小學奧數(shù)論：整除和余數(shù)知識點總結及經(jīng)典例題

數(shù)論——數(shù)的整除和余基本概念和基本性質(zhì)整數(shù)除以整數(shù)≠0的商是整數(shù)而沒有余數(shù)們就說a被b整除，或者說b能整除a。b∣a，讀著b能整除a;或能被b整除；ba，不能整除；傳遞性果a|b,b|c,那么a|c;b是a的倍數(shù)是的倍數(shù)c肯定是a的倍數(shù)；加減性：如果a|b、a|c，那么a|(bc);因數(shù)性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的積能整除,則或b能整除c;互質(zhì)性，如a|cb|c，且=1,那么a即如果能整除c,b能整除，且ab互質(zhì)，則b的積能整除c;個連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個數(shù)能被a整除。2.2數(shù)整除的判別法整除數(shù)

特

征好朋友10，個零，所以判斷末位；2和5：末1位能被2整除；尾是0、、、、8：末1位被5整；尾是、；好朋友100，個，所以判斷末2位；4和4或25：末位數(shù)是4（或25的倍數(shù)好朋友1000個零，所以判末3位；8和1258或125末3位是8（或125的倍數(shù)好朋友個零，所以判斷末4位；和625或：末4位數(shù)是（625）的倍數(shù)或9整除）各數(shù)位上數(shù)字的和是39的倍數(shù)，則能被39整除。173652÷9:1+7+3+6+5+2和除以3；簡便算法，利用整除的加減性，可以去1或多個9，剩下數(shù)字的x再除以3或9；如果9,則余數(shù)為果﹤9,則余數(shù)為x11從右往左編號號為奇數(shù)的為奇數(shù)位號為偶數(shù)的為偶數(shù)位奇數(shù)位上的數(shù)字的和與偶數(shù)位上的數(shù)字的和的兩者之差是否能被11除；8172903311:數(shù)位和為為27位和比偶數(shù)位和小，則奇數(shù)位和加1個或多個11斷法與整數(shù)位的判斷法一致。7/11/132.2.4.1基本法從右往左三位一截并編號數(shù)的為奇數(shù)段數(shù)的為偶數(shù)段，看奇數(shù)段的數(shù)字的和與偶數(shù)段的數(shù)字的和的兩者之差是否能被7整除；如86372548，奇數(shù)段的和為的和為372求兩者差看能否被7整除，同樣，不夠減前面1個或多個7直到夠減，余數(shù)位的判斷法與整數(shù)位的判斷法一致。2.2.4.2特殊法①一般求空格數(shù)如果中間有空格用加減性加或減除數(shù)7倍數(shù)從右邊和左邊抵消縮減位數(shù)，到最后看7的哪個倍數(shù)與縮減后的末位數(shù)相同，并看7的哪個倍數(shù)與縮減后的首位數(shù)相同個倍數(shù)的十位數(shù)和后一個倍數(shù)的個位數(shù)的和即為空格中應填的數(shù)。注意，如果這個數(shù)加或減7后為1到9間的自然數(shù)，則加或減7后的這個數(shù)也為正確答案。395864□82365，答案為463925□01234，答案為和8②特殊求空格數(shù)根據(jù)整除的因數(shù)性數(shù)能被1001除數(shù)能被77791、143除，因為：7×1113=1001;7713=1001;9911=1001;7×143=1001;根據(jù)=×1001;

=×1001;求能被整除的空格數(shù)9整除）除數(shù)是幾位數(shù)就可以從右往左幾位一截截取的段位數(shù)相加再截取至不能再截取，看相應的數(shù)能否被相應的除數(shù)9/99/999除。除數(shù)是11可以用兩位一截判別法為根據(jù)整數(shù)的因數(shù)性被99整除的數(shù)，肯定能被11除。例如：2.3余的判別法①整除是余數(shù)為0情況?！耣=c..0；此時，a=c;b=÷c②有余數(shù)的情況：a÷b=c..d（0﹤db此時，a=bc+d;b=(a-d)÷c;c=(a-d)b記著：d(modb)【注意：當被除數(shù)是比除數(shù)小非零自然數(shù)，則被除數(shù)為余數(shù)；當被除數(shù)比余數(shù)大，則減去除數(shù)的倍數(shù)所得比除數(shù)小的數(shù)為余數(shù)。序號

除數(shù)

余數(shù)判別法

特別要點1

末1位判斷法；看末能否被2整除；尾、2、、、能；2和524和25

末2位斷法

看末1位能被5整；尾是0能；末2位是4（或25）的倍數(shù)即能被4或25整除

8和125和625

末3位判斷法；末位是8或）倍數(shù)末4位判斷法；末位是16或）的倍數(shù)5

數(shù)字和法；

各數(shù)位上數(shù)字的和是3或9的倍數(shù)則能被3或9整除。6

3或9、13（）

棄（9）法；利整除的加減性可以去掉1個或多個（包括幾個數(shù)的和是3或9倍數(shù)的也可劃掉剩下數(shù)字的和x再以或9如果x﹥則余數(shù)為x-9;如則余數(shù)為0，能整除；如果x9,則余數(shù)為x。三位一截奇偶從右往左三位一截并編號編號奇數(shù)的為奇數(shù)段編號位求差判別法為偶數(shù)的為偶數(shù)段看奇數(shù)段的字的和與偶數(shù)段的數(shù)字的和的兩者之差是否能被7、、除；如86372548，奇數(shù)段的和為（548+86，偶數(shù)段的和為，求兩差看能否被7整除，同樣，不夠減前面加1個或多7，直到夠減；7

兩位一截求和

兩位一截將截取的段位數(shù)相加截取至不能再截取，、99

再截判別法

看能否被11或99除，注意，根據(jù)整數(shù)的因數(shù)性，能被99整除的數(shù)，定能被整。8

奇偶數(shù)字和求差判別法

從右往左編號編號為奇數(shù)的為數(shù)位編號為偶數(shù)的為偶數(shù)位看奇數(shù)位上的數(shù)字的和偶數(shù)位上的數(shù)字的和的兩者之差是否能被11整除；÷11:奇數(shù)位和為，偶數(shù)位和為27；如果奇數(shù)位和比偶數(shù)位和小則奇數(shù)位和加1或多個11到夠減可無敵亂切，但還是常用奇偶位截斷求差法；9

三位一截求和

從右往左三位一截，將截取的段數(shù)相加再截取直至不

再截法四位一截求和

能再截取，看相應的數(shù)能否被999整除。從右往左四位一截，將截取的段數(shù)相加看相應的數(shù)能法

否被11整除。如：9876543223456768，除以2,5,4,25,8,125,3,9,11余數(shù)為0,3,0,8,0,18【例】將12,3,4…30左往右依次排列成一個51數(shù)，這個數(shù)被的余數(shù)是多少？奇數(shù)位數(shù)字和…）×2+0+9+7+5+3+1=115偶數(shù)位數(shù)字和：3+210+110+8+6+4+2=53115-53=62；÷11，余7；【例】求

被13除數(shù)是多少？解：注意13|111111，即每連續(xù)6個1是13的倍數(shù)，且2012除以余，所以答案為11【例】把自然數(shù)120112011數(shù)依次寫下來，得到一個很大的多位數(shù)：123456789101112.20102011，則這個數(shù)除以余數(shù)是1.無敵亂切，按1/2/3/42011的等差數(shù)列求和，看除以的余數(shù)；2.3.2.1定義:用給定的正整數(shù)m分別除整數(shù)得的余數(shù)相等a、b關于模m同余或a余于b模a≡b(modm)56（式子稱為同余式，m為該同余式的模。充要條件數(shù)模余的充要條件是a-b能被或a≡b(mod的充要條件是t整數(shù)2.3.2.2同余關系具有自身性、對稱性與傳遞性，即自身性：a≡a(mod對稱性：若a≡b(mod則b≡am);傳遞性：若a≡b(modb≡c(mod，則≡c(mod2.3.2.3定理1若≡b(mod自然數(shù)，則≡bn(mod；ab于關于模m同余，則、b的同倍數(shù)也關于模m余；定理2若ca≡cb(modm),(c,m)=d最大公約數(shù)）,且a,b為整數(shù)，則a≡b(mod推論若ca=cb(mod(c,m)=1,且a,b為整數(shù)，則≡b(mod定理3≡b(mod≡b(mod則a≡b(mod[m,n]).推論若a≡b(modi=1,2,，則a(mod[m1,m2,..,mn]).【例1996上一個整數(shù)被9除數(shù)盡可能小，那么加的整數(shù)是多少？1996≡16(mod；99-16=83定理4若a≡b(mod則ann(modm),其中n是自然數(shù)。2.3.2.5若a≡b(modc≡dm),則可以將這兩個同余式左右兩邊分別相加、相減或相乘：a+c≡b+dm);即和的余數(shù)等于余數(shù)的和c-d(mod差的余數(shù)等于余數(shù)的差；ac≡bdm)；即積的余數(shù)等于余數(shù)的積；【例】316419813以13得的余數(shù)2.3.4.1有余數(shù)的情況：a÷b=c…..d（0d﹤bb=(a-d)c;或c=(a-d)÷b如果，只知ad,求bc【例】1111÷某位=（）..662.3.4.2①余數(shù)不確定——余數(shù)的和【例1】63=m×（+a90=m（）+b130=m×（）數(shù)和為（63+90+130）=m×（+（）（）+25（63+90+130-25=m×（）258=m×（）258約數(shù)有8：/258/129/866/43因為余數(shù)要小于除數(shù)，判斷9m﹤所以m=43②余數(shù)不確定——余數(shù)相同【例2】300=m（商）+a262=m×（）+a205=m×（）+a,根據(jù)同余定理：m∣（）=∣38m∣（）=∣57m∣（）=∣95滿足兩個即可數(shù)小的算同時滿足能整除3857求這兩個數(shù)的公約數(shù)，分別有119答案為。③余數(shù)不確定——余數(shù)的差【例3】97=m×（商+a+329=m（）+a變?yōu)?4=m（）+a,根據(jù)同余定理：m∣（94-29=m6565的約數(shù)有1/65,5/13除數(shù)大于余數(shù)，排除和和都滿足；④余數(shù)不確定——余數(shù)的倍數(shù)【例4】61=m×（商+2a90=m（）+a變?yōu)?80=m×（+2a,根據(jù)同余定理：m∣（=∣119119的約數(shù)有1/119,7/17，除數(shù)大于余數(shù)，排除1和119,17滿足；周期性的用法：可用以求某個數(shù)的若干次方的個位數(shù)：【例】的個位數(shù)：3的若干次方的個位數(shù)，依次枚舉，找出循環(huán)規(guī)律4個一個周期2015除以4，余幾為周期內(nèi)第幾個。冪的余數(shù)的求法：求底數(shù)的余數(shù)算底數(shù)的冪的余數(shù)的周期性根據(jù)指數(shù)相應的周期來確定最終的余數(shù)；【例】以7的余數(shù)：≡≡（mod76,36,196,1176除以7的余數(shù)分別為6,1,6,12為1周期÷2=50余0，故余數(shù)為1特殊情況：①【例】3除以8的余數(shù)：≡≡（mod8）9除8余數(shù)為1所以無論指數(shù)多少，余數(shù)皆為1。【例】除以的余數(shù)：【例】除以余數(shù)：【例】+除以7余數(shù)：②作業(yè)523次方以上模的余數(shù)皆為02.3.6.1【題目】今物知其數(shù)三三數(shù)剩二（數(shù)除三余數(shù)二意思,五五數(shù)剩三七數(shù)剩二,問物幾何（韓信點兵算所謂剩余定理）【解法】三人同行七十??；把除以3得的余數(shù)用70五樹梅花廿一枝；把除以5得的余數(shù)用21；七子團圓正半月；把除以7得的余數(shù)用15除百零五便得知；把上述三個積加起來除以105余數(shù)即為得數(shù)；2×70+3×21+215=233233105=2…23得數(shù)為23。不數(shù)余問的解基的舉從除數(shù)大的開始枚舉；先找同時滿足兩個除數(shù)的最小符合數(shù)，再加這倆除數(shù)的最小公倍數(shù)，直到滿足所有除數(shù)的最小的符合數(shù)；再加所有除數(shù)的最小公倍數(shù)×n直到符合題意；【例】3余25，7余2，求滿足條件的數(shù)；【注意】①從除數(shù)大的著手；【例】5余4,97余11,98,195得389；②找最小符合數(shù)時不要忽略商為0情況；【例】某除4823除23某最小的答案就是23【例】例349余23,48余23最小符合數(shù)為23連續(xù)兩個自然數(shù)的最小公倍數(shù)為其積；4849能除14余數(shù)是14余數(shù)，全是③在所有除數(shù)的最小公倍數(shù)內(nèi)一定能找到最小的滿足數(shù)；④多個符合數(shù)必然是一個以所有除數(shù)的最小公倍數(shù)為等差的等差數(shù)列不數(shù)余問的解特情①余數(shù)相同的——小符合數(shù)就是余數(shù)的為除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)+余數(shù)（即最小符合數(shù)+除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)【例】5余4,74,9余最小的為4【例】某除4、除除皆余1某=4/5/6公倍數(shù)+1②差相同的——余數(shù)都不相同但除數(shù)與余數(shù)的差相同的最小符合數(shù)為除數(shù)的最小公倍數(shù)-差；其他符合數(shù)為除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍-（也即最小符合數(shù)+除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)【例】5余3,7余5,9余7都補上兩個的就都整齊了，所以為最小公倍數(shù)-2；為313；【例】5千多根火柴棍，10根一盒的分余，9根一盒的分余8根一盒的分余77根一盒的分余66根一盒的分余55根一盒的分余4問到底多少根火柴棍？109，98余77余66【5,6,7,8,9【1,2,3,4,5,6,7,8,910】-1=2520-1=25192519+2520=5039【例】有不足100蘋果，如果是一堆，那么剩余個9個一堆剩余8個一堆剩余51堆剩余個一堆剩2；求開始有多少個蘋果？【10,9,6,5,3】-1=89③和相同——余數(shù)都不相同的除數(shù)與余數(shù)的和相同的以轉化為同余的，最小符合數(shù)就為最小的除數(shù)余數(shù)；他的符合數(shù)為除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)+和（也即最小符合數(shù)+除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)【例】5余4,72,6余最小符合數(shù)為5+4=9；【注意】多個除數(shù)的時候一定先看有無特殊情況；先利用部分特殊規(guī)律的，再找一般的；【例】3余2,54,7余【例】3余余余先找同余2+35,37+滿足的3個的最小公倍數(shù)；物知：以來決以6的余數(shù)的算法：質(zhì)解求A=123456319被12/14/15/45/99的余數(shù)；將12質(zhì)分解=4×求同時滿足除以4除以3的；3（mod4;(1+2+3+(1+319)319÷2160319×（mod3）4余3,3余，最小符合數(shù)為，其他符合數(shù)為×n所以（mod12;【注意】①常見的互質(zhì)分解有3,14=2×7,15=35,45=59；105=3×57其中105的頻率最高；【例】5余4,97余11,98,195得389；②99兩種算法，兩位截斷法和互質(zhì)分解；求A=123123123被99的余數(shù)；︸123123互質(zhì)分解法：將99質(zhì)分=9×11,求時滿足除以9除以1