熱力學(xué)-統(tǒng)計(jì)物理第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布課件

統(tǒng)計(jì)物理熱現(xiàn)象的微觀統(tǒng)計(jì)理論統(tǒng)計(jì)物理熱現(xiàn)象的微觀統(tǒng)計(jì)理論1基本觀點(diǎn):①宏觀物體是由大量微觀粒子組成的。②物質(zhì)的宏觀熱性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體體現(xiàn)，宏觀物理量是相應(yīng)微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。統(tǒng)計(jì)物理的基本觀點(diǎn)和方法方法:深入到微觀，從單個(gè)粒子的力學(xué)規(guī)律以及粒子間的相互作用出發(fā)，對(duì)大量粒子組成的體系運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法?；居^點(diǎn):統(tǒng)計(jì)物理的基本觀點(diǎn)和方法方法:2建立統(tǒng)計(jì)物理要解決以下三個(gè)問題：如何求出熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式（七、八兩章）。如何求出概率分布——這是核心（第六章后5節(jié)）。研究對(duì)象的描述——引入何種假設(shè)、模型，如何描述研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(力學(xué)、幾何)（第六章前3節(jié)）。建立統(tǒng)計(jì)物理要解決以下三個(gè)問題：如何求出熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式3主要內(nèi)容系統(tǒng)微觀狀態(tài)的經(jīng)典描述和量子描述等概率原理及微觀狀態(tài)分布玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)玻色統(tǒng)計(jì)與費(fèi)米統(tǒng)計(jì)主要內(nèi)容系統(tǒng)微觀狀態(tài)的經(jīng)典描述和量子描述4第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布粒子間有相互作用，但可忽略不計(jì)第六章粒子間有相互作用，但可忽略不計(jì)5系統(tǒng)微觀狀態(tài)的經(jīng)典描述和量子描述等概率原理三種微觀狀態(tài)分布（波耳茲曼分布、波色分布、費(fèi)米分布）及相互關(guān)系主要內(nèi)容系統(tǒng)微觀狀態(tài)的經(jīng)典描述和量子描述主要內(nèi)容6§6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述一、廣義動(dòng)量和廣義坐標(biāo)具有r個(gè)自由度的粒子具有廣義坐標(biāo)：廣義動(dòng)量：能量：粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的一組確定值粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)指粒子力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)粒子遵守經(jīng)典力學(xué)規(guī)粒子遵守量子力學(xué)規(guī)經(jīng)典描述量子描述§6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述一、廣義動(dòng)量和廣義坐標(biāo)具7兩個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：兩組廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量中至少一個(gè)元不同。如與的第i個(gè)廣義坐標(biāo)不同，故表示兩個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。μ空間（粒子相空間）：共2r個(gè)變量，構(gòu)成一個(gè)2r維的抽象空間，成為μ空間（相空間）。粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用μ空間中的一個(gè)“點(diǎn)”進(jìn)行描述。相點(diǎn)：運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相軌道：運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化相體積：粒子狀態(tài)代表點(diǎn)在μ空間所能充斥的范圍。兩個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：兩組廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量中與的第i個(gè)廣81、自由粒子三維空間中，如果是直角坐標(biāo)，三個(gè)坐標(biāo)三個(gè)動(dòng)量能量運(yùn)動(dòng)狀態(tài)粒子相空間：6維，3維坐標(biāo)空間，3維動(dòng)量空間。二、常見粒子微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述實(shí)例1、自由粒子三維空間中，如果是直角坐標(biāo)，三個(gè)坐標(biāo)三個(gè)動(dòng)量能量9如在一維空間自由粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在邊長(zhǎng)L的線段上。

隨時(shí)間推移，代表點(diǎn)劃出軌跡。代表點(diǎn)另一個(gè)代表點(diǎn)。等能面（線）：相空間中具有相同能量的代表點(diǎn)連成的面（線）。：表明軌跡劃出來的直線。如在一維空間自由粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在邊長(zhǎng)L的線段上。隨時(shí)間推102、一維線性諧振子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)二維的相空間等能線：的橢圓。橢圓面積半長(zhǎng)軸半短軸兩個(gè)橢圓面積差2、一維線性諧振子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)二維的相空間等能線：的橢圓。橢圓面11引入與θ，φ共軛的廣義動(dòng)量四維粒子相空間中質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)：（x,y,z）動(dòng)能：如果用球極坐標(biāo)r，θ，φ描述質(zhì)點(diǎn)位置：動(dòng)能：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3、轉(zhuǎn)子（雙原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)）引入與θ，φ共軛的廣義動(dòng)量四維粒子相空間中質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)：（x,12“量子”概念量子：在微觀領(lǐng)域中，某些物理量的變化是以最小的單位跳躍式進(jìn)行的，而不是連續(xù)的。一個(gè)物理量如果有最小的單元而不可連續(xù)的分割，我們就說這個(gè)物理量是量子化的，并把最小的單元稱為量子。量子一詞來自拉丁語，原意為“多少”，代表“相當(dāng)數(shù)量的某事”，是一個(gè)不可分割的基本個(gè)體。例如，一個(gè)“光的量子”是光的單位。其基本概念是物質(zhì)性質(zhì)也許是“可量子化的”?！傲孔踊敝钙湮锢砹康臄?shù)值會(huì)是一些特定的數(shù)值，而不是任意值。例如，一定狀態(tài)下的原子中，電子的能量是可量子化的。這能決定原子的穩(wěn)定和一般問題?！傲孔印备拍盍孔樱涸谖⒂^領(lǐng)域中，某些物理量的變化是以最小的單13§6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述一、波粒二象性微觀粒子既具有粒子性質(zhì)，又具有波動(dòng)性質(zhì)。德布羅意關(guān)系：聯(lián)系粒子的波動(dòng)性與粒子性。不確定關(guān)系：不可能同時(shí)精確測(cè)量粒子的位置和動(dòng)量。二、量子態(tài)不確定關(guān)系使粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述是不精確的。德布羅意波?與h為普朗克常量，量子物理的基本常量。§6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述一、波粒二象性微觀粒子既具14在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)表征，每組量子數(shù)的數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)目。三、舉例1、自旋狀態(tài)粒子質(zhì)量m，電荷–e，自旋角動(dòng)量。（量子化的）自旋磁矩：兩個(gè)量子態(tài)，一個(gè)量子數(shù)量子態(tài)中粒子的占據(jù)幾率用波函數(shù)描述。表示t時(shí)刻x,y,z處在dxdydz內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)152、線性諧振子一個(gè)量子數(shù)n。3、自由粒子一維情況，粒子在長(zhǎng)L的區(qū)間。視粒子為波。它在區(qū)間L內(nèi)應(yīng)形成駐波。波長(zhǎng)波矢一個(gè)量子數(shù)2、線性諧振子一個(gè)量子數(shù)n。3、自由粒子一維情況，粒子在長(zhǎng)16三維情況能級(jí)三維情況能級(jí)17簡(jiǎn)并度一個(gè)能級(jí)對(duì)應(yīng)的不同的量子態(tài)的數(shù)目。能級(jí)的簡(jiǎn)并度六簡(jiǎn)并度十二簡(jiǎn)并度一個(gè)能級(jí)對(duì)應(yīng)的不同的量子態(tài)的數(shù)目。能級(jí)的簡(jiǎn)并度六簡(jiǎn)并度18相鄰動(dòng)量的差是很小的量在恒定大小的容積中，粒子相鄰動(dòng)量差可以看作零，可以認(rèn)為能量動(dòng)量連續(xù)變化(準(zhǔn)連續(xù)）。在動(dòng)量間隔中的量子態(tài)數(shù)為同理，，和中的量子態(tài)數(shù)為相鄰動(dòng)量的差是很小的量在恒定大小的容積中，粒子19理解：由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，對(duì)一維粒子，最精確。若用q.p描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即代表點(diǎn)的位置時(shí)，則μ空間內(nèi)h大小的相體積內(nèi)只能有一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。否則違反測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，對(duì)于三維自由粒子，h3大小的相格內(nèi)只能有一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；對(duì)于有r個(gè)自由度的粒子，hr相體積內(nèi)只能有一個(gè)狀態(tài)。所以在相體積之dw內(nèi)的量了態(tài)數(shù)為理解：20，中的量子態(tài)數(shù)，與動(dòng)量的方向無關(guān)，積分之，中量子態(tài)數(shù)球極坐標(biāo)系變換態(tài)密度，中的量子態(tài)數(shù)，與動(dòng)量的方向無關(guān)，積分之，21粒子相空間（μ空間）粒子經(jīng)典運(yùn)動(dòng)狀態(tài)“代表點(diǎn)”在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為量子態(tài)。粒子量子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量子態(tài)由一組量子數(shù)表征。簡(jiǎn)并度一個(gè)能級(jí)對(duì)應(yīng)的不同的量子態(tài)的數(shù)目。，中量子態(tài)數(shù)粒子相空間（μ空間）粒子經(jīng)典運(yùn)動(dòng)狀態(tài)“代表點(diǎn)”在量子力學(xué)中，22量子描述與經(jīng)典描述之間的關(guān)系對(duì)于宏觀大小的容積，?是很小的量，量子描述趨近于經(jīng)典描述。由于不確定關(guān)系，。即在體積元h

內(nèi)的各運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，它們的差別都在測(cè)量誤差之內(nèi)，即被認(rèn)為是相同的！以一維自由粒子為例，其相空間的體積元為。量子描述與經(jīng)典描述之間的關(guān)系對(duì)于宏觀大小的容積，?是很小的23即，一個(gè)量子態(tài)對(duì)應(yīng)粒子相空間一個(gè)

h

大小的體積元。則相空間體積中量子態(tài)數(shù)為三維自由粒子一個(gè)量子態(tài)對(duì)應(yīng)粒子相空間體積元。即，一個(gè)量子態(tài)對(duì)應(yīng)粒子相空間一個(gè)h大小的體積元。則相空間24§6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述一、全同和近獨(dú)立粒子的宏觀系統(tǒng)全同粒子具有相同物理性質(zhì)（質(zhì)量、電荷，自旋等）的微觀粒子氫氣、氧氣、純水、純鐵等等。空氣、合金等不是全同粒子系統(tǒng)。近獨(dú)立粒子粒子之間的相互作用可以忽略不計(jì)。（有微弱相互作用，以保證系統(tǒng)可從非平衡態(tài)到達(dá)平衡態(tài)。系統(tǒng)粒子數(shù)能量§6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述一、全同和近獨(dú)立粒子的宏25這些粒子有不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（相空間不同的體積元）。其中處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的粒子有個(gè)，則系統(tǒng)能量又為又是個(gè)概率。找到微觀粒子系統(tǒng)對(duì)能量分布的概率，就可以求出系統(tǒng)的能量。目的：求出系統(tǒng)在熱平衡狀態(tài)的概率分布。這些粒子有不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（相空間不同的體積元）。又是個(gè)26二、可分辨和不可分辨粒子系統(tǒng)微觀粒子全同性原理(量子理論)：微觀粒子（位置可以在大范圍變化——非定域系）是不可分辨的。經(jīng)典系統(tǒng)：粒子可分辨量子系統(tǒng)：粒子不可分辨tt1t2xtt1t2波粒二相性x重疊定域的量子系統(tǒng)（定域系）粒子可分辨(如粒子有固定的平衡位置，如固體的原子)。二、可分辨和不可分辨粒子系統(tǒng)微觀粒子全同性原理(量子理論)：27三、經(jīng)典微觀系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)粒子可分辨。系統(tǒng)的微觀狀態(tài)確定,每個(gè)粒子的微觀狀態(tài)確定。第i個(gè)粒子的微觀狀態(tài)Nr個(gè)廣義坐標(biāo)和Nr

個(gè)廣義動(dòng)量都確定。不同的系統(tǒng)微觀狀態(tài)——其中任意一個(gè)的數(shù)值改變。幾何表示：μ空間N個(gè)代表點(diǎn)。任意一個(gè)代表點(diǎn)的位置發(fā)生變化——不同的系統(tǒng)微觀狀態(tài)。經(jīng)典統(tǒng)計(jì)（與玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)具有類似的形式）。三、經(jīng)典微觀系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)粒子可分辨。系統(tǒng)的微觀狀態(tài)確定,每28四、量子系統(tǒng)的微觀狀態(tài)非定域系粒子不可區(qū)分，確定幾個(gè)粒子在哪個(gè)量子態(tài)，不確定哪幾個(gè)粒子在這個(gè)量子態(tài)。泡利不相容原理：自旋整半數(shù)的粒子，在一個(gè)量子態(tài)不可能有一個(gè)以上的粒子。自旋整數(shù)的粒子，不受泡令原理限制－玻色統(tǒng)計(jì)、玻色粒子。自旋整半數(shù)粒子－費(fèi)米統(tǒng)計(jì)、費(fèi)米粒子。光子(自旋1)、聲子(自旋1

)、等電子、質(zhì)子、夸克等（自旋1/2）定域系粒子可區(qū)分—玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)四、量子系統(tǒng)的微觀狀態(tài)非定域系粒子不可區(qū)分，確定幾個(gè)粒子在29五、例兩個(gè)粒子、三個(gè)量子態(tài)玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)ABABABABABABBABABA態(tài)1態(tài)2態(tài)3AAAAAAAAAAAA態(tài)1態(tài)2態(tài)3玻色統(tǒng)計(jì)態(tài)1態(tài)2態(tài)3費(fèi)米統(tǒng)計(jì)AAAAAA五、例兩個(gè)粒子、三個(gè)量子態(tài)玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)ABABABABABA30在系統(tǒng)可能出現(xiàn)的各種宏觀狀態(tài)中，只有一個(gè)是平衡態(tài)。如何從各種狀態(tài)中將平衡態(tài)找出來？必須確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。系統(tǒng)的宏觀熱力學(xué)狀態(tài)由參量確定。不同的宏觀狀態(tài)對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)目不一樣?！獜奈⒂^狀態(tài)出發(fā)研究不同的宏觀狀態(tài)的特征，以區(qū)分它們，并確定何為平衡態(tài)?！?.4等概率原理在系統(tǒng)可能出現(xiàn)的各種宏觀狀態(tài)中，只有一個(gè)是平衡態(tài)。如何從各種31統(tǒng)計(jì)假定，其正確性由其推論的正確與否決定。等概率原理：系統(tǒng)每一個(gè)微觀狀態(tài)以相同的概率出現(xiàn)。導(dǎo)致物理結(jié)果：同樣條件，宏觀態(tài)1，微觀狀態(tài)數(shù)n1宏觀態(tài)2，微觀狀態(tài)數(shù)n2宏觀態(tài)1出現(xiàn)幾率大。于是：“宏觀態(tài)1是平衡態(tài)”？！必須計(jì)算每個(gè)宏觀態(tài)的微觀態(tài)數(shù)。統(tǒng)計(jì)假定，其正確性由其推論的正確與否決定。等概率原理：系統(tǒng)每32一、分布的定義能級(jí)簡(jiǎn)并度粒子數(shù)確定的宏觀狀態(tài)表示一個(gè)分布，滿足系統(tǒng)的一個(gè)分布就是N個(gè)粒子按能級(jí)的一套填布數(shù)§6.5分布和微觀狀態(tài)一、分布的定義能級(jí)簡(jiǎn)并度粒子數(shù)確定的宏觀狀態(tài)表示一個(gè)分布，滿33注意：一個(gè)微觀狀態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的分布，而一個(gè)分布卻可以包含大量不同的微觀狀態(tài)。二、分布對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)微觀狀態(tài):分布只管能級(jí)εL上的粒子數(shù)aL，當(dāng)分布{aL}一定時(shí)：①對(duì)玻耳茲曼系，微觀狀態(tài)要確定出是哪些粒子在這些能級(jí)中，在什么量子態(tài)上。②對(duì)非定域系，微觀狀態(tài)要確定出aL個(gè)粒子對(duì)ωL個(gè)量子態(tài)的占據(jù)方式。注意：一個(gè)微觀狀態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的分布，而一個(gè)分布卻可以包含大341、玻耳茲曼系統(tǒng)粒子可以編號(hào)。{aL}確定，移動(dòng)和交換粒子可能改變系統(tǒng)的微觀狀態(tài)；例如A.個(gè)粒子在個(gè)量子態(tài)中不同放置導(dǎo)致不同微觀狀態(tài)。1、玻耳茲曼系統(tǒng)粒子可以編號(hào)。{aL}確定，移動(dòng)和交換粒子35B.不同的能級(jí)之間的粒子交換導(dǎo)致新的微觀狀態(tài)。N個(gè)粒子的總交換數(shù)N!改變微觀狀態(tài)的粒子交換的有效次數(shù)：個(gè)粒子在個(gè)量子態(tài)中放置的不同方式的數(shù)目所以分布對(duì)應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)同能級(jí)內(nèi)粒子交換總數(shù)。B.不同的能級(jí)之間的粒子交換導(dǎo)致新的微觀狀態(tài)。N個(gè)粒子的總362、玻色系統(tǒng)粒子不可區(qū)分，每量子態(tài)的粒子數(shù)不限。不動(dòng)量子態(tài)與粒子交換導(dǎo)致不同微觀狀態(tài).不動(dòng)量子態(tài)與粒子交換總數(shù)量子態(tài)交換數(shù)粒子交換數(shù)2、玻色系統(tǒng)粒子不可區(qū)分，每量子態(tài)的粒子數(shù)不限。不動(dòng)量子態(tài)373、費(fèi)米系統(tǒng)個(gè)量子態(tài)中選個(gè)，每個(gè)置一個(gè)粒子的方法。3、費(fèi)米系統(tǒng)個(gè)量子態(tài)中選個(gè)，每個(gè)置一個(gè)粒子的方法。384、經(jīng)典系統(tǒng)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)并度：4、經(jīng)典系統(tǒng)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)并度：39三、非簡(jiǎn)并性條件三、非簡(jiǎn)并性條件40熱力學(xué)-統(tǒng)計(jì)物理第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布課件41§6.6玻耳茲曼分布分布確定一個(gè)宏觀狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)也給出。根據(jù)等概率原理假定，所有微觀態(tài)出現(xiàn)概率相同，則具有較多微觀狀態(tài)的分布，其出現(xiàn)的概率較大。平衡態(tài)較各非平衡態(tài)出現(xiàn)的概率大，它必定是對(duì)應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)目最多的分布。從微觀狀態(tài)數(shù)目的最大值，確定平衡態(tài)對(duì)應(yīng)的分布。－最可幾分布一、最可幾分布§6.6玻耳茲曼分布分布確定一個(gè)宏觀狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)42二、麥克斯韋-玻耳茲曼分布這個(gè)極值受的約束。由拉格朗日條件極值公式，極值由如下公式確定：各個(gè)不相互獨(dú)立。此時(shí)，各可以看作相互獨(dú)立的。為了研究方便，計(jì)算如下等效的極值α、β待定。這個(gè)條件為：二、麥克斯韋-玻耳茲曼分布這個(gè)極值受43由斯特令公式：（對(duì)于大A）。麥克斯韋-玻耳茲曼分布由斯特令公式：（對(duì)于大A）。麥克斯韋-玻耳茲曼分布44由已知的N、E確定α和β。每個(gè)量子態(tài)平均粒子數(shù)由已知的N、E確定α和β。每個(gè)量子態(tài)平均粒子數(shù)45§6.7

玻色分布與費(fèi)米分布§6.7玻色分布與費(fèi)米分布46玻色分布費(fèi)米分布玻色分布費(fèi)米分布47§6.8三種分布的關(guān)系玻色分布和費(fèi)米分布趨向于玻耳茲曼分布?！?.8三種分布的關(guān)系玻色分布和費(fèi)米分布趨向于玻48統(tǒng)計(jì)物理熱現(xiàn)象的微觀統(tǒng)計(jì)理論統(tǒng)計(jì)物理熱現(xiàn)象的微觀統(tǒng)計(jì)理論49基本觀點(diǎn):①宏觀物體是由大量微觀粒子組成的。②物質(zhì)的宏觀熱性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體體現(xiàn)，宏觀物理量是相應(yīng)微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。統(tǒng)計(jì)物理的基本觀點(diǎn)和方法方法:深入到微觀，從單個(gè)粒子的力學(xué)規(guī)律以及粒子間的相互作用出發(fā)，對(duì)大量粒子組成的體系運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法?；居^點(diǎn):統(tǒng)計(jì)物理的基本觀點(diǎn)和方法方法:50建立統(tǒng)計(jì)物理要解決以下三個(gè)問題：如何求出熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式（七、八兩章）。如何求出概率分布——這是核心（第六章后5節(jié)）。研究對(duì)象的描述——引入何種假設(shè)、模型，如何描述研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(力學(xué)、幾何)（第六章前3節(jié)）。建立統(tǒng)計(jì)物理要解決以下三個(gè)問題：如何求出熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式51主要內(nèi)容系統(tǒng)微觀狀態(tài)的經(jīng)典描述和量子描述等概率原理及微觀狀態(tài)分布玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)玻色統(tǒng)計(jì)與費(fèi)米統(tǒng)計(jì)主要內(nèi)容系統(tǒng)微觀狀態(tài)的經(jīng)典描述和量子描述52第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布粒子間有相互作用，但可忽略不計(jì)第六章粒子間有相互作用，但可忽略不計(jì)53系統(tǒng)微觀狀態(tài)的經(jīng)典描述和量子描述等概率原理三種微觀狀態(tài)分布（波耳茲曼分布、波色分布、費(fèi)米分布）及相互關(guān)系主要內(nèi)容系統(tǒng)微觀狀態(tài)的經(jīng)典描述和量子描述主要內(nèi)容54§6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述一、廣義動(dòng)量和廣義坐標(biāo)具有r個(gè)自由度的粒子具有廣義坐標(biāo)：廣義動(dòng)量：能量：粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的一組確定值粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)指粒子力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)粒子遵守經(jīng)典力學(xué)規(guī)粒子遵守量子力學(xué)規(guī)經(jīng)典描述量子描述§6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述一、廣義動(dòng)量和廣義坐標(biāo)具55兩個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：兩組廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量中至少一個(gè)元不同。如與的第i個(gè)廣義坐標(biāo)不同，故表示兩個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。μ空間（粒子相空間）：共2r個(gè)變量，構(gòu)成一個(gè)2r維的抽象空間，成為μ空間（相空間）。粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用μ空間中的一個(gè)“點(diǎn)”進(jìn)行描述。相點(diǎn)：運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相軌道：運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化相體積：粒子狀態(tài)代表點(diǎn)在μ空間所能充斥的范圍。兩個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：兩組廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量中與的第i個(gè)廣561、自由粒子三維空間中，如果是直角坐標(biāo)，三個(gè)坐標(biāo)三個(gè)動(dòng)量能量運(yùn)動(dòng)狀態(tài)粒子相空間：6維，3維坐標(biāo)空間，3維動(dòng)量空間。二、常見粒子微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述實(shí)例1、自由粒子三維空間中，如果是直角坐標(biāo)，三個(gè)坐標(biāo)三個(gè)動(dòng)量能量57如在一維空間自由粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在邊長(zhǎng)L的線段上。

隨時(shí)間推移，代表點(diǎn)劃出軌跡。代表點(diǎn)另一個(gè)代表點(diǎn)。等能面（線）：相空間中具有相同能量的代表點(diǎn)連成的面（線）。：表明軌跡劃出來的直線。如在一維空間自由粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在邊長(zhǎng)L的線段上。隨時(shí)間推582、一維線性諧振子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)二維的相空間等能線：的橢圓。橢圓面積半長(zhǎng)軸半短軸兩個(gè)橢圓面積差2、一維線性諧振子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)二維的相空間等能線：的橢圓。橢圓面59引入與θ，φ共軛的廣義動(dòng)量四維粒子相空間中質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)：（x,y,z）動(dòng)能：如果用球極坐標(biāo)r，θ，φ描述質(zhì)點(diǎn)位置：動(dòng)能：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3、轉(zhuǎn)子（雙原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)）引入與θ，φ共軛的廣義動(dòng)量四維粒子相空間中質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)：（x,60“量子”概念量子：在微觀領(lǐng)域中，某些物理量的變化是以最小的單位跳躍式進(jìn)行的，而不是連續(xù)的。一個(gè)物理量如果有最小的單元而不可連續(xù)的分割，我們就說這個(gè)物理量是量子化的，并把最小的單元稱為量子。量子一詞來自拉丁語，原意為“多少”，代表“相當(dāng)數(shù)量的某事”，是一個(gè)不可分割的基本個(gè)體。例如，一個(gè)“光的量子”是光的單位。其基本概念是物質(zhì)性質(zhì)也許是“可量子化的”。“量子化”指其物理量的數(shù)值會(huì)是一些特定的數(shù)值，而不是任意值。例如，一定狀態(tài)下的原子中，電子的能量是可量子化的。這能決定原子的穩(wěn)定和一般問題?！傲孔印备拍盍孔樱涸谖⒂^領(lǐng)域中，某些物理量的變化是以最小的單61§6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述一、波粒二象性微觀粒子既具有粒子性質(zhì)，又具有波動(dòng)性質(zhì)。德布羅意關(guān)系：聯(lián)系粒子的波動(dòng)性與粒子性。不確定關(guān)系：不可能同時(shí)精確測(cè)量粒子的位置和動(dòng)量。二、量子態(tài)不確定關(guān)系使粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述是不精確的。德布羅意波?與h為普朗克常量，量子物理的基本常量?！?.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述一、波粒二象性微觀粒子既具62在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)表征，每組量子數(shù)的數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)目。三、舉例1、自旋狀態(tài)粒子質(zhì)量m，電荷–e，自旋角動(dòng)量。（量子化的）自旋磁矩：兩個(gè)量子態(tài)，一個(gè)量子數(shù)量子態(tài)中粒子的占據(jù)幾率用波函數(shù)描述。表示t時(shí)刻x,y,z處在dxdydz內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)632、線性諧振子一個(gè)量子數(shù)n。3、自由粒子一維情況，粒子在長(zhǎng)L的區(qū)間。視粒子為波。它在區(qū)間L內(nèi)應(yīng)形成駐波。波長(zhǎng)波矢一個(gè)量子數(shù)2、線性諧振子一個(gè)量子數(shù)n。3、自由粒子一維情況，粒子在長(zhǎng)64三維情況能級(jí)三維情況能級(jí)65簡(jiǎn)并度一個(gè)能級(jí)對(duì)應(yīng)的不同的量子態(tài)的數(shù)目。能級(jí)的簡(jiǎn)并度六簡(jiǎn)并度十二簡(jiǎn)并度一個(gè)能級(jí)對(duì)應(yīng)的不同的量子態(tài)的數(shù)目。能級(jí)的簡(jiǎn)并度六簡(jiǎn)并度66相鄰動(dòng)量的差是很小的量在恒定大小的容積中，粒子相鄰動(dòng)量差可以看作零，可以認(rèn)為能量動(dòng)量連續(xù)變化(準(zhǔn)連續(xù)）。在動(dòng)量間隔中的量子態(tài)數(shù)為同理，，和中的量子態(tài)數(shù)為相鄰動(dòng)量的差是很小的量在恒定大小的容積中，粒子67理解：由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，對(duì)一維粒子，最精確。若用q.p描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即代表點(diǎn)的位置時(shí)，則μ空間內(nèi)h大小的相體積內(nèi)只能有一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。否則違反測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，對(duì)于三維自由粒子，h3大小的相格內(nèi)只能有一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；對(duì)于有r個(gè)自由度的粒子，hr相體積內(nèi)只能有一個(gè)狀態(tài)。所以在相體積之dw內(nèi)的量了態(tài)數(shù)為理解：68，中的量子態(tài)數(shù)，與動(dòng)量的方向無關(guān)，積分之，中量子態(tài)數(shù)球極坐標(biāo)系變換態(tài)密度，中的量子態(tài)數(shù)，與動(dòng)量的方向無關(guān)，積分之，69粒子相空間（μ空間）粒子經(jīng)典運(yùn)動(dòng)狀態(tài)“代表點(diǎn)”在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為量子態(tài)。粒子量子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量子態(tài)由一組量子數(shù)表征。簡(jiǎn)并度一個(gè)能級(jí)對(duì)應(yīng)的不同的量子態(tài)的數(shù)目。，中量子態(tài)數(shù)粒子相空間（μ空間）粒子經(jīng)典運(yùn)動(dòng)狀態(tài)“代表點(diǎn)”在量子力學(xué)中，70量子描述與經(jīng)典描述之間的關(guān)系對(duì)于宏觀大小的容積，?是很小的量，量子描述趨近于經(jīng)典描述。由于不確定關(guān)系，。即在體積元h

內(nèi)的各運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，它們的差別都在測(cè)量誤差之內(nèi)，即被認(rèn)為是相同的！以一維自由粒子為例，其相空間的體積元為。量子描述與經(jīng)典描述之間的關(guān)系對(duì)于宏觀大小的容積，?是很小的71即，一個(gè)量子態(tài)對(duì)應(yīng)粒子相空間一個(gè)

h

大小的體積元。則相空間體積中量子態(tài)數(shù)為三維自由粒子一個(gè)量子態(tài)對(duì)應(yīng)粒子相空間體積元。即，一個(gè)量子態(tài)對(duì)應(yīng)粒子相空間一個(gè)h大小的體積元。則相空間72§6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述一、全同和近獨(dú)立粒子的宏觀系統(tǒng)全同粒子具有相同物理性質(zhì)（質(zhì)量、電荷，自旋等）的微觀粒子氫氣、氧氣、純水、純鐵等等?？諝狻⒑辖鸬炔皇侨Ｗ酉到y(tǒng)。近獨(dú)立粒子粒子之間的相互作用可以忽略不計(jì)。（有微弱相互作用，以保證系統(tǒng)可從非平衡態(tài)到達(dá)平衡態(tài)。系統(tǒng)粒子數(shù)能量§6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述一、全同和近獨(dú)立粒子的宏73這些粒子有不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（相空間不同的體積元）。其中處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的粒子有個(gè)，則系統(tǒng)能量又為又是個(gè)概率。找到微觀粒子系統(tǒng)對(duì)能量分布的概率，就可以求出系統(tǒng)的能量。目的：求出系統(tǒng)在熱平衡狀態(tài)的概率分布。這些粒子有不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（相空間不同的體積元）。又是個(gè)74二、可分辨和不可分辨粒子系統(tǒng)微觀粒子全同性原理(量子理論)：微觀粒子（位置可以在大范圍變化——非定域系）是不可分辨的。經(jīng)典系統(tǒng)：粒子可分辨量子系統(tǒng)：粒子不可分辨tt1t2xtt1t2波粒二相性x重疊定域的量子系統(tǒng)（定域系）粒子可分辨(如粒子有固定的平衡位置，如固體的原子)。二、可分辨和不可分辨粒子系統(tǒng)微觀粒子全同性原理(量子理論)：75三、經(jīng)典微觀系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)粒子可分辨。系統(tǒng)的微觀狀態(tài)確定,每個(gè)粒子的微觀狀態(tài)確定。第i個(gè)粒子的微觀狀態(tài)Nr個(gè)廣義坐標(biāo)和Nr

個(gè)廣義動(dòng)量都確定。不同的系統(tǒng)微觀狀態(tài)——其中任意一個(gè)的數(shù)值改變。幾何表示：μ空間N個(gè)代表點(diǎn)。任意一個(gè)代表點(diǎn)的位置發(fā)生變化——不同的系統(tǒng)微觀狀態(tài)。經(jīng)典統(tǒng)計(jì)（與玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)具有類似的形式）。三、經(jīng)典微觀系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)粒子可分辨。系統(tǒng)的微觀狀態(tài)確定,每76四、量子系統(tǒng)的微觀狀態(tài)非定域系粒子不可區(qū)分，確定幾個(gè)粒子在哪個(gè)量子態(tài)，不確定哪幾個(gè)粒子在這個(gè)量子態(tài)。泡利不相容原理：自旋整半數(shù)的粒子，在一個(gè)量子態(tài)不可能有一個(gè)以上的粒子。自旋整數(shù)的粒子，不受泡令原理限制－玻色統(tǒng)計(jì)、玻色粒子。自旋整半數(shù)粒子－費(fèi)米統(tǒng)計(jì)、費(fèi)米粒子。光子(自旋1)、聲子(自旋1

)、等電子、質(zhì)子、夸克等（自旋1/2）定域系粒子可區(qū)分—玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)四、量子系統(tǒng)的微觀狀態(tài)非定域系粒子不可區(qū)分，確定幾個(gè)粒子在77五、例兩個(gè)粒子、三個(gè)量子態(tài)玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)ABABABABABABBABABA態(tài)1態(tài)2態(tài)3AAAAAAAAAAAA態(tài)1態(tài)2態(tài)3玻色統(tǒng)計(jì)態(tài)1態(tài)2態(tài)3費(fèi)米統(tǒng)計(jì)AAAAAA五、例兩個(gè)粒子、三個(gè)量子態(tài)玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)ABABABABABA78在系統(tǒng)可能出現(xiàn)的各種宏觀狀態(tài)中，只有一個(gè)是平衡態(tài)。如何從各種狀態(tài)中將平衡態(tài)找出來？必須確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。系統(tǒng)的宏觀熱力學(xué)狀態(tài)由參量確定。不同的宏觀狀態(tài)對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)目不一樣?！獜奈⒂^狀態(tài)出發(fā)研究不同的宏觀狀態(tài)的特征，以區(qū)分它們，并確定何為平衡態(tài)?！?.4等概率原理在系統(tǒng)可能出現(xiàn)的各種宏觀狀態(tài)中，只有一個(gè)是平衡態(tài)。如何從各種79統(tǒng)計(jì)假定，其正確性由其推論的正確與否決定。等概率原理：系統(tǒng)每一個(gè)微觀狀態(tài)以相同的概率出現(xiàn)。導(dǎo)致物理結(jié)果：同樣條件，宏觀態(tài)1，微觀狀態(tài)數(shù)n1宏觀態(tài)2，微觀狀態(tài)數(shù)n2宏觀態(tài)1出現(xiàn)幾率大。于是：“宏觀態(tài)1是平衡態(tài)”？！必須計(jì)算每個(gè)宏觀態(tài)的微觀態(tài)數(shù)。統(tǒng)計(jì)假定，其正確性由其推論的正確與否決定。等概率原理：系統(tǒng)每80一、分布的定義能級(jí)簡(jiǎn)并度粒子數(shù)確定的宏觀狀態(tài)表示一個(gè)分布，滿足系統(tǒng)的一個(gè)分布就是N個(gè)粒子按能級(jí)的一套填布數(shù)§6.5分布和微觀狀態(tài)一、分布的定義能級(jí)簡(jiǎn)并度粒子數(shù)確定的宏觀狀態(tài)表示一個(gè)分布，滿81注意：一個(gè)微觀狀態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的分布，而一個(gè)分布卻可以包含大量不同的微觀狀態(tài)。二、分布對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)微觀狀態(tài):分布只管能級(jí)εL上的粒子數(shù)aL，當(dāng)分布{aL}一定時(shí)：①對(duì)玻耳茲曼系，微觀狀態(tài)要確定出是哪些粒子在這些能級(jí)中，在什么量子態(tài)上。②對(duì)非定域系