3轉(zhuǎn)動定律及應(yīng)用舉例退出第四章剛體的定軸轉(zhuǎn)動0（RotationofRigidBodyabout剛體（rigidbody）：特殊的質(zhì)點系在外力作用下，形狀和體積不變化，理想化的模型。平動（translation）時，剛體上所有點運動都相同，故剛體可簡化為質(zhì)點。上頁下頁退出返回§4.1剛體的運動1剛體（rigidbody）：特殊的質(zhì)點系在外力作用下，形狀剛體的一般運動，都可看作是平動和轉(zhuǎn)動的疊加，所以平動和轉(zhuǎn)動可以描述所有質(zhì)點的運動。如果剛體的各個質(zhì)點在運動中都繞同一直線作圓周運動，稱轉(zhuǎn)動（rotation）；這一直線稱轉(zhuǎn)軸。上頁下頁退出返回2剛體的一般運動，都可看作是平動和轉(zhuǎn)動的疊加，所以平動和轉(zhuǎn)剛體的定軸轉(zhuǎn)動上頁下頁退出返回3剛體的定軸轉(zhuǎn)動上頁下頁退出返回3角加速度矢量速度加快時，角加速度和角速度同向，否則反向。為了充分反映剛體轉(zhuǎn)動的快慢，引入角速度矢量，方向由以下關(guān)系確定上頁下頁退出返回4.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動（rotationaboutaffixedaxis）

viOωri定軸剛體zmiΔ4角加速度矢量速度加快時，角加速度和角速度同向，否則反向。一、轉(zhuǎn)動動能和轉(zhuǎn)動慣量上頁下頁退出返回viOωri定軸剛體zmiΔ5一、轉(zhuǎn)動動能和轉(zhuǎn)動慣量上頁下頁退出返回viOωri定軸剛體為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量Rotationalinertia轉(zhuǎn)動慣量的計算J為標(biāo)量dmrm上頁下頁退出返回與剛體的質(zhì)量有關(guān)質(zhì)量一定時與質(zhì)量的分布有關(guān)，即與剛體的形狀、大小、各部分的密度有關(guān)；與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)SI：㎏·㎡6為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量Rotationalinerti二.常用的幾個J均勻圓環(huán)：Jc=mR2；均勻圓盤：RmCCRmC上頁下頁退出返回7二.常用的幾個J均勻圓環(huán)：Jc=mR2；均勻圓盤：RmC均勻桿：CAml2l2上頁下頁退出返回對C軸：對A軸：8均勻桿：CAmll上頁下頁退出返回對C軸：對A軸：8三.計算J的幾條規(guī)律1.對同一軸J具有可疊加性J=Ji?

Jmrziii=^?D22.平行軸定理Jmrmxyziiiiiii==+^??DD222()DDmxmxxiiiiici22??=+(')=++???DDDmxxmxxmiiciiiicii''222=0xydcc222+=DmxyIiiiic('')22+=?JJmdc=+2\=JJcmin=mCdmICI平行上頁下頁退出返回9三.計算J的幾條規(guī)律1.對同一軸J具有可疊加性J=Ji

3.對薄平板剛體的正交軸定理Jmrmxmyziiiiii==+^???DDD222

例1：已知圓盤JmRz=122求對圓盤的一條直徑的Jx

（或J

y）。由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=ìí?\==142即

JJJxy=+yrixzyiximi

Δyxz

圓盤RCm上頁下頁退出返回103.對薄平板剛體的正交軸定理JmrmxmyziiiiiO力與力臂的乘積。FPdrr根據(jù)矢量乘積法則：用矢量方法表示力矩：單位：牛頓·米，N·m方向：從r沿小于角右旋到F，大拇指指向。4.3轉(zhuǎn)動定律及應(yīng)用舉例一、力矩上頁下頁退出返回11O力與力臂的乘積。FPdrr根據(jù)矢量乘積法則：用矢量方法表示rFMM的方向垂直于r與F構(gòu)成的平面。例2：一勻質(zhì)細桿，長為l質(zhì)量為m，在摩擦系數(shù)為的水平桌面上轉(zhuǎn)動，求摩擦力的力矩M阻。上頁下頁退出返回12rFMM的方向垂直于r與F構(gòu)成的平面。例2：一解：桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩不同，靠近軸的質(zhì)元受阻力矩小，遠離軸的質(zhì)元受阻力矩大，細桿的質(zhì)量密度質(zhì)元質(zhì)量質(zhì)元受阻力矩上頁下頁退出返回13解：桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩不同，靠細桿受的阻力矩由細桿質(zhì)量有上頁下頁退出返回14細桿受的阻力矩由細桿質(zhì)量有上頁下頁退出返回141.第一定律：一個可繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體，當(dāng)它所受的合外力矩等于零時，它將保持原有的角速度不變。二、轉(zhuǎn)動定律上頁下頁退出返回從實驗可知，剛體轉(zhuǎn)動的角加速度與合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。寫成等式2.第二定律151.第一定律：一個可繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體，當(dāng)它所受的合外力矩等與牛II比較：MFJma~~~ìí???\

J反映剛體轉(zhuǎn)動的慣性上頁下頁退出返回在國際單位制下k=1剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。注意幾點1.是矢量式2.具有瞬時性。16與牛II比較：MFJma~~~ìí???\J反映剛體轉(zhuǎn)1.確定研究對象。2.受力分析（只考慮對轉(zhuǎn)動有影響的力矩）。3.列方程求解(平動物體列牛頓定律方程，轉(zhuǎn)動剛體列轉(zhuǎn)動定律方程和角量與線量關(guān)系)。三.解題方法及應(yīng)用舉例第一類問題：已知運動情況和J，確定運動學(xué)和動力學(xué)的聯(lián)系----，從而求出M或F。上頁下頁退出返回171.確定研究對象。2.受力分析（只考慮對轉(zhuǎn)動有影響的力矩）。例3：長為l、質(zhì)量為m的細桿，初始時的角速度為0，由于細桿與桌面的摩擦，經(jīng)過時間t后桿靜止，求摩擦力矩M阻。解：以細桿為研究對象，只有摩擦阻力產(chǎn)生力矩，由勻變速轉(zhuǎn)動公式：上頁下頁退出返回18例3：長為l、質(zhì)量為m的細桿，初始時的角速度為0，細桿繞一端的轉(zhuǎn)動慣量則摩擦阻力矩為：上頁下頁退出返回19細桿繞一端的轉(zhuǎn)動慣量則摩擦阻力矩為：上頁下頁退出返回19第二類問題：已知J和力矩M：求出運動情況a和及F。例4：質(zhì)量為m1和m2兩個物體，跨在定滑輪上m2放在光滑的桌面上，滑輪半徑為R，質(zhì)量為M，求：m1下落的加速度，和繩子的張力T1、T2。T1T2上頁下頁退出返回20第二類問題：已知J和力矩M：求出運動情況a和解：受力分析以為研究對象（1）以為研究對象（2）以為研究對象（3）T1T2上頁下頁退出返回21解：受力分析以為研究對象（1）以為研究對象（2）以為補充方程：（4）聯(lián)立方程（1）---（4）求解得討論：當(dāng)M=0時上頁下頁退出返回22補充方程：（4）聯(lián)立方程（1）---（4）求解得討論：當(dāng)M第三類問題：已知運動情況和力矩M，求未知剛體轉(zhuǎn)動慣量J。例5：測輪子的轉(zhuǎn)動慣量

用一根輕繩纏繞在半徑為R、質(zhì)量為M的輪子上若干圈后，一端掛一質(zhì)量為m的物體，從靜止下落h用了時間t,求輪子的轉(zhuǎn)動慣量J。h上頁下頁退出返回23第三類問題：已知運動情況和力矩M，求未知剛體轉(zhuǎn)動慣量Jh以m為研究對象以M為研究對象物體從靜止下落時滿足補充方程：聯(lián)立方程（1）----（4）求解得：上頁下頁退出返回24h以m為研究對象以M為研究對象物體從靜止下落時滿足補充方程：4.4定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系一.力矩的功上頁下頁退出返回將F分解為切向力和法向力。剛體轉(zhuǎn)過d,作用點的位移為ds,法向力Fn不作功，只有切向力作功，其中由功的定義254.4定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系一.力矩的功上頁下頁退出返回上頁下頁退出返回對于恒力矩作功恒力矩的功為力矩與角位移的乘積。由功率的定義：二、力矩的功率則26上頁下頁退出返回對于恒力矩作功恒力矩的功為力矩與角位移的乘積剛體在力矩的作用下轉(zhuǎn)過一定角度，力矩對剛體做了功，作功的效果是改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)，改變了剛體的什么狀態(tài)？由力矩的功定義：三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理其中力矩則功上頁下頁退出返回27剛體在力矩的作用下轉(zhuǎn)過一定角度，力矩對剛體做了剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體轉(zhuǎn)動動能定理：合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體作功的代數(shù)和等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。上頁下頁退出返回28剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體轉(zhuǎn)動動能定理：合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動1.確定研究對象。2.受力分析，確定作功的力矩。3.確定始末兩態(tài)的動能，Ek0、Ek。4.列方程求解。例6：一細桿質(zhì)量為m，長度為l，一端固定在軸上，靜止從水平位置擺下，求細桿擺到鉛直位置時的角速度。四、應(yīng)用轉(zhuǎn)動動能定理解題方法上頁下頁退出返回291.確定研究對象。2.受力分析，確定作功的力矩。3.確定始末解：以桿為研究對象，只有重力產(chǎn)生力矩，且重力矩隨擺角變化而變化。重力矩作功：上頁下頁退出返回30解：以桿為研究對象，只有重力產(chǎn)生力矩，且重力矩隨擺角變化而變始末兩態(tài)動能：由動能定理：上頁下頁退出返回31始末兩態(tài)動能：由動能定理：上頁下頁退出返回31五、物體系的機械能守恒定律當(dāng)系統(tǒng)中既有平動的物體又有轉(zhuǎn)動的剛體，且系統(tǒng)中只有保守力作功，其它力與力矩不作功時，物體系的機械能守恒。其中例7：如圖所示的物體系中，倔強度系數(shù)為k的彈簧開始時處在原長，定滑輪的半徑為R、轉(zhuǎn)動慣量為J，質(zhì)量為m的物體從靜止開始下落,求下落h時物體的速度v。上頁下頁退出返回32五、物體系的機械能守恒定律當(dāng)系統(tǒng)中既有平動的解：在物體m下落過程中只有重力和彈力保守力作功，物體系機械能守恒。選擇彈簧原長為彈性0勢點，物體下落h時為重力0勢點。求解得上頁下頁退出返回33解：在物體m下落過程中只有重力和彈力保守力作功，物體系機一、沖量矩

在質(zhì)點運動中介紹了沖量的概念----力對時間的累積效應(yīng)。

在剛體轉(zhuǎn)動中引入沖量矩的概念----力矩對時間的累積效應(yīng)。沖量：沖量矩：單位：牛頓·米·秒（N·m·s）上頁下頁退出返回§4.5剛體的角動量和角動量守恒定律34一、沖量矩在質(zhì)點運動中介紹了沖量的概念----力對質(zhì)點的動量定理由沖量矩定義：其中上頁下頁退出返回其中35質(zhì)點的動量定理由沖量矩定義：其中上頁下頁退出返回其中35定義：為角動量，單位：千克米2/秒（kgm2/s）方向：與角速度方向一致。上頁下頁退出返回二、角動量36定義：為角動量，單位：千克米2/秒（kgm2/s）方向：對于質(zhì)點也可引入角動量的概念。例如人造地球衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量為：則角動量定義注意上頁下頁退出返回其中r為質(zhì)點到軸的距離37對于質(zhì)點也可引入角動量的概念。例如人造地球衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動角動量定理(動量矩定理)：剛體受到的沖量矩等于剛體角動量的增量。上頁下頁退出返回三、角動量定理(動量矩)38角動量定理(動量矩定理)：剛體受到的沖量矩等于剛體角動量的增四、角動量(動量矩)守恒定律質(zhì)點系的動量守恒定律：當(dāng)合外力為0時，動量守恒。時,當(dāng)對于剛體所受的合外力矩為0時,又如何呢？由角動量定理：上頁下頁退出返回39四、角動量(動量矩)守恒定律質(zhì)點系的動量守恒定律角動量(動量矩)守恒定律:當(dāng)剛體受到的合外力矩為0時，剛體的角動量守恒。上頁下頁退出返回條件：當(dāng)剛體受到的合外力矩為0時，1.角動量(動量矩)守恒定律40角動量(動量矩)守恒定律:當(dāng)剛體受到的合外力矩為0時，剛體②.對于非剛體，轉(zhuǎn)動慣量J發(fā)生變化的物體，由于J=C，上頁下頁退出返回2.明確幾點①.對于剛體定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量J為常數(shù)，角速度也為常數(shù)，=0即剛體在受合外力矩為0時，原來靜止則永遠保持靜止，原來轉(zhuǎn)動的將永遠轉(zhuǎn)動下去。41②.對于非剛體，轉(zhuǎn)動慣量J發(fā)生變化的物體，由于J=C，上上頁下頁退出返回42上頁下頁退出返回4212例8：人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量J0=60kg·m2,伸臂時臂長為l1=1m，收臂時臂長為l2=0.2m。人站在摩擦可不計的自由轉(zhuǎn)動的圓盤中心上，每只手抓有質(zhì)量m=5kg的啞鈴。伸臂時轉(zhuǎn)動角速度1=3s-1,求收臂時的角速度2。（人手臂收縮引起的角動量變化不計）上頁下頁退出返回4312例8：人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量J0=60kg·m2,伸臂12解：整個過程合外力矩為0，角動量守恒，J0=60kg·m2，l1=1m，l2=0.2m,m=5kg，

1

=3s-1上頁下頁退出返回4412解：整個過程合外力矩為0，角動量守恒，J0=60k由轉(zhuǎn)動慣量的減小，角速度增加。在此過程中機械能不守恒，因為人收臂時做功。上頁下頁退出返回

1=3s-145由轉(zhuǎn)動慣量的減小，角速度增加。在此過程中機械能不守恒，因為解：兩飛輪通過摩擦達到共同速度,合外力矩為0，系統(tǒng)角動量守恒。共同角速度例9：兩個共軸飛輪轉(zhuǎn)動慣量分別為J1、J