中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題：閱讀情境問題-新定義問題

閱讀情境問題—新定義問題【相關(guān)內(nèi)容】“新定義”問題主要是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些新概念、新運(yùn)算、新符號，要求我們讀懂題意并結(jié)合已有知識與能力理解“新定義”，然后根據(jù)“新定義”的性質(zhì)與判定進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型．“新定義”問題近年來已成為一些大型考試中的新亮點(diǎn)，這類試題能考查我們對“新定義”的理解和認(rèn)識，以及靈活運(yùn)用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學(xué)知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)來綜合解決問題．【典型例題】例1當(dāng)a、b都是實(shí)數(shù)，且滿足2a﹣b=6，就稱點(diǎn)P（a﹣1，

+1）為“完美點(diǎn)”．

（1）判斷點(diǎn)A（2，3）是否為“完美點(diǎn)”？（1）解：由a﹣1=2，+1=3，

得到

a=3，b=4．

而2a﹣b=2≠6，

所以點(diǎn)A（2，3）不是完美點(diǎn)；【典型例題】例1當(dāng)a、b都是實(shí)數(shù)，且滿足2a﹣b=6，就稱點(diǎn)P（a﹣1，

+1）為“完美點(diǎn)”．

（1）判斷點(diǎn)A（2，3）是否為“完美點(diǎn)”？

（2）“完美點(diǎn)”一定不在哪個象限？為什么？（2）解法一：由2a﹣b=6，可得b=2a﹣6，∴

+1=a﹣2．

故“完美點(diǎn)”坐標(biāo)為（a﹣1，a﹣2）．

若a﹣1>0，則a﹣2>0或a﹣2<0，即在第一或第四象限；

若a﹣1<0，即a＜1，則a﹣2<0，此時在第三象限．

所以“完美點(diǎn)”一定不在第二象限；【典型例題】例1當(dāng)a、b都是實(shí)數(shù)，且滿足2a﹣b=6，就稱點(diǎn)P（a﹣1，

+1）為“完美點(diǎn)”．

（1）判斷點(diǎn)A（2，3）是否為“完美點(diǎn)”？

（2）“完美點(diǎn)”一定不在哪個象限？為什么？（2）解法二：由2a﹣b=6，可得b=2a﹣6，∴

+1=a﹣2．

故“完美點(diǎn)”坐標(biāo)為（a﹣1，a﹣2）．

∵點(diǎn)（a﹣1，a﹣2）在一次函數(shù)

y=x﹣1的圖像上，

而直線

y=x﹣1不經(jīng)過第二象限，

所以“完美點(diǎn)”不在第二象限；

【典型例題】例1當(dāng)a、b都是實(shí)數(shù)，且滿足2a﹣b=6，就稱點(diǎn)P（a﹣1，

+1）為“完美點(diǎn)”．

（1）判斷點(diǎn)A（2，3）是否為“完美點(diǎn)”？

（2）“完美點(diǎn)”一定不在哪個象限？為什么？

（3）已知關(guān)于m、n的方程組

，當(dāng)

t為何值時？點(diǎn)B（m，n）是“完美點(diǎn)”．（3）解法一：由

，解得

．

∵點(diǎn)B（2+t，2﹣t）是完美點(diǎn)，

∴a﹣1=2+t，+1=2﹣t，解得a=3+t，b=2﹣2t．

代入2a﹣b=6中，得2(3+t)﹣(2﹣2t)=6，解得t=．【典型例題】例1當(dāng)a、b都是實(shí)數(shù)，且滿足2a﹣b=6，就稱點(diǎn)P（a﹣1，

+1）為“完美點(diǎn)”．

（1）判斷點(diǎn)A（2，3）是否為“完美點(diǎn)”？

（2）“完美點(diǎn)”一定不在哪個象限？為什么？

（3）已知關(guān)于m、n的方程組

，當(dāng)

t為何值時？點(diǎn)B（m，n）是“完美點(diǎn)”．（3）解法二：由

，解得

．

∵點(diǎn)B（2+t，2﹣t）是完美點(diǎn)，

由（2）知：“完美點(diǎn)”在直線

y=x﹣1上，

∴2﹣t=2+t﹣1，解得

t=．

故

t為

時，點(diǎn)B（m，n）是“完美點(diǎn)”．【典型例題】例2新定義：有一組對角互余的四邊形稱為對余四邊形．（1）如圖，在對余四邊形ABCD中，∠D=30°，連接AC，若∠ACD=105°，AC=AB，求∠BAD的度數(shù)；解：（1）∵四邊形ABCD是對余四邊形，∠D=30°，∴∠B=90°﹣∠D=60°．∵AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°．∵∠ACD=105°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=165°．∴∠BAD=360°﹣∠B﹣∠BCD﹣∠D=105°；【典型例題】例2新定義：有一組對角互余的四邊形稱為對余四邊形．（2）如圖，在對余四邊形ABCD中，BC=6，CD=4，連接AC，若AC=AB=5，求sin∠CAD的值；∵AC=AB=5，BC=6，∴BE=CE=3．∴AE=4．∵CF⊥AD，∴∠D+∠FCD=90°．∵四邊形ABCD是對余四邊形，∴∠B+∠D=90°，∴∠B=∠DCF．∵∠AEB=∠CFD=90°，∴△AEB∽△DFC．∴

，∴CF=．∴sin∠CAD=．解：（2）作AE⊥BC于E，作CF⊥AD于F，如圖．【典型例題】例2新定義：有一組對角互余的四邊形稱為對余四邊形．（3）如圖，在對余四邊形ABCD中，BC=4，∠A=45°．連接BD，若∠ABD+∠BDC=180°，求AB+CD的長．解：（3）延長CD至E，使DE=AB，連接BE，如圖．∵∠ABD+∠BDC=180°，∠BDE+∠BDC=180°，∴∠ABD=∠EDB．在△ABD和△EDB中，

，∴△ABD≌△EDB（SAS）．∴∠A=∠E．

∵四邊形ABCD為對余四邊形，∠A=45°，∴∠E=∠A=45°=∠C．∴EB=BC=4．在Rt△EBC中，CE=．即AB+CD=．【典型例題】例2新定義：有一組對角互余的四邊形稱為對余四邊形．（4）如圖，四邊形ABCD中，AD=BD，AD⊥BD，當(dāng)2CD2+CB2=CA2時，求證：四邊形ABCD是對余四邊形．∵AD=BD，AD⊥BD，∴∠DAB=∠DBA=45°．∵DM⊥DC，AD⊥BD，∴∠ADC=∠BDM．∵AD=DB，CD=DM，∴△ADC≌△BDM（SAS）．∴AC=BM．證明：作DM⊥DC，使得DM=DC，連接CM、BM，如圖．∵2CD2+CB2=CA2，CM2=DM2+CD2=2CD2，∴CM2+CB2=BM2．∴∠BCM=90°．∴∠DCB=45°．∴∠DAB+∠DCB=90°．∴四邊形ABCD是對余四邊形．【典型例題】例2新定義：有一組對角互余的四邊形稱為對余四邊形．（5）如圖，在對余四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=90°，若AB=BC，BD=13，AD=8，CD=6，求四邊形ABCD的面積．解：（5）將△BAD繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)到△BCE，連接DE，作BH⊥DE于H，如圖．則BE=BD=13，∠CBE=∠ABD，∠CEB=∠ADB，CE=AD=8．∵∠ABC+∠ADC=90°，∴∠DBC+∠CBE+∠BDC+∠CEB=90°．∴∠CDE+∠CED=90°，∴∠DCE=90°．在Rt△CDE中，DE=10．∵BD=BE，BH⊥DE，∴EH=DH=5．∴BH=12．∴S△BED=DE?BH=×10×12=60，S△CED=CD?CE=×6×8=24．

∴S四邊形ABCD=S△BCD+S△BCE=S△BED﹣S△CED=60﹣24=36．例3定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．【典型例題】（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E；解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，

∴∠E=∠ECD﹣∠EBC=(∠ACD﹣∠ABC)

=∠A=α；

例3定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E；（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=BD，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點(diǎn)F，連接BF并延長交CD的延長線于點(diǎn)E．求證：∠E是△ABC中∠BAC的遙望角．

證明：（2）延長BC到點(diǎn)T，如圖．∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，

∴∠FDE=∠FBC，∠DCT=∠BFD．

∵DF平分∠ADE，∴∠ADF=∠FDE．

∵∠ADF=∠ABF，∴∠ABF=∠FBC，即BE是∠ABC的平分線．

∵AD=BD，∴∠ACD=∠BFD．

∴∠ACD=∠DCT，即CE是△ABC的外角平分線．

∴∠E是△ABC中∠BAC的遙望角；

【典型例題】例3定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=BD，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點(diǎn)F，連接BF并延長交CD的延長線于點(diǎn)E．求證：∠E是△ABC中∠BAC的遙望角．

（3）如圖，在（2）的條件下，連接AE、AF，若AC是⊙O的直徑．

①求∠AED的度數(shù)；②若AB=8，CD=5，求⊙O的半徑．解：（3）①連接CF，如圖．

∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，∴∠BAC=2∠BEC．∵∠BFC=∠BAC，∴∠BFC=2∠BEC．