克里金插值課件

克里金插值第二講克里金方法（Kriging）,是以南非礦業(yè)工程師D.G.Krige(克里格)名字命名的一項實用空間估計技術，是地質(zhì)統(tǒng)計學的重要組成部分，也是地質(zhì)統(tǒng)計學的核心?？死锝鸩逯档诙v克里金方法（Krigin1地質(zhì)統(tǒng)計學主要是為解決礦床儲量計算和誤差估計問題而發(fā)展起來的由法國巴黎國立高等礦業(yè)學院G．馬特隆教授于1962年所創(chuàng)立。地質(zhì)統(tǒng)計學主要是為解決礦床儲量計算和誤差估計問題而發(fā)展起來2H.S.Sichel(1947)D.G.Krige(1951)Kriging法（克里金法，克立格法）:“根據(jù)樣品空間位置不同、樣品間相關程度的不同，對每個樣品品位賦予不同的權，進行滑動加權平均，以估計中心塊段平均品位”G.Materon(1962)提出了“地質(zhì)統(tǒng)計學”概念(法文Geostatistique)發(fā)表了專著《應用地質(zhì)統(tǒng)計學論》。闡明了一整套區(qū)域化變量的理論，為地質(zhì)統(tǒng)計學奠定了理論基礎。區(qū)域化變量理論克里金估計隨機模擬應用統(tǒng)計學方法研究金礦品位1977年我國開始引入H.S.Sichel(1947)D.G.Krige3克里金插值方法井眼地震（普通克里金）（應用隨機函數(shù)理論）不僅考慮待估點位置與已知數(shù)據(jù)位置的相互關系，而且還考慮變量的空間相關性。克里金插值方法井眼地震（普通克里金）（應用隨機函數(shù)理論）4

為一個實值變量，可根據(jù)概率分布取不同的值。每次取值（觀測）結果z為一個確定的數(shù)值，稱為隨機變量Z的一個實現(xiàn)。P一、隨機變量與隨機函數(shù)第一節(jié)基本原理1.隨機變量為一個實值變量，可根據(jù)概率分布取不同的值。每次取值5連續(xù)變量：累積分布函數(shù)（cdf）cumulativedistributionfunction條件累積分布函數(shù)（ccdf）后驗conditionalcumulativedistributionfunction離散變量（類型變量）：Z(u)PP不同的取值方式：估計（estimation）模擬（simulation）連續(xù)變量：累積分布函數(shù)（cdf）條件累積分布函數(shù)（ccdf）6連續(xù)型地質(zhì)變量構造深度砂體厚度有效厚度孔隙度滲透率含油飽和度離散型地質(zhì)變量（范疇變量）砂體相流動單元隔夾層斷層類型變量連續(xù)型地質(zhì)變量構造深度離散型地質(zhì)變量（范疇變量）砂體類型變量7①設離散型隨機變量ξ的所有可能取值為x1，x2，…，其相應的概率為P(ξ=xk)=pk,k=1,2,….隨機變量的特征值：(1)數(shù)學期望是隨機變量ξ的整體代表性特征數(shù)。則當級數(shù)絕對收斂時，稱此級數(shù)的和為ξ的數(shù)學期望，記為E(ξ)，或Eξ。E(ξ)=①設離散型隨機變量ξ的所有可能取值為P(ξ=xk)=pk8②設連續(xù)型隨機變量ξ的可能取值區(qū)間為(-∞，+∞)，p(x)為其概率密度函數(shù)，若無窮積分絕對收斂，則稱它為ξ的數(shù)學期望，記為E(ξ)。E(ξ)=數(shù)學期望是隨機變量的最基本的數(shù)字特征，相當于隨機變量以其取值概率為權的加權平均數(shù)。從矩的角度說，數(shù)學期望是ξ的一階原點矩。對于一組樣本：②設連續(xù)型隨機變量ξ的可能取值區(qū)間為(-∞，+∞)，E9為隨機變量ξ的離散性特征數(shù)。若數(shù)學期望E[ξ-E(ξ)]2存在，則稱它為ξ的方差，記為D(ξ)，或Var(ξ)，或σξ2。σξ=從矩的角度說，方差是ξ的二階中心矩。(2)方差其簡算公式為D(ξ)=E(ξ2)–[E(ξ)]2D(ξ)=E[ξ-E(ξ)]2方差的平方根為標準差，記為σξ

為隨機變量ξ的離散性特征數(shù)。若數(shù)學期望E[ξ-E(10

研究范圍內(nèi)的一組隨機變量。簡記為隨機場：當隨機函數(shù)依賴于多個自變量時，稱為隨機場。如具有三個自變量(空間點的三個直角坐標)的隨機場2.隨機函數(shù)條件累積分布函數(shù)（ccdf）P研究范圍內(nèi)的一組隨機變量。簡記為隨機場：當隨機函數(shù)依賴于多11二個隨機變量ξ，η的協(xié)方差為二維隨機變量(ξ，η)的二階混合中心矩μ11，記為Cov(ξ，η)，或σξ,η。協(xié)方差(Variance)：Cov(ξ,η)=σξ,η=E[ξ-E(ξ)][η-E(η)]其簡算公式為

Cov(ξ,η)=E(ξη)-E(ξ)·E(η)隨機函數(shù)的特征值二個隨機變量ξ，η的協(xié)方差為二維隨機變量(ξ12二、統(tǒng)計推斷與平穩(wěn)要求P任何統(tǒng)計推斷（cdf，數(shù)學期望等）均要求重復取樣。但在儲層預測中，一個位置只能有一個樣品。同一位置重復取樣，得到cdf，不現(xiàn)實二、統(tǒng)計推斷與平穩(wěn)要求P任何統(tǒng)計推斷（cdf，數(shù)學期望等13考慮鄰近點，推斷待估點空間一點處的觀測值可解釋為一個隨機變量在該點處的一個隨機實現(xiàn)?？臻g各點處隨機變量的集合構成一個隨機函數(shù)。區(qū)域化變量：能用其空間分布來表征一個自然現(xiàn)象的變量。（將空間位置作為隨機函數(shù)的自變量）（可以應用隨機函數(shù)理論解決插值和模擬問題）考慮鄰近點，推斷待估點空間一點處的觀測值可解釋為一個隨機變14考慮鄰近點，推斷待估點

----空間統(tǒng)計推斷要求平穩(wěn)假設嚴格平穩(wěn)對于單變量而言：可從研究區(qū)內(nèi)所有數(shù)據(jù)的累積直方圖推斷而得

（將鄰近點當成重復取樣點）太強的假設，不符合實際P考慮鄰近點，推斷待估點嚴格平穩(wěn)對于單變量而言：可從研究區(qū)內(nèi)所15當區(qū)域化變量Z(u)滿足下列二個條件時，則稱其為二階平穩(wěn)或弱平穩(wěn)：E[Z(u)]=E[Z(u+h)]=m(常數(shù))xh隨機函數(shù)在空間上的變化沒有明顯趨勢，圍繞m值上下波動。①在整個研究區(qū)內(nèi)有Z(u)的數(shù)學期望存在，且等于常數(shù)，即：二階平穩(wěn)E[Z(u)]=E[Z(u+h)]=m(常數(shù))xh16②在整個研究區(qū)內(nèi)，Z(u)的協(xié)方差函數(shù)存在且平穩(wěn)

(即只依賴于滯后h，而與u無關)，即Cov{Z(u),Z(u+h)}=E[Z(u)Z(u+h)]-E[Z(u)]E[Z(u+h)]=E[Z(u)Z(u+h)]-㎡=C(h)特殊地，當h=0時，上式變?yōu)閂ar[Z(u)]=C(0),

即方差存在且為常數(shù)。協(xié)方差不依賴于空間絕對位置，而依賴于相對位置，即具有空間的平穩(wěn)不變性。uu+h②在整個研究區(qū)內(nèi)，Z(u)的協(xié)方差函數(shù)存在且平穩(wěn)特殊地17①在整個研究區(qū)內(nèi)有E[Z(u)-Z(u+h)]=0本征假設當區(qū)域化變量Z(u)的增量[Z(u)-Z(u+h)]滿足下列二條件時，稱其為滿足本征假設或內(nèi)蘊假設。可出現(xiàn)E[Z(u)]不存在，但E[Z(u)-Z(u+h)]存在并為零的情況

intrinsichypotheseE[Z(u)]可以變化,但E[Z(u)-Z(u+h)]=0（比二階平穩(wěn)更弱的平穩(wěn)假設）①在整個研究區(qū)內(nèi)有本征假設當區(qū)域化變18②增量[Z(u)-Z(u+h)]的方差函數(shù)(變差函數(shù),Variogram)

存在且平穩(wěn)(即不依賴于u)，即：Var[Z(u)-Z(u+h)]=E[Z(u)-Z(u+h)]2-{E[Z(u)-Z(u+h)]}2=E[Z(u)-Z(u+h)]2

=2γ(u,h)=2γ(h),相當于要求：Z(u)的變差函數(shù)存在且平穩(wěn)。②增量[Z(u)-Z(u+h)]的方差函數(shù)(變差函數(shù),V19例：物理學上的著名的布朗運動是一種呈現(xiàn)出無限離散性的物理現(xiàn)象，其隨機函數(shù)的理論模型就是維納-勒維(Wiener-Levy)過程(或隨機游走過程)。布朗運動:

可出現(xiàn)協(xié)方差函數(shù)不存在，但變差函數(shù)存在的情況。

既不能確定驗前方差，也不能確定協(xié)方差函數(shù)。但是其增量卻具有有限的方差：Var[Z(x)-Z(x+h)]=2=A·|h|(其中，A是個常數(shù))，變差函數(shù)=·|h|，且隨著|h|線性地增大。例：物理學上的著名的布朗運動是一種呈現(xiàn)出無限離散性的物理現(xiàn)象20若區(qū)域化變量Z(x)在整個區(qū)域內(nèi)不滿足二階平穩(wěn)(或本征假設)，但在有限大小的鄰域內(nèi)是二階平穩(wěn)(或本征)的，則稱Z(x)是準二階平穩(wěn)的(或準本征的)。準二階平穩(wěn)假設及準本征假設若區(qū)域化變量Z(x)在整個區(qū)域內(nèi)不滿足二階平穩(wěn)(21設為區(qū)域上的一系列觀測點，為相應的觀測值。區(qū)域化變量在處的值可采用一個線性組合來估計：三、克里金估計(基本思路Z*(x0)無偏最優(yōu)無偏性和估計方差最小被作為選取的標準----以普通克里金為例設為區(qū)域上的一系22從本征假設出發(fā),可知為常數(shù),有可得到關系式:（1）無偏條件Z*(x0)（在搜尋鄰域內(nèi)為常數(shù)，不同鄰域可以有差別）從本征假設出發(fā),可知為常數(shù),有可得到23（2）估計方差最小應用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值Z*(x0)（2）估計方差最小應用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值Z*(x0)24進一步推導，可得到n+1階的線性方程組,即克里金方程組當隨機函數(shù)不滿足二階平穩(wěn),而滿足內(nèi)蘊（本征）假設時,可用變差函數(shù)來表示克里金方程組如下:Z*(x0)進一步推導，可得到n+1階的線性方程組,即克里金方程組25最小的估計方差,即克里金方差可用以下公式求解:Z*(x0)最小的估計方差,即克里金方差可用以下公式求解:Z*(x0)26變差函數(shù)(或叫變程方差函數(shù)，或變異函數(shù))是地質(zhì)統(tǒng)計學所特有的基本工具。它既能描述區(qū)域化變量的空間結構性變化，又能描述其隨機性變化。躍遷現(xiàn)象1.變差函數(shù)的概念與參數(shù)

四、變差函數(shù)及其結構分析變差函數(shù)(或叫變程方差函數(shù)，或變異函數(shù))是地質(zhì)統(tǒng)27假設空間點x只在一維的x軸上變化，則將區(qū)域化變量Z(x)在x，x+h兩點處的值之差的方差之半定義為Z(x)在x軸方向上的變差函數(shù)，記為一維情況下的定義：Var[Z(x)-Z(x+h)]E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2

==半變差函數(shù)(或半變異函數(shù))假設空間點x只在一維的x軸上變化，則將區(qū)域化變量Z28在二階平穩(wěn)假設，或作本征假設，此時：地質(zhì)統(tǒng)計學中最常用的基本公式之一。E[Z(x)-Z(x+h)]=0hVar[Z(x)-Z(x+h)]E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2

==E[Z(x)-Z(x+h)]2

=則：在二階平穩(wěn)假設，或作本征假設，此時：地質(zhì)統(tǒng)29（二階平穩(wěn)假設條件下邊查函數(shù)與寫防查的關系）（二階平穩(wěn)假設條件下邊查函數(shù)與寫防查的關系）30變程(Range)：指區(qū)域化變量在空間上具有相關性的范圍。在變程范圍之內(nèi)，數(shù)據(jù)具有相關性；而在變程之外，數(shù)據(jù)之間互不相關，即在變程以外的觀測值不對估計結果產(chǎn)生影響。變程(Range)：指區(qū)域化變量在空間上具有相關性的范圍。31具不同變程的克里金插值圖象具不同變程的克里金插值圖象32塊金值(Nugget)

：變差函數(shù)如果在原點間斷，在地質(zhì)統(tǒng)計學中稱為“塊金效應”，表現(xiàn)為在很短的距離內(nèi)有較大的空間變異性，無論h多小，兩個隨機變量都不相關。它可以由測量誤差引起，也可以來自礦化現(xiàn)象的微觀變異性。在數(shù)學上，塊金值c0相當于變量純隨機性的部分。塊金值(Nugget)：變差函數(shù)如果在原點間斷，在地質(zhì)統(tǒng)計33如果品位完全是典型的隨機變量，則不論觀測尺度大小，所得到的實驗變差函數(shù)曲線總是接近于純塊金效應模型。當采樣網(wǎng)格過大時，將掩蓋小尺度的結構，而將采樣尺度內(nèi)的變化均視為塊金常數(shù)。這種現(xiàn)象即為塊金效應的尺度效應。塊金效應的尺度效應121113333如果品位完全是典型的隨機變量，則不論觀測尺度34基臺值(Sill)：代表變量在空間上的總變異性大小。即為變差函數(shù)在h大于變程時的值，為塊金值c0和拱高cc之和。拱高為在取得有效數(shù)據(jù)的尺度上，可觀測得到的變異性幅度大小。當塊金值等于0時，基臺值即為拱高。=C(0)–C(h)基臺值(Sill)：代表變量在空間上的總變異性大小。即為變差35幾何各向異性：變差函數(shù)在空間各個方向上的變程不同，但基臺值不變（即變化程度相等）。這種情況能用一個簡單的幾何坐標變換將各向異性結構變換為各向同性結構。帶狀各向異性：不同方向的變差函數(shù)具有不同的基臺值，其中變程可以不同，也可以相同。這種情況不能通過坐標的線性變換轉(zhuǎn)化為各向同性，因而結構套合是比較復雜的。地質(zhì)變量相關性的各向異性121113333(2)幾何各向異性：變差函數(shù)在空間各個方向上的變程不同，但基臺值不362.變差函數(shù)的理論模型設Z(x)為滿足本征假設的區(qū)域化變量，則常見的理論變差函數(shù)有以下幾類：球狀模型指數(shù)模型高斯模型冪函數(shù)模型空洞效應模型2.變差函數(shù)的理論模型設Z(x)為滿足本征假設的區(qū)域化變量37接近原點處，變差函數(shù)呈線性形狀，在變程處達到基臺值。原點處變差函數(shù)的切線在變程的2/3處與基臺值相交。球狀模型：

c為基臺值，a為變程，h為滯后距。接近原點處，變差函球狀模型：c為基臺值，a為變程，38指數(shù)模型：

變差函數(shù)漸近地逼近基臺值。在實際變程處，變差函數(shù)為0.95c。模型在原點處為直線。指數(shù)模型：變差函數(shù)漸近地逼近39高斯模型：

變差函數(shù)漸近地逼近基臺值。在實際變程處，變差函數(shù)為0.95c。模型在原點處為拋物線。高斯模型：變差函數(shù)漸近地逼近40冪函數(shù)模型：

冪函數(shù)模型為一種無基臺值的變差函數(shù)模型。這是一種特殊的模型。當=1時，變差函數(shù)為一直線，即為線性模型，這一模型即為著名的布朗運動（隨機行走過程）的變差函數(shù)模型；當

1時，變差函數(shù)為拋物線形狀，為分數(shù)布朗運動(fBm)的變差函數(shù)模型。布朗運動分數(shù)布朗運動分數(shù)布朗運動h冪函數(shù)模型：冪函數(shù)模型為一種無基臺值的變差函數(shù)模型41空洞效應模型(HoleEffect)：

變差函數(shù)并非單調(diào)增加，而顯示出一定周期性的波動。模型可以有基臺值，也可以無基臺值；可以有塊金值，也可以無塊金值?？斩葱诘刭|(zhì)上多沿垂向上出現(xiàn)，如富礦層與貧礦層互層、砂巖與泥巖頻繁薄互層等等。（b為富礦化帶重復距離）h空洞效應模型(HoleEffect)：變差函數(shù)并非單42通過區(qū)域化變量的空間觀測值來構建相應的變差函數(shù)模型,以表征該變量的主要結構特征。(求變差)(1)數(shù)據(jù)準備

區(qū)域化變量的選取、

數(shù)據(jù)質(zhì)量檢查及校正、

數(shù)據(jù)的變換（如對滲透率進行對數(shù)變換）、

數(shù)據(jù)的統(tǒng)計（如分相對儲層參數(shù)計算平均值、方差，作直方圖、相關散點圖等）、

叢聚數(shù)據(jù)的解串等。3.區(qū)域化變量的結構分析通過區(qū)域化變量的空間觀測值來構建相應的變差函數(shù)43(2)實驗變差函數(shù)的計算

實驗變差函數(shù)是指應用觀測值計算的變差函數(shù)。對于不同的滯后距h，可算出相應的實驗變差函數(shù)。=一維實驗變差函數(shù)的計算公式(i=1,…,N(h))[Z(xi)-Z(xi+h)]2的算術平均值一半即為一個h的變差函數(shù)值(2)實驗變差函數(shù)的計算=一維實驗變差函數(shù)的計算公式(i=144對不同的滯后h，進行計算，得出各個h的變差函數(shù)值=h3h5hh對不同的滯后h，進行計算，得出各個h的變差函數(shù)值=h3h545設Z(x)為一維區(qū)域化變量，滿足本征假設，又已知Z(1)=2，Z(2)=4，Z(3)=3，Z(4)=1，Z(5)=5，Z(6)=3，Z(7)=6，Z(8)=4，，，

例：試求：=設Z(x)為一維區(qū)域化變量，滿足本征假設，又已知Z(1)=246===[22+12+22+42+22+32+22]==3.00[12+32+22+22+12+12]==1.67[12+12+02+52+12]==2.80===[22+12+22+42+22+32+22]==472D情況（1）分不同方向，進行1D變差函數(shù)計算3D情況：

增加垂向方向（2）確定主變程方向次變程方向角度容限步長容限h3h5hh四方向試算（考慮主變程方向的走向、傾向和傾角）2D情況（1）分不同方向，進行1D變差函數(shù)計算3D情況：（248(3)理論變差函數(shù)的最優(yōu)擬合與結構套合

選擇合適的理論變差函數(shù)模型，同時還需進行結構套合，從而得到一條反映不同層次（或不同空間規(guī)模）結構的、統(tǒng)一的、最優(yōu)的變差函數(shù)曲線。球狀模型指數(shù)模型高斯模型冪函數(shù)模型空洞效應模型(3)理論變差函數(shù)的最優(yōu)擬合與結構套合球狀模型49復雜的區(qū)域化變量往往包含各種尺度上的多層次、多方向的變化性，反映在變差函數(shù)上即為多層次結構。將不同結構組合為統(tǒng)一結構的過程稱為“結構套合”結構套合各層次套合例如，對于200米寬的河道，在h＝50m的觀測尺度上可以將其與河道間的變化性區(qū)分出來，但卻無法區(qū)分層理和礦物成分的變化性(即無法找出更細微的結構來)，它們在50m尺度得到的結構上只能作為“塊金效應”出現(xiàn)。若觀測尺度為500米，河道的變化也只能作為“塊金效應”。121113333大尺度的變化性總是包含著小尺度的變化性，但卻不能從大尺度的變化性中區(qū)分出小尺度的變化性。復雜的區(qū)域化變量往往包含各種尺度上的多層次、多50===代表微觀變化性的變程極小的球狀模型，可近似地看作純塊金效應型球狀模型，沒有塊金常數(shù)，基臺值為C1，變程為a1，反映了小規(guī)模范圍的變化球狀模型，沒有塊金常數(shù)，基臺值為C2，變程較大，為a2，反映了大規(guī)模范圍的變化可以用反映各種不同尺度變化性的多個變差函數(shù)之和來表示一個套合結構。（各層次理論模型可以不一樣）可以是不同模型的變差函數(shù)===代表微觀變化性的變程極小的球狀模型，可近似地看作純塊金51其中則套合結構的表達式為====其中則套合結構的表達式為====52①對于幾何各向異性，先根據(jù)異向比壓縮距離軸，使之成為各向同性的模型；②對于帶狀各向異性，運用模型疊加的方法加以處理。先用壓縮距離軸的辦法，使其變程變?yōu)橄嗤?，然后再把具有相同變程的兩個球狀模型疊加起來，構成一個新的球狀模型各方向套合（將各向異性套合為各向同性，以便于在克里金估計時，不同方向均可用統(tǒng)一的結構模型計算實際的變差函數(shù)值）①對于幾何各向異性，先根據(jù)異向比壓縮各方向套合（將各向異性套53(4)變差函數(shù)參數(shù)的最優(yōu)性檢驗：

變差函數(shù)是否符合實際，應該進行檢驗。一種實用的檢驗方法為“交叉驗證法”（Cross-validation），檢驗標準是在各實測點，根據(jù)周圍點計算的克里金估計值與該實測值的誤差平方平均最小。

估計誤差的平方與克里金估計方差之比越接近1，則說明變差函數(shù)與實際的符合程度越高。實際上，這種方法在檢驗變差函數(shù)的同時，也在檢驗所使用的克里金估計方法的適用性。Z*(x0)(4)變差函數(shù)參數(shù)的最優(yōu)性檢驗：Z*(x0)54五、克里金插值中權系數(shù)的確定（以普通克里金為例）i求取變差函數(shù)（或協(xié)方差）；解克里金方程組在結構分析的基礎上五、克里金插值中權系數(shù)的確定（以普通克里金為例）i求取變差55設有一個油藏，在平面上S1，S2，S3，S4處有四個井點，其孔隙度值分別為Z1，Z2，Z3，Z4。據(jù)此估計S0點處的孔隙度值Z0

設孔隙度Z(x)是二階平穩(wěn)的。其在平面上的二維變差函數(shù)是一個各向同性的球狀模型，其參數(shù)為：塊金值C0＝2，變程a＝200，拱高C＝20，即：實例設有一個油藏，在平面上S1，S2，S3，S4處有四個56Z0的估計量為普通克里金方程組的矩陣形式為[K][]=[M2](求解）Z0的估計量為普通克里金方程組的矩陣形式為[K][57求解:CijC11C12C01試求?求解:CijC11試求?58C11=C22=C33=C44=C(0)=σ2=C0+C=22,由于C(h)=C(0)-(h)=22-(h)∴當i≠j時，Cij=C(|Si-Sj|)=22-(|Si-Sj|).于是，C12=C21=C04=22-C11=C22=C33=C44=C(0)59將以上數(shù)值代入普通克里金方程組解的矩陣形式中，得經(jīng)計算得:=0.5182,=0.0220,=0.0886,=0.3712。Z0＊＝0.5182Z1+0.0220Z2+0.0886Z3+0.3712Z4將以上數(shù)值代入普通克里金方程組解的矩陣形式中，得經(jīng)計算得:60六、克里金插值中搜索策略搜索鄰域注意1：

搜索鄰域中的數(shù)據(jù)點才參加估計節(jié)省CPU和內(nèi)存局域平穩(wěn)搜索橢圓或橢球的選擇方法與選擇變差函數(shù)橢圓或橢球相同。六、克里金插值中搜索策略搜索鄰域注意1：節(jié)省CPU和內(nèi)存61注意2：

參與計算的數(shù)據(jù)點不能太多，否則計算太慢

一般軟件中都內(nèi)置或可選最大的數(shù)據(jù)點數(shù)目（與待估點最近的數(shù)據(jù)點），如10。注意3：

防止數(shù)據(jù)叢聚帶來的數(shù)據(jù)代表性不強井眼井眼垂向數(shù)據(jù)太密，若待估點與該井近，則可能忽視鄰井數(shù)據(jù)八分搜尋，保證各象限均有代表數(shù)據(jù)注意2：一般軟件中都內(nèi)置或可選最大的數(shù)據(jù)點數(shù)目（與待估點最62若搜尋范圍無數(shù)據(jù)，則應用邊際概率。若搜尋范圍無數(shù)據(jù)，則應用邊際概率。63x0第二節(jié)

克里金插值方法

簡單克里金(SK)普通克里金(OK)泛克里金(UK)協(xié)同克里金(CK)貝葉斯克里金（BK）指示克里金(IK)x0第二節(jié)克里金插值方法簡單克里金(SK)64一、簡單克里金(SK)(SimpleKriging)所有克里金估計都應用線性回歸算法，形式為：m為期望求取權系數(shù)的克里金方程組的非平穩(wěn)形式求(n+1)個m(u),求(n+1)×(n+1)個C(u,u)一、簡單克里金(SK)所有克里金估計都應用線性回歸算法，形65二階平穩(wěn)假設E[Z(u)]=E[Z(u+h)]=m(常數(shù))C(u,u+h)=C(h)簡單克里金估計的平穩(wěn)形式：E[Z(u)]=E[Z(u+h)]=m(常數(shù))二階平穩(wěn)假設E[Z(u)]=E[Z(u+h)]=m(66應用條件：

隨機函數(shù)二階平穩(wěn)隨機函數(shù)的期望值m為常數(shù)并已知不能用于具有局部趨勢的情況簡單克里金方程組的平穩(wěn)形式：C(u,u+h)=C(h)（C與位置有關）（C與位置無關）應用條件：不能用于具有局部趨勢的情況簡單克里金方程組的平穩(wěn)形67二、普通克里金(OK)(OrdinaryKriging)二、普通克里金(OK)68應用要求：

隨機函數(shù)二階平穩(wěn)或符合內(nèi)蘊假設隨機函數(shù)的期望值m在搜尋鄰域內(nèi)穩(wěn)定但未知

協(xié)方差平穩(wěn)

與簡單克里金相比，普通克里金相當于在每一個位置u，重新估計m。由于普通克里金估計常使用滑動數(shù)據(jù)鄰域，相當于均值m隨位置可變，即Z*(u)，此時，實際上是一種非平穩(wěn)算法，對應于變化的均值和平穩(wěn)的協(xié)方差。應用要求：與簡單克里金相比，普通克里金相當于在69三、泛克里金(UK)(UniversalKriging)非平穩(wěn)隨機函數(shù)的漂移函數(shù)(drift),簡稱為漂移或趨勢隨機函數(shù)=趨勢+殘差區(qū)域化變量Z(X)是非平穩(wěn)的，即E[Z(x)]=m(x)Krigingwithatrendmodel(KT)具有趨勢的克里金三、泛克里金(UK)非平穩(wěn)隨機函數(shù)的漂移函數(shù)(drift),70用光滑的確定性函數(shù)來模擬，或用擬合方法趨勢函數(shù)一維的線性趨勢二維的二次趨勢:用光滑的確定性函數(shù)來模擬，或用擬合方法趨勢函數(shù)一維的線性趨71用均值為0、協(xié)方差函數(shù)為的平穩(wěn)隨機函數(shù)來模擬。泛克里金估計值:殘差用均值為0、泛克里金估計值:殘差72為權值是與(K+1)個權值的限制條件相對應的(K+1)個拉格朗日參數(shù)泛克里金方程組

為殘差協(xié)方差函數(shù)為權值是與(K+1)個權值的限制條件相對應的(K+1)個拉73具有外部漂移的克里金(KrigingwithanexternalDrift)

估計值當K=1時，線性趨勢函數(shù)為趨勢函數(shù)可理解為二級變量具有外部漂移的克里金估計值當K=1時，線性趨勢函數(shù)為趨74（1）外部變量必須在空間光滑地變化，否則可能導致KT線性系統(tǒng)不穩(wěn)定；（2）在主變量的所有數(shù)據(jù)點u處和待估計的位置u處，外部變量都必須是已知的。克里金方程組：可理解為地震數(shù)據(jù)（如深度）（K=0時，？）（1）外部變量必須在空間光滑克里金方程組：可理解為75利用幾個變量之間的空間相關性，對其中的一個或幾個變量進行空間估計，尤其適用于被估計變量的觀察數(shù)據(jù)較少的情況。協(xié)同克里金估計值（初始變量和二級變量）四、協(xié)同克里金（CK）(Cokriging)

----隨機變量在位置0處的估計值；----初始變量的n個樣本數(shù)據(jù)；----二級變量的m個樣本數(shù)據(jù)；----需要確定的協(xié)同克里金加權系數(shù)。及利用幾個變量之間的空間相關性，對其中的一個或76協(xié)同克里金方程組傳統(tǒng)普通協(xié)克里金協(xié)同克里金方程組傳統(tǒng)普通協(xié)克里金77標準化普通協(xié)克里金mX=E[x(u)]mY=E[y(u)]標準化普通協(xié)克里金mX=E[x(u)]mY=E[y(78為協(xié)同克里金的簡化形式，即如果二級變量密集取樣時，只保留與估計點同位的二級變量。對應的協(xié)同克里金方程組只要求知道Z-協(xié)方差函數(shù)以及Z-Y互協(xié)方差函數(shù)CZ（h）（同位兩種數(shù)據(jù)的相關系數(shù)）（方差函數(shù)）同位協(xié)同克里金CollocatedCokriging為協(xié)同克里金的簡化形式，即如果二級變量密集取樣時，只79五、貝葉斯克里金（BK）

H.Omre在（1987）把線性貝葉斯理論用于克里金估計技術，提出了貝葉斯克里金估計技術。他構想了一個模型，把用于空間估計的數(shù)據(jù)分為兩類：

觀察數(shù)據(jù)：是指那些精度比較高，但數(shù)量比較少的數(shù)據(jù)

猜測數(shù)據(jù)：是指那些精度比較低，但分布廣泛的數(shù)據(jù)

在觀測數(shù)據(jù)比較多的地方，估計結果主要受觀測數(shù)據(jù)的影響；在觀測數(shù)據(jù)比較少的地方，則主要受猜測數(shù)據(jù)的影響。顯然，井數(shù)據(jù)和地震數(shù)據(jù)的關系符合貝葉斯估計中觀測數(shù)據(jù)和猜測數(shù)據(jù)的關系。五、貝葉斯克里金（BK）H.Omre在（1987）把線性貝80設Z(x)，x∈A，是觀察數(shù)據(jù)的區(qū)域化變量。設M(x)，x∈A，是猜測數(shù)據(jù)的區(qū)域化變量。

Z*(x0)=E[Z(x0)]=a0+μM(x0)E[M(x)]＝μM(x)，x∈AM(x)是對Z(x)的一種猜測，誤差為a0x0a0？設Z(x)，x∈A，是觀察數(shù)據(jù)的區(qū)域化變量。Z*(x0)81設已得到Z(x)，x∈A的一組(N個)觀察值{Z(xi);i=1,2,…,N}。定義一個新的隨機函數(shù)：

ZT(x)＝Z(x)-μM(x)，x∈AZT(xi)=Z(xi)-μM(x)，i=1,2,…,NZ(x0)的貝葉斯克里金估計量為x0對這個N個觀察值有（相當于誤差a0）（誤差的隨機函數(shù)）設已得到Z(x)，x∈A的一組(N個)觀察值ZT(xi)82基于無偏性和估計方差最小兩個條件：利用拉格朗日乘數(shù)法可得到貝葉斯克里金方程組：Z(x＇,x＂)=Z｜M(x＇-x＂)+M(x＇,x＂)基于無偏性和估計方差最小兩個條件：利用拉格朗日乘數(shù)法可得到貝83將數(shù)據(jù)按照不同的門檻值編碼為1或0的過程。

對于模擬目標區(qū)內(nèi)的每一類相，當它出現(xiàn)于某一位置時，指示變量為1，否則為0。A(100)

B(010)

A(100)

C(001)

類型變量的指示變換：變量u屬于范疇A其它六、指示克里金(IK)IndicatorKriging

指示變換1982年由A·G·Journel(儒爾奈耳)教授提出將數(shù)據(jù)按照不同的門檻值編碼為1或0的過程。84(00111)

(00001)

(01111)

(00011)

首先將連續(xù)變量截斷為類型變量，然后進行指示變換。如：z=10，15，20，25,30連續(xù)變量的指示變換(00111)(00001)(085設沿空間某一方向，在間距為h的5對樣品點處觀測了Z(xα)及Z(xα+h)的值(α=1,2，……，5)。設指示X＝I(xα;z)=設指示Y=I(xα+h;z′)=設沿空間某一方向，在間距為h的5對樣品點處觀測了Z(xα)及86假定只選定了5個門限值：0，2，3，6，9假定只選定了5個門限值：0，2，3，6，987指示(函數(shù))的數(shù)學期望當x固定時，若z再給定，則I(x；z)就是個隨機變量，就有數(shù)學期望：E{I(x；z)}＝1×P{I(x；z)=1}+0×P{I(x；z)=0}=P{I(x；z)=1}=P{}=F(x；z)，－∞<z<+∞在x點處區(qū)域化變量Z(x)的先驗分布函數(shù)F(x；z)，－∞<z<+∞就是x點處指示函數(shù)的數(shù)學期望E＊{I(x；z)}＝i*(x；z)=指示(函數(shù))的數(shù)學期望當x固定時，若z再88(1)z=3時，設指示隨機變量X＝I(x;3)①E(X)=E{I(x;3)}=②Var(X)=Var{I(x;3)}=mx(1-mx)=0.6×0.4=0.24=試求指示隨機變量的數(shù)學期望和方差：(1)z=3時，設指示隨機變量X＝I(x;3)①E(89(2)z′=6時，設指示隨機變量Y＝I(x+h;6)①E(Y)=E{I(x+h;6)}=②Var(Y)=Var{I(x+h;6)}=mY(1-mY)=0.4×0.6=0.24=(2)z′=6時，設指示隨機變量Y＝I(x+h;6)①E90設Z(X)是個一維區(qū)域化變量，在等間距的10個點處有10個觀測值：Z(1)=3，Z(2)=5，Z(3)=6，Z(4)=2，Z(5)=7，Z(6)=1，Z(7)=4，Z(8)=8，Z(9)=9，Z(10)=7，設門限值Z分別等于2,3,4,5,6,7,8時，求指示變差函數(shù)的估計值(h;z)，h=1，2，3，4，5。計算設Z(X)是個一維區(qū)域化變量，在等間距的10個點處有10個91I(h;5)=(h;5)=首先，計算i(xα;5)：i(x1;5)＝1,i(x2;5)＝1,i(x3;5)＝0,i(x4;5)=1,i(x5;5)＝0,i(x6;5)=1,i(x7;5)＝1,i(x8;5)＝0,i(x9;5)＝0,i(x10;5)＝0,(1;5)=I(h;5)=(h;5)=首先，計算i(xα;5)：(92列表計算各指示值i(xα;z)根據(jù)i(xα;z)值算出不同z值的(h;z)值Z(X)3562714897列表計算各指示值i(xα;z)根據(jù)i(xα;z)值算出不同93根據(jù)i(xα;z)值算出的不同z值的(h;z)值計算的各指示值i(xα;z)根據(jù)i(xα;z)值算出的不同z值的(h;z)值94指示克里金

線性估計量i*(x;z)=其中，xα(α=1,2,…，n)點處的Z(xα)值已知，λα(x;z)(α=1,2,…，n)為IK權系數(shù)(00111)

(00001)

(01111)

(00011)

（普通指示克里金）指示克里金線性估計量i*(x;z)=其中，xα(α95CI(h;z)為指示協(xié)方差，為指示變差函數(shù)是拉格朗日乘數(shù)有多少個門限值z，就有多少個IK方程組IK方程組：CI(h;z)為指示協(xié)方差，為指示變差函數(shù)是拉格朗日乘數(shù)96從IK方程組中解出i*(x;z)=求出i(x;z)的估計值i*(x;z)實際上是I(x;z)的條件數(shù)學期望E[I(x;z)|(n)]的估計值。E[I(x;z)|(n)]=0×P[I(x;z)=0|(n)]+1×P[I(x;z)=1|(n)]=P[I(x;z)=1|(n)=P[Z(x）z)|(n)]=F[x;z|(n)]為后驗概率分布函數(shù)，或條件概率分布函數(shù)，等于在已知n個信息樣品的條件下，概率P{Z(x)z}的大小。i*(x;z)=E[I(x;z)|(n)]即：i*(x;z)=E[I(x;z)|(n)]又：=P[Z(x）z)|(n)]從IK方程組中解出i*(x;z)=求出i(x;z)的估97(00111)

(00001)

(01111)

(00011)

Z*(x)=

各類的局部均值各類的后驗概率估計的指示值(00111)(00001)(098Sunbeson金礦，有3500個樣品，邊界品位值分別取z=0.009，0.015，0.020，0.033克/噸，用這4個邊界品位可將金礦化分為5類：應用IK法估計出以下的條件概率：P*{x∈(1)|(n)}=18.2%,P*{x∈(2)|(n)}=6.5%,P*{x∈(3)|(n)}=0%,P*{x∈(4)|(n)}=57.8%,P*{x∈(5)|(n)}=17.5%,各概率的總和為1例：Sunbeson金礦，有3500個樣品，邊界品位值分別取z=99各類的(局部)均值為：[Z(x)|x∈(1)]*=0.004g/t,[Z(x)|x∈(2)]*=0.0125g/t.[Z(x)|x∈(3)]*=0.020g/t,[Z(x)|x∈(4)]*=0.0276g/t.[Z(x)|x∈(5)]*=0.125g/t,按IK法可得總平均品位的估計值為Z*(x)={x∈(k)｜(n)}×[Z(x)｜x∈(k)]*=0.0393683g/t.各類的(局部)均值為：按IK法可得總平均品位的估計值為Z*100A(100)

B(010)

A(100)

C(001)

離散變量的指示克里金估計分別對各類型進行指示克里金估計，得出各類型的概率估計。（最大概率的類型即為待估點的類型）A(100)B(010)A101作為一種非參數(shù)統(tǒng)計方法，指示克里金估計方法在處理特高值和特低值的分布方面，具有明顯的優(yōu)勢。特色一：(00111)

(00001)

(01111)

(00011)

離散變量（類型變量）連續(xù)變量作為一種非參數(shù)統(tǒng)計方法，指示克里金估計方法在102應用貝葉斯理論，可綜合各種軟信息（與硬信息一起）進行指示克里金估計。（如地震信息、試井解釋、地質(zhì)推理和解釋等）硬信息：能準確標定所研究地質(zhì)變量取值的信息。

軟信息：不能準確標定所研究地質(zhì)變量取值，而只能提供其概率分布的信息。

特色二：應用貝葉斯理論，可綜合各種軟信息（與硬信103使用貝葉斯理論，將先驗的局部累計分布函數(shù)更新為后驗的條件局部累計分布函數(shù)。整體先驗概率硬指示數(shù)據(jù)軟指示數(shù)據(jù)A(100)

B(010)

A(100)

C(001)

使用貝葉斯理論，將先驗的局部累計分布函數(shù)更新為104l

估計的無偏性克里金方法的優(yōu)點l

反映了變量的空間結構性l

能得到估計精度

l

估計的無偏性克里金方法的優(yōu)點l

反映了變量的空間105（1）克里金插值為局部估計方法，對估計值的整體空間相關性考慮不夠，它保證了數(shù)據(jù)的估計局部最優(yōu)，卻不能保證數(shù)據(jù)的總體最優(yōu)，因為克里金估值的方差比原始數(shù)據(jù)的方差要小。因此，當井點較少且分布不均時可能會出現(xiàn)較大的估計誤差，特別是在井點之外的無井區(qū)誤差可能更大。克里金方法的局限性（1）克里金插值為局部估計方法，對估計值的整體空106

克里金插值第二講克里金方法（Kriging）,是以南非礦業(yè)工程師D.G.Krige(克里格)名字命名的一項實用空間估計技術，是地質(zhì)統(tǒng)計學的重要組成部分，也是地質(zhì)統(tǒng)計學的核心。克里金插值第二講克里金方法（Krigin107地質(zhì)統(tǒng)計學主要是為解決礦床儲量計算和誤差估計問題而發(fā)展起來的由法國巴黎國立高等礦業(yè)學院G．馬特隆教授于1962年所創(chuàng)立。地質(zhì)統(tǒng)計學主要是為解決礦床儲量計算和誤差估計問題而發(fā)展起來108H.S.Sichel(1947)D.G.Krige(1951)Kriging法（克里金法，克立格法）:“根據(jù)樣品空間位置不同、樣品間相關程度的不同，對每個樣品品位賦予不同的權，進行滑動加權平均，以估計中心塊段平均品位”G.Materon(1962)提出了“地質(zhì)統(tǒng)計學”概念(法文Geostatistique)發(fā)表了專著《應用地質(zhì)統(tǒng)計學論》。闡明了一整套區(qū)域化變量的理論，為地質(zhì)統(tǒng)計學奠定了理論基礎。區(qū)域化變量理論克里金估計隨機模擬應用統(tǒng)計學方法研究金礦品位1977年我國開始引入H.S.Sichel(1947)D.G.Krige109克里金插值方法井眼地震（普通克里金）（應用隨機函數(shù)理論）不僅考慮待估點位置與已知數(shù)據(jù)位置的相互關系，而且還考慮變量的空間相關性?？死锝鸩逯捣椒ň鄣卣穑ㄆ胀死锝穑☉秒S機函數(shù)理論）110

為一個實值變量，可根據(jù)概率分布取不同的值。每次取值（觀測）結果z為一個確定的數(shù)值，稱為隨機變量Z的一個實現(xiàn)。P一、隨機變量與隨機函數(shù)第一節(jié)基本原理1.隨機變量為一個實值變量，可根據(jù)概率分布取不同的值。每次取值111連續(xù)變量：累積分布函數(shù)（cdf）cumulativedistributionfunction條件累積分布函數(shù)（ccdf）后驗conditionalcumulativedistributionfunction離散變量（類型變量）：Z(u)PP不同的取值方式：估計（estimation）模擬（simulation）連續(xù)變量：累積分布函數(shù)（cdf）條件累積分布函數(shù)（ccdf）112連續(xù)型地質(zhì)變量構造深度砂體厚度有效厚度孔隙度滲透率含油飽和度離散型地質(zhì)變量（范疇變量）砂體相流動單元隔夾層斷層類型變量連續(xù)型地質(zhì)變量構造深度離散型地質(zhì)變量（范疇變量）砂體類型變量113①設離散型隨機變量ξ的所有可能取值為x1，x2，…，其相應的概率為P(ξ=xk)=pk,k=1,2,….隨機變量的特征值：(1)數(shù)學期望是隨機變量ξ的整體代表性特征數(shù)。則當級數(shù)絕對收斂時，稱此級數(shù)的和為ξ的數(shù)學期望，記為E(ξ)，或Eξ。E(ξ)=①設離散型隨機變量ξ的所有可能取值為P(ξ=xk)=pk114②設連續(xù)型隨機變量ξ的可能取值區(qū)間為(-∞，+∞)，p(x)為其概率密度函數(shù)，若無窮積分絕對收斂，則稱它為ξ的數(shù)學期望，記為E(ξ)。E(ξ)=數(shù)學期望是隨機變量的最基本的數(shù)字特征，相當于隨機變量以其取值概率為權的加權平均數(shù)。從矩的角度說，數(shù)學期望是ξ的一階原點矩。對于一組樣本：②設連續(xù)型隨機變量ξ的可能取值區(qū)間為(-∞，+∞)，E115為隨機變量ξ的離散性特征數(shù)。若數(shù)學期望E[ξ-E(ξ)]2存在，則稱它為ξ的方差，記為D(ξ)，或Var(ξ)，或σξ2。σξ=從矩的角度說，方差是ξ的二階中心矩。(2)方差其簡算公式為D(ξ)=E(ξ2)–[E(ξ)]2D(ξ)=E[ξ-E(ξ)]2方差的平方根為標準差，記為σξ

為隨機變量ξ的離散性特征數(shù)。若數(shù)學期望E[ξ-E(116

研究范圍內(nèi)的一組隨機變量。簡記為隨機場：當隨機函數(shù)依賴于多個自變量時，稱為隨機場。如具有三個自變量(空間點的三個直角坐標)的隨機場2.隨機函數(shù)條件累積分布函數(shù)（ccdf）P研究范圍內(nèi)的一組隨機變量。簡記為隨機場：當隨機函數(shù)依賴于多117二個隨機變量ξ，η的協(xié)方差為二維隨機變量(ξ，η)的二階混合中心矩μ11，記為Cov(ξ，η)，或σξ,η。協(xié)方差(Variance)：Cov(ξ,η)=σξ,η=E[ξ-E(ξ)][η-E(η)]其簡算公式為

Cov(ξ,η)=E(ξη)-E(ξ)·E(η)隨機函數(shù)的特征值二個隨機變量ξ，η的協(xié)方差為二維隨機變量(ξ118二、統(tǒng)計推斷與平穩(wěn)要求P任何統(tǒng)計推斷（cdf，數(shù)學期望等）均要求重復取樣。但在儲層預測中，一個位置只能有一個樣品。同一位置重復取樣，得到cdf，不現(xiàn)實二、統(tǒng)計推斷與平穩(wěn)要求P任何統(tǒng)計推斷（cdf，數(shù)學期望等119考慮鄰近點，推斷待估點空間一點處的觀測值可解釋為一個隨機變量在該點處的一個隨機實現(xiàn)?？臻g各點處隨機變量的集合構成一個隨機函數(shù)。區(qū)域化變量：能用其空間分布來表征一個自然現(xiàn)象的變量。（將空間位置作為隨機函數(shù)的自變量）（可以應用隨機函數(shù)理論解決插值和模擬問題）考慮鄰近點，推斷待估點空間一點處的觀測值可解釋為一個隨機變120考慮鄰近點，推斷待估點

----空間統(tǒng)計推斷要求平穩(wěn)假設嚴格平穩(wěn)對于單變量而言：可從研究區(qū)內(nèi)所有數(shù)據(jù)的累積直方圖推斷而得

（將鄰近點當成重復取樣點）太強的假設，不符合實際P考慮鄰近點，推斷待估點嚴格平穩(wěn)對于單變量而言：可從研究區(qū)內(nèi)所121當區(qū)域化變量Z(u)滿足下列二個條件時，則稱其為二階平穩(wěn)或弱平穩(wěn)：E[Z(u)]=E[Z(u+h)]=m(常數(shù))xh隨機函數(shù)在空間上的變化沒有明顯趨勢，圍繞m值上下波動。①在整個研究區(qū)內(nèi)有Z(u)的數(shù)學期望存在，且等于常數(shù)，即：二階平穩(wěn)E[Z(u)]=E[Z(u+h)]=m(常數(shù))xh122②在整個研究區(qū)內(nèi)，Z(u)的協(xié)方差函數(shù)存在且平穩(wěn)

(即只依賴于滯后h，而與u無關)，即Cov{Z(u),Z(u+h)}=E[Z(u)Z(u+h)]-E[Z(u)]E[Z(u+h)]=E[Z(u)Z(u+h)]-㎡=C(h)特殊地，當h=0時，上式變?yōu)閂ar[Z(u)]=C(0),

即方差存在且為常數(shù)。協(xié)方差不依賴于空間絕對位置，而依賴于相對位置，即具有空間的平穩(wěn)不變性。uu+h②在整個研究區(qū)內(nèi)，Z(u)的協(xié)方差函數(shù)存在且平穩(wěn)特殊地123①在整個研究區(qū)內(nèi)有E[Z(u)-Z(u+h)]=0本征假設當區(qū)域化變量Z(u)的增量[Z(u)-Z(u+h)]滿足下列二條件時，稱其為滿足本征假設或內(nèi)蘊假設?？沙霈F(xiàn)E[Z(u)]不存在，但E[Z(u)-Z(u+h)]存在并為零的情況

intrinsichypotheseE[Z(u)]可以變化,但E[Z(u)-Z(u+h)]=0（比二階平穩(wěn)更弱的平穩(wěn)假設）①在整個研究區(qū)內(nèi)有本征假設當區(qū)域化變124②增量[Z(u)-Z(u+h)]的方差函數(shù)(變差函數(shù),Variogram)

存在且平穩(wěn)(即不依賴于u)，即：Var[Z(u)-Z(u+h)]=E[Z(u)-Z(u+h)]2-{E[Z(u)-Z(u+h)]}2=E[Z(u)-Z(u+h)]2

=2γ(u,h)=2γ(h),相當于要求：Z(u)的變差函數(shù)存在且平穩(wěn)。②增量[Z(u)-Z(u+h)]的方差函數(shù)(變差函數(shù),V125例：物理學上的著名的布朗運動是一種呈現(xiàn)出無限離散性的物理現(xiàn)象，其隨機函數(shù)的理論模型就是維納-勒維(Wiener-Levy)過程(或隨機游走過程)。布朗運動:

可出現(xiàn)協(xié)方差函數(shù)不存在，但變差函數(shù)存在的情況。

既不能確定驗前方差，也不能確定協(xié)方差函數(shù)。但是其增量卻具有有限的方差：Var[Z(x)-Z(x+h)]=2=A·|h|(其中，A是個常數(shù))，變差函數(shù)=·|h|，且隨著|h|線性地增大。例：物理學上的著名的布朗運動是一種呈現(xiàn)出無限離散性的物理現(xiàn)象126若區(qū)域化變量Z(x)在整個區(qū)域內(nèi)不滿足二階平穩(wěn)(或本征假設)，但在有限大小的鄰域內(nèi)是二階平穩(wěn)(或本征)的，則稱Z(x)是準二階平穩(wěn)的(或準本征的)。準二階平穩(wěn)假設及準本征假設若區(qū)域化變量Z(x)在整個區(qū)域內(nèi)不滿足二階平穩(wěn)(127設為區(qū)域上的一系列觀測點，為相應的觀測值。區(qū)域化變量在處的值可采用一個線性組合來估計：三、克里金估計(基本思路Z*(x0)無偏最優(yōu)無偏性和估計方差最小被作為選取的標準----以普通克里金為例設為區(qū)域上的一系128從本征假設出發(fā),可知為常數(shù),有可得到關系式:（1）無偏條件Z*(x0)（在搜尋鄰域內(nèi)為常數(shù)，不同鄰域可以有差別）從本征假設出發(fā),可知為常數(shù),有可得到129（2）估計方差最小應用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值Z*(x0)（2）估計方差最小應用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值Z*(x0)130進一步推導，可得到n+1階的線性方程組,即克里金方程組當隨機函數(shù)不滿足二階平穩(wěn),而滿足內(nèi)蘊（本征）假設時,可用變差函數(shù)來表示克里金方程組如下:Z*(x0)進一步推導，可得到n+1階的線性方程組,即克里金方程組131最小的估計方差,即克里金方差可用以下公式求解:Z*(x0)最小的估計方差,即克里金方差可用以下公式求解:Z*(x0)132變差函數(shù)(或叫變程方差函數(shù)，或變異函數(shù))是地質(zhì)統(tǒng)計學所特有的基本工具。它既能描述區(qū)域化變量的空間結構性變化，又能描述其隨機性變化。躍遷現(xiàn)象1.變差函數(shù)的概念與參數(shù)

四、變差函數(shù)及其結構分析變差函數(shù)(或叫變程方差函數(shù)，或變異函數(shù))是地質(zhì)統(tǒng)133假設空間點x只在一維的x軸上變化，則將區(qū)域化變量Z(x)在x，x+h兩點處的值之差的方差之半定義為Z(x)在x軸方向上的變差函數(shù)，記為一維情況下的定義：Var[Z(x)-Z(x+h)]E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2

==半變差函數(shù)(或半變異函數(shù))假設空間點x只在一維的x軸上變化，則將區(qū)域化變量Z134在二階平穩(wěn)假設，或作本征假設，此時：地質(zhì)統(tǒng)計學中最常用的基本公式之一。E[Z(x)-Z(x+h)]=0hVar[Z(x)-Z(x+h)]E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2

==E[Z(x)-Z(x+h)]2

=則：在二階平穩(wěn)假設，或作本征假設，此時：地質(zhì)統(tǒng)135（二階平穩(wěn)假設條件下邊查函數(shù)與寫防查的關系）（二階平穩(wěn)假設條件下邊查函數(shù)與寫防查的關系）136變程(Range)：指區(qū)域化變量在空間上具有相關性的范圍。在變程范圍之內(nèi)，數(shù)據(jù)具有相關性；而在變程之外，數(shù)據(jù)之間互不相關，即在變程以外的觀測值不對估計結果產(chǎn)生影響。變程(Range)：指區(qū)域化變量在空間上具有相關性的范圍。137具不同變程的克里金插值圖象具不同變程的克里金插值圖象138塊金值(Nugget)

：變差函數(shù)如果在原點間斷，在地質(zhì)統(tǒng)計學中稱為“塊金效應”，表現(xiàn)為在很短的距離內(nèi)有較大的空間變異性，無論h多小，兩個隨機變量都不相關。它可以由測量誤差引起，也可以來自礦化現(xiàn)象的微觀變異性。在數(shù)學上，塊金值c0相當于變量純隨機性的部分。塊金值(Nugget)：變差函數(shù)如果在原點間斷，在地質(zhì)統(tǒng)計139如果品位完全是典型的隨機變量，則不論觀測尺度大小，所得到的實驗變差函數(shù)曲線總是接近于純塊金效應模型。當采樣網(wǎng)格過大時，將掩蓋小尺度的結構，而將采樣尺度內(nèi)的變化均視為塊金常數(shù)。這種現(xiàn)象即為塊金效應的尺度效應。塊金效應的尺度效應121113333如果品位完全是典型的隨機變量，則不論觀測尺度140基臺值(Sill)：代表變量在空間上的總變異性大小。即為變差函數(shù)在h大于變程時的值，為塊金值c0和拱高cc之和。拱高為在取得有效數(shù)據(jù)的尺度上，可觀測得到的變異性幅度大小。當塊金值等于0時，基臺值即為拱高。=C(0)–C(h)基臺值(Sill)：代表變量在空間上的總變異性大小。即為變差141幾何各向異性：變差函數(shù)在空間各個方向上的變程不同，但基臺值不變（即變化程度相等）。這種情況能用一個簡單的幾何坐標變換將各向異性結構變換為各向同性結構。帶狀各向異性：不同方向的變差函數(shù)具有不同的基臺值，其中變程可以不同，也可以相同。這種情況不能通過坐標的線性變換轉(zhuǎn)化為各向同性，因而結構套合是比較復雜的。地質(zhì)變量相關性的各向異性121113333(2)幾何各向異性：變差函數(shù)在空間各個方向上的變程不同，但基臺值不1422.變差函數(shù)的理論模型設Z(x)為滿足本征假設的區(qū)域化變量，則常見的理論變差函數(shù)有以下幾類：球狀模型指數(shù)模型高斯模型冪函數(shù)模型空洞效應模型2.變差函數(shù)的理論模型設Z(x)為滿足本征假設的區(qū)域化變量143接近原點處，變差函數(shù)呈線性形狀，在變程處達到基臺值。原點處變差函數(shù)的切線在變程的2/3處與基臺值相交。球狀模型：

c為基臺值，a為變程，h為滯后距。接近原點處，變差函球狀模型：c為基臺值，a為變程，144指數(shù)模型：

變差函數(shù)漸近地逼近基臺值。在實際變程處，變差函數(shù)為0.95c。模型在原點處為直線。指數(shù)模型：變差函數(shù)漸近地逼近145高斯模型：

變差函數(shù)漸近地逼近基臺值。在實際變程處，變差函數(shù)為0.95c。模型在原點處為拋物線。高斯模型：變差函數(shù)漸近地逼近146冪函數(shù)模型：

冪函數(shù)模型為一種無基臺值的變差函數(shù)模型。這是一種特殊的模型。當=1時，變差函數(shù)為一直線，即為線性模型，這一模型即為著名的布朗運動（隨機行走過程）的變差函數(shù)模型；當

1時，變差函數(shù)為拋物線形狀，為分數(shù)布朗運動(fBm)的變差函數(shù)模型。布朗運動分數(shù)布朗運動分數(shù)布朗運動h冪函數(shù)模型：冪函數(shù)模型為一種無基臺值的變差函數(shù)模型147空洞效應模型(HoleEffect)：

變差函數(shù)并非單調(diào)增加，而顯示出一定周期性的波動。模型可以有基臺值，也可以無基臺值；可以有塊金值，也可以無塊金值?？斩葱诘刭|(zhì)上多沿垂向上出現(xiàn)，如富礦層與貧礦層互層、砂巖與泥巖頻繁薄互層等等。（b為富礦化帶重復距離）h空洞效應模型(HoleEffect)：變差函數(shù)并非單148通過區(qū)域化變量的空間觀測值來構建相應的變差函數(shù)模型,以表征該變量的主要結構特征。(求變差)(1)數(shù)據(jù)準備

區(qū)域化變量的選取、

數(shù)據(jù)質(zhì)量檢查及校正、

數(shù)據(jù)的變換（如對滲透率進行對數(shù)變換）、

數(shù)據(jù)的統(tǒng)計（如分相對儲層參數(shù)計算平均值、方差，作直方圖、相關散點圖等）、

叢聚數(shù)據(jù)的解串等。3.區(qū)域化變量的結構分析通過區(qū)域化變量的空間觀測值來構建相應的變差函數(shù)149(2)實驗變差函數(shù)的計算

實驗變差函數(shù)是指應用觀測值計算的變差函數(shù)。對于不同的滯后距h，可算出相應的實驗變差函數(shù)。=一維實驗變差函數(shù)的計算公式(i=1,…,N(h))[Z(xi)-Z(xi+h)]2的算術平均值一半即為一個h的變差函數(shù)值(2)實驗變差函數(shù)的計算=一維實驗變差函數(shù)的計算公式(i=1150對不同的滯后h，進行計算，得出各個h的變差函數(shù)值=h3h5hh對不同的滯后h，進行計算，得出各個h的變差函數(shù)值=h3h5151設Z(x)為一維區(qū)域化變量，滿足本征假設，又已知Z(1)=2，Z(2)=4，Z(3)=3，Z(4)=1，Z(5)=5，Z(6)=3，Z(7)=6，Z(8)=4，，，

例：試求：=設Z(x)為一維區(qū)域化變量，滿足本征假設，又已知Z(1)=2152===[22+12+22+42+22+32+22]==3.00[12+32+22+22+12+12]==1.67[12+12+02+52+12]==2.80===[22+12+22+42+22+32+22]==1532D情況（1）分不同方向，進行1D變差函數(shù)計算3D情況：

增加垂向方向（2）確定主變程方向次變程方向角度容限步長容限h3h5hh四方向試算（考慮主變程方向的走向、傾向和傾角）2D情況（1）分不同方向，進行1D變差函數(shù)計算3D情況：（2154(3)理論變差函數(shù)的最優(yōu)擬合與結構套合

選擇合適的理論變差函數(shù)模型，同時還需進行結構套合，從而得到一條反映不同層次（或不同空間規(guī)模）結構的、統(tǒng)一的、最優(yōu)的變差函數(shù)曲線。球狀模型指數(shù)模型高斯模型冪函數(shù)模型空洞效應模型(3)理論變差函數(shù)的最優(yōu)擬合與結構套合球狀模型155復雜的區(qū)域化變量往往包含各種尺度上的多層次、多方向的變化性，反映在變差函數(shù)上即為多層次結構。將不同結構組合為統(tǒng)一結構的過程稱為“結構套合”結構套合各層次套合例如，對于200米寬的河道，在h＝50m的觀測尺度上可以將其與河道間的變化性區(qū)分出來，但卻無法區(qū)分層理和礦物成分的變化性(即無法找出更細微的結構來)，它們在50m尺度得到的結構上只能作為“塊金效應”出現(xiàn)。若觀測尺度為500米，河道的變化也只能作為“塊金效應”。121113333大尺度的變化性總是包含著小尺度的變化性，但卻不能從大尺度的變化性中區(qū)分出小尺度的變化性。復雜的區(qū)域化變量往往包含各種尺度上的多層次、多156===代表微觀變化性的變程極小的球狀模型，可近似地看作純塊金效應型球狀模型，沒有塊金常數(shù)，基臺值為C1，變程為a1，反映了小規(guī)模范圍的變化球狀模型，沒有塊金常數(shù)，基臺值為C2，變程較大，為a2，反映了大規(guī)模范圍的變化可以用反映各種不同尺度變化性的多個變差函數(shù)之和來表示一個套合結構。（各層次理論模型可以不一樣）可以是不同模型的變差函數(shù)===代表微觀變化性的變程極小的球狀模型，可近似地看作純塊金157其中則套合結構的表達式為====其中則套合結構的表達式為====158①對于幾何各向異性，先根據(jù)異向比壓縮距離軸，使之成為各向同性的模型；②對于帶狀各向異性，運用模型疊加的方法加以處理。先用壓縮距離軸的辦法，使其變程變?yōu)橄嗤?，然后再把具有相同變程的兩個球