九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 四邊形綜合 考前強(qiáng)化提升專(zhuān)題訓(xùn)練

九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《四邊形綜合》考前強(qiáng)化提升專(zhuān)題訓(xùn)練（附答案）一．選擇題1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFB，連接EF．下列結(jié)論：①BE⊥BF；②△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；③當(dāng)BE＝CD時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度最短．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊DC上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），以AE為邊作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，連接DF．下面四個(gè)說(shuō)法中有幾個(gè)正確（）①當(dāng)DE＝1時(shí)，；②當(dāng)DE＝2時(shí)，點(diǎn)B，D，F(xiàn)共線(xiàn)；③當(dāng)三角形ADF與三角形EDF面積相等時(shí)，則DE＝；④當(dāng)AD平分∠EAF時(shí)，則DE＝．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，連接AE，AF，與對(duì)角線(xiàn)BD分別交于點(diǎn)G，H，連接EH．若∠EAF＝45°，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．BE+DF＝EF B．BG2+HD2＝GH2 C．E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn) D．AH⊥EH二．填空題4．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，△EFG是等邊三角形，F(xiàn)H⊥EG于點(diǎn)H，交GC于點(diǎn)P，交BG延長(zhǎng)線(xiàn)于K．下列結(jié)論：①∠GPK＝45°；②CP＝GP；③GC＝KF；④S△GKF＝（+）S△GCF．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．5．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，線(xiàn)段EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∠FOC＝60°，點(diǎn)G在線(xiàn)段OC上，OF＝OG．連接EG，F(xiàn)G．下列結(jié)論：①OF＝OE；②∠AEF＝75°；③；④若OF＝1，則△CFG的面積為3．其中正確的是．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）6．如圖，在正方形ABCD中，M是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，連接AM，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AN，連接MN交AD于E點(diǎn)，連接DN．則下列結(jié)論中：①ND⊥BD；②∠MAE＝∠DNE；③MN2＝2ED?AD；④當(dāng)AD＝MD時(shí)，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．7．如圖，已知正方形ABCD，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E使BE＝AB，連接CE、DE，DE與BC交于點(diǎn)N，取CE的中點(diǎn)F，連接BF，AF，AF交BC于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)O，則下列結(jié)論：①DN＝EN；②OA＝OE；③CN：MN：BM＝3：1：2；④tan∠CED＝；⑤S四邊形BEFM＝2S△CMF．其中正確的是.（只填序號(hào)）8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為△OAB內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE，BE，CE，OE，若∠BEC＝90°，給出下列四個(gè)結(jié)論：①∠OEC＝45°；②線(xiàn)段AE的最小值是﹣1；③△OBE∽△ECO；④OE+BE＝CE．其中正確的結(jié)論有．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）9．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線(xiàn)AC上（AE＜EC），連接DE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DE交BC于點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，DG交AC于H，現(xiàn)有以下結(jié)論：①DE＝EG；②AE2+HC2＝EH2；③S△DEH為定值；④CG+CD＝CE；⑤GF＝EH．以上結(jié)論正確的有（填入正確的序號(hào)即可）．10．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接AP，EF．下列結(jié)論正確的是．A．PD＝2ECB．四邊形PECF的周長(zhǎng)為8C．AP＝EF且AP⊥EFD．BD≤EF≤AB11．如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CE＝2DE，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，CF，下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②G為BC的中點(diǎn)；③CF∥AG；④，其中正確結(jié)論的序號(hào)是．12．如圖，在矩形ABCD中，AD＝，AB＝2，∠DAB的角平分線(xiàn)交邊DC于點(diǎn)E，BG⊥AE于點(diǎn)G，連接DG并延長(zhǎng)分別交BE，BC于點(diǎn)H，F(xiàn)．給出下列結(jié)論：①AD＝DE；②△BEG≌△BEC；③2GH＝BE；④CF＝2﹣1．其中正確的有．13．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，E為CD邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)C，D重合），將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，CF．以下各結(jié)論：①DE+BG＝EG；②若CF＝FG；則△GEC是等腰直角三角形；③若AG∥CF，則DE＝；④BG?DE+AF?GE＝25．正確的有（填序號(hào)）．14．如圖正方形ABCD，O是AC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，連接BE，交AC于點(diǎn)H，作CF⊥BE于點(diǎn)F，AG⊥BE于點(diǎn)G，連接OF，則下列結(jié)論中，①AG＝BF；②OF平分∠CFG；③CF﹣BF＝EF；④GF＝OF；⑤FH2+HG2＝2OH2，正確的有．（填序號(hào)）15．四邊形ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝3AD＝3，CE⊥BD于E，連AE，若tan∠DEA＝，則AB＝．三．解答題16．如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn)（不與D點(diǎn)重合），F(xiàn)是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且DE＝BF，連結(jié)AE，AF．（1）如圖1，求證：△ADE≌△ABF．（2）把△ADE沿AE所在直線(xiàn)折疊后得到△AGE，連結(jié)FG，BE．①如圖2，若CD＝3，DE＝1，求線(xiàn)段FG的長(zhǎng)．②如圖3，若E是DC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，延長(zhǎng)GB交AE于點(diǎn)Q，連結(jié)DQ．若DE＝2DC，請(qǐng)用等式表示線(xiàn)段BQ，DQ，F(xiàn)G之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．17．如圖，將正方形紙片ABCD折疊使點(diǎn)D落在射線(xiàn)BA上的點(diǎn)E，將紙片展平，折痕交AD邊于點(diǎn)F，交BC邊于點(diǎn)G，DC的對(duì)應(yīng)邊EC'所在的直線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)H，連接DE．（1）若點(diǎn)E在AB邊上，①求證：∠AED＝∠DEH．②當(dāng)時(shí)，求sin∠BHE的值．（2）若，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．18．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，把△ABE沿BE折疊得到△FBE，連接AF并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)G，過(guò)C作CH⊥AF于點(diǎn)H．（1）證明：∠BFH＝∠BCH；（2）如圖2，若點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，連接DF，CF，DH，證明：四邊形DFCH是平行四邊形；（3）點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在最大值？如果存在，請(qǐng)把它求出來(lái)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥EB交邊AD于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)AB＝BC時(shí)，求證：BE＝EF；（2）如圖2，當(dāng)AB：BC＝4：3時(shí)，連接EF，探究線(xiàn)段AB、AE、AF的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CF，若△CEF面積的最大值為6，求BC的長(zhǎng)．20．已知正方形ABCD中，點(diǎn)E是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），以AE為直角邊在直線(xiàn)BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．（1）如圖1，若BE＝DQ，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中與∠AEQ相等的兩個(gè)角；（2）如圖2，點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，圖中有幾個(gè)角始終與∠AEQ相等？請(qǐng)選擇其中的一個(gè)予以證明；（3）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，BE＝x，設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)EQ的距離為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．21．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，AF⊥DE，垂足為G，CP⊥AF于點(diǎn)P，連接BP，DP，DP與BC交于點(diǎn)M．（1）求證：AE＝BF；（2）當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠EDP的大小是否變化？若不變，請(qǐng)你求出∠EDP的度數(shù)；若變化，請(qǐng)你說(shuō)明理由；（3）若AE＝2，求MF的值．22．如圖，點(diǎn)H是正方形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，連接CH，在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)E，連接AE，使得AE＝CH，延長(zhǎng)CH交AE于點(diǎn)F，連接DF，AC．（1）求證：△ADE≌△CDH；（2）求∠DFC的度數(shù)；（3）請(qǐng)用一個(gè)等式表示線(xiàn)段CF，AF，DF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明其正確性．23．如圖（1），已知：在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，BE＝DF，AE，AF分別交BD于點(diǎn)G，H．（1）求證：△ABG≌△ADH；（2）連接FE，如圖（2），當(dāng)EF＝BG時(shí)，①求證：EF∥BG；②求的值．24．如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E、F是AD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足AE＝FD，連接BE、CF、BD，CF與BD交于點(diǎn)G，連接AG交BE于點(diǎn)H，連接DH．（1）求證：△ABE≌△DCF；（2）求線(xiàn)段DH的最小值；（3）如圖2，若E、F重合時(shí)，延長(zhǎng)AG交CD于M，EC與BM交于點(diǎn)N，求的值．25．已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）如圖1，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接CF，設(shè)∠BAE＝α，求∠BCF的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆唬?）在（1）的條件下，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G，求△AFG的面積；（3）如圖2，點(diǎn)E是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△BEC沿CE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接AF，DF，當(dāng)△ADF是等腰三角形時(shí)，求tan∠BCE的值．參考答案一．選擇題1．解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFB，∴∠ABF＝∠ACB＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，∴BE⊥BF，故①正確；∵將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFB，∴△ADC≌△ABF，∴S△ADC＝S△AFB，∴S△ADB+S△ADC＝S△ADB+S△ABF，∴△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積，故②正確；∵△AFB≌△ADC，∴BF＝DC，∠CAD＝∠BAF，∠DAF＝90°，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAE+∠DAC＝45°，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠DAC+∠BAE＝45°，即∠FAE＝∠DAE＝45°，在△FAE和△DAE中，∴△FAE≌△DAE（SAS），∴DE＝EF，在Rt△FBE中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∵BF＝DC，EF＝DE，∴BE2+DC2＝DE2，∵（BE﹣DC）2≥0，∴BE2+DC2≥2BE?DC，∴BE＝DC時(shí)，BE2+DC2有最小值，∴當(dāng)BE＝CD時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度最短，故③正確，故選：D．2．解：當(dāng)DE＝1時(shí)，則AE＝＝＝，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝AE＝，故①說(shuō)法正確；當(dāng)DE＝2時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)F作DH⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，∵△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°，∴AE＝EF，∴∠AED+∠FEH＝90°，∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠FEH，在△AED和△EFH中，，∴△AED≌△EFH（AAS），∴AD＝HE＝4，DE＝HF＝2，∴DH＝4﹣2＝2＝HF，∴∠HDF＝45°，∵∠HDF+∠ADH+∠ADB＝180°，∴點(diǎn)B，點(diǎn)D，點(diǎn)F三點(diǎn)共線(xiàn)，故②說(shuō)法正確；如圖1，∵△AED≌△EFH，∴DE＝HF，AD＝HE＝4，∴HD＝4﹣DE，∵三角形ADF與三角形EDF面積相等，∴×AD×HD＝×DE×HF，∴4×（4﹣DE）＝DE2，∴DE＝2﹣2或DE＝2+2（舍去），故③說(shuō)法正確；如圖2，在AD上截取DN＝DE，連接NE，∵∠ADC＝90°，DN＝DE，∴∠DNE＝∠DEN＝45°，NE＝DN，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝22.5°，∴∠AEN＝∠DNE﹣∠DAE＝22.5°，∴∠AEN＝∠DAE，∴AN＝NE＝DN，∵AN+DN＝AD＝4，∴DN＝4﹣4，∴DE＝DN＝4﹣4，故④說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：C．3．解：如圖1，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB＝AD，BM＝DF，∠DAF＝∠BAM，∠ABM＝∠D＝90°，AM＝AF，∴∠ABM+∠ABE＝90°+90°＝180°，∴點(diǎn)M，B，E在同一條直線(xiàn)上．∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAE＝90°﹣45°＝45°．∵∠BAE＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAE＝45°．即∠MAE＝∠FAE．在△AME與△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝EF，∴EF＝BE+DF，故A選項(xiàng)不合題意，如圖2，將△ADH繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABN，此時(shí)AB與AD重合，∴△ADH≌△ABN，∴AN＝AH，∠BAN＝∠DAH，∠ADH＝∠ABN＝45°，DH＝BN，∴∠NBG＝90°，∴BN2+BG2＝NG2，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠BAN+∠BAE＝45°＝∠NAE，∴∠NAE＝∠EAF，又∵AN＝AH，AG＝AG，∴△ANG≌△AHG（SAS），∴GH＝NG，∴BN2+BG2＝NG2＝GH2，∴DH2+BG2＝GH2，故B選項(xiàng)不合題意；∵∠EAF＝∠DBC＝45°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)H四點(diǎn)共圓，∴∠AHE＝∠ABE＝90°，∴AH⊥HE，故D選項(xiàng)不合題意，故選：C．二．填空題4．解：∵AB＝2AB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，∴四邊形CDEF是正方形，∴CF＝EF，∵△EFG是等邊三角形，∴FG＝EF，∴FG＝CF，∠CFG＝150°，∴∠FCG＝15°，∵FH⊥EG，∴∠HFE＝30°，∴∠PFC＝120°，∴∠GPK＝∠CPF＝45°，故①正確；作CM⊥PF，交PF的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，∴CP＝CM，GP＝GH＝CF，∵CF＝CM，∴CP＝CF，∴CP＝GP，故②錯(cuò)誤；連接CE，作EN⊥CG于N，則∠EGC＝45°，∠ECP＝30°，設(shè)EF＝x，則GN＝x，CN＝x，∵∠KFE＝30°，∴FH＝，HK＝x，∴KF＝，∴CG＝，∴GC＝KF，故③正確；作CS⊥GF，交GF的延長(zhǎng)線(xiàn)于S，則∠KGF＝90°，∠CFS＝30°，設(shè)EF＝x，則CS＝CF＝x，∴＝＝＝，故④錯(cuò)誤，故答案為：①③．5．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝45°，又∵AO＝CO，∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，故①正確；∵∠FOC＝∠AOE＝60°，∠EAO＝45°，∴∠AEF＝75°，故②正確；如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于H，∵∠BAC＝45°，EH⊥AC，∴AH＝EH，∵∠AOE＝60°，EH⊥AO，∴∠OEH＝30°，∴EO＝2OH，EH＝HO＝AH，∴AO＝HO+HO，∴＝，故③正確；如圖，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于N，∵∠FOC＝60°，OF＝OG＝1，∴△OFG是等邊三角形，又∵FN⊥AC，∴ON＝NG＝，∠OFN＝∠GFN＝30°，∴FN＝，∵∠ACD＝45°，F(xiàn)N⊥AC，∴∠ACD＝∠CFN，∴FN＝CN＝，∴CG＝﹣，∴△CFG的面積＝×CG×FN＝×（﹣）×＝﹣，故④錯(cuò)誤，故答案為：①②③．6．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AN，∴AM＝AN，∠MAN＝90°＝∠BAD，∴∠BAM＝∠DAN，∴△ABM≌△DAN（SAS），∴∠ABM＝∠ADN＝45°，∴∠BDN＝∠ADB+∠ADN＝90°，∴DN⊥BD，故①正確；∵∠MAN＝∠MDN＝90°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)D，點(diǎn)N四點(diǎn)共圓，∴∠MAE＝∠DNE，故②正確；∵AM＝AN，∠MAN＝90°，∴MN2＝AM2+AN2＝2AN2，∠ANM＝45°，∵∠DAN＝∠NAE，∠ANM＝∠ADN＝45°，∴△AEN∽△AND，∴，∴AN2＝AD?AE，∴MN2＝2AD?AE，故③錯(cuò)誤；設(shè)AB＝AD＝a，則BD＝a，∵AD＝MD＝a，∴BM＝（﹣1）a＝DN，∴MN2＝DN2+MD2＝2AN2，∴AN2＝（2﹣）a2，∵點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)D，點(diǎn)N四點(diǎn)共圓，∴∠DAN＝∠DMN，∠ANM＝∠ADM，∴△ANE∽△MDE，∴＝（）2＝2﹣，故④正確，故答案為：①②④．7．解：∵四邊形ABCD為正方形，AB＝BE，∴AB＝CD＝BE，AB∥CD，∴△NCD∽△NBE，∴＝＝1，∴CN＝BN，DN＝EN，故①正確；如圖，連接AN，∵DN＝NE，∠DAE＝90°，∴AN＝NE，∵AO＞AN，NE＞OE，∴AO＞OE，故②錯(cuò)誤；∵∠CBE＝90°，BC＝BE，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，∴∠BCE＝45°，BF＝CE＝BE，F(xiàn)B＝FE，BF⊥EC，∴∠BCE＝90°+45°＝135°，∠FBE＝45°，∴∠ABF＝135°，∴∠ABF＝∠ECD，∵，∴△ABF∽△ECD，∴∠CED＝∠FBG，如圖，作FG⊥AE于G，則FG＝BG＝GE，∴，∴tan∠FAG＝，∴tan∠CED＝，故④正確；∵tan∠FAG＝，∴＝，∴，∴S△FBM＝S△FCM，∵F是CE的中點(diǎn)，∴S△FBC＝S△FBE，∴S四邊形BEFM＝2S△CMF，故⑤正確；∵，∴設(shè)BM＝2x，MC＝4x，∴BC＝6x，∴CN＝BN＝3x，∴MN＝x，∴CN：MN：BM＝3：1：2，故③正確；故答案為：①③④⑤．8．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠ACB＝∠DBC＝45°，∵∠BEC＝90°，∴∠CEB＝∠BOC，∴點(diǎn)E，點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)O四點(diǎn)共圓，∴∠OEC＝∠OBC＝45°，故①正確；∵∠BEC＝90°，∴點(diǎn)E在直徑為BC的圓上，如圖，取BC的中點(diǎn)F，連接AF，EF，∴EF＝BF＝FC＝1，在△AFE中，AE＞AF﹣EF，∴當(dāng)點(diǎn)E在AF上時(shí)，AE有最小值，此時(shí)：AF＝＝＝，∴AE的最小值為﹣1，故②正確；∵點(diǎn)E，點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)O四點(diǎn)共圓，∴∠BOE＝∠BCE＜∠BCO＝45°，∠OEC＝∠CBO＝45°，∴∠BOE≠∠OEC，∴∠COE≠∠BEO，∴△OBE與△ECO不相似，故③錯(cuò)誤；如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥OE，交CE于H，∵OH⊥OE，∠OEC＝45°，∴∠OEC＝∠OHE＝45°，∴OE＝OH，∴EH＝OE，∵∠EOH＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠COH，又∵OB＝OC，∴△COH≌△BOE（SAS），∴BE＝CH，∴EC＝BE+EH＝BE+OE，故④正確，故答案為：①②④．9．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∵EG⊥DE，∴∠DEG＝∠DCG＝90°，∴點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)G，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠DCE＝∠DGE＝45°，∠GDE＝∠GCE＝45°，∴∠EGD＝∠EDG，∴DE＝EG，故①正確；如圖，將△CDH繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADN，連接NE，∴AN＝CH，DN＝DH，∠DCH＝∠DAN＝45°，∠CDH＝∠ADE，∴∠NAE＝90°，∴AN2+AE2＝NE2，∵∠FDG＝45°，∴∠ADE+∠CDH＝45°，∴∠ADE+∠ADN＝45°，∴∠NDE＝45°＝∠FDG，又∵DE＝DE，DN＝DH，∴△DEN≌△DEH（SAS），∴EN＝EH，∴AN2+AE2＝HE2，∴CH2+AE2＝HE2，故②正確；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，EH＝，當(dāng)AE＝HC時(shí)，∵CH2+AE2＝HE2，∴AE＝CH＝EH，∴EH＝（﹣1）AC，∴EH的長(zhǎng)是變化的，又∵點(diǎn)D到EH的距離不變，∴S△DEH不是定值，故③錯(cuò)誤；如圖，延長(zhǎng)CD到N，使DN＝CG，連接NE，∵點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)G，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴∠CDE+∠CGE＝180°，又∵∠CDE+∠NDE＝180°，∴∠NDE＝∠CGE，又∵DN＝CG，DE＝GE，∴△DNE≌△GCE（SAS），∴NE＝CE，∠DEN＝∠CEG，∴∠NED+∠DEC＝∠CEG+∠DEC＝90°，∴∠NEC＝90°，∴NC＝CE，∴CD+CG＝CE，故④正確；如圖，連接HF，∵∠FDG＝∠CAB＝45°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)D，點(diǎn)H，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓，∴∠DAC＝∠DFH＝45°，∴∠DGE＝∠DFH＝45°，∴點(diǎn)E，點(diǎn)F，點(diǎn)G，點(diǎn)H四點(diǎn)共圓，∴∠EFG+∠EHG＝180°，又∵∠EHG+∠DHE＝180°，∴∠DHE＝∠DFG，又∵∠EDH＝∠FDG，∴△DEH∽△DGF，∴＝＝，∴FG＝EH，故⑤正確；故答案為：①②④⑤．10．解：A、如圖，延長(zhǎng)FP交AB與G，連PC，延長(zhǎng)AP交EF與H，∵GF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，∵四邊形ABCD是正方形∴∠DBC＝45°∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，∴DP＝EC．故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四邊形PECF為矩形，∴四邊形PECF的周長(zhǎng)＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，故B選項(xiàng)正確；C、∵四邊形PECF為矩形，∴PC＝EF，由正方形為軸對(duì)稱(chēng)圖形，∴AP＝PC，∴AP＝EF，∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC，∴PG＝PE，∵AP＝PC，∠AGP＝∠EPF＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS），∴∠BAP＝∠PFE，∵GF∥BC，∴∠AGP＝90°，∴∠BAP+∠APG＝90°，∵∠APG＝∠HPF，∴∠PFH+∠HPF＝90°，∴AP⊥EF，故選項(xiàng)C正確；D、∵EF＝PC＝AP，∴當(dāng)AP最小時(shí)，EF最小，則當(dāng)AP⊥BD時(shí)，即AP＝BD時(shí)，EF的最小值等于BD，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B或點(diǎn)D重合時(shí)，AP有最大值為AB，即EF的最大值為AB，∴BD≤EF≤AB，故選項(xiàng)D正確；故答案為：B、C、D．11．解：∵將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；故①正確；∵CE＝2DE，∴EF＝DE＝CD＝2，設(shè)BG＝FG＝x，則CG＝6﹣x．在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3．∴BG＝3＝6﹣3＝CG，∴點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)；故②正確；∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，∴AG∥CF；故③正確；∵S△ECG＝GC?CE＝×3×4＝6，EF＝2，GF＝3，∴S△EFC＝＝，故④正確，故答案為①②③④．12．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝，∠DAB＝90°，AB∥CD，∴∠DEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∴∠DAE＝∠BAE＝∠DEA＝45°，∴AD＝DE，故①正確；∵AD＝DE＝，∠ADE＝90°，∴AE＝AD＝2，∵BG⊥AE，∠EAB＝45°，∴∠GAB＝∠GBA＝45°，∴AG＝BG，∴AB＝AG＝2，∴AG＝＝BG，∴BG＝BC，又∵BE＝BE，∴Rt△BEG≌Rt△BEC（HL），故②正確；∴∠CBE＝∠GBE，∵∠GAB＝∠GBA＝45°，∴∠DAG＝45°＝∠GBC，∴∠GBE＝∠CBE＝22.5°，∵AD＝AG，∠DAG＝45°，∴∠ADG＝∠AGD＝67.5°，∴∠EGH＝67.5°，∵BG⊥AE，∴∠BGH＝22.5°，∴∠BGH＝∠GBH＝22.5°，∴GH＝BH，∠BEG＝∠HGE＝67.5°，∴EH＝GH，∴BE＝2GH，故③正確；∵AE＝2，AG＝GB＝，∴GE＝2﹣，∵∠ADG＝67.5°，∴∠CDF＝22.5°，∴∠CDF＝∠GBE，又∵∠DCF＝∠BGE＝90°，∴△BEG∽△DFC，∴，∴＝，∴CF＝2﹣2，故④錯(cuò)誤，故答案為①②③．13．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝5，∠B＝∠D＝∠BCD＝90°，∵將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFG＝∠B＝90°，AF＝AB，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG＝GF，∴EG＝EF+FG＝DE+BG，故①正確；若CF＝FG，∴∠FGC＝FCG，∵∠GCE＝90°，∴∠FEC＝∠FCE，∴EF＝FC，∴EF＝FC＝GF，∴BG＝DE，又∵BC＝CD，∴GC＝EC，∴△GEC是等腰直角三角形，故②正確；∵將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，∴∠AGB＝∠AGF，BG＝GF，若AG∥CF，∴∠AGB＝∠GCF，∠AGF＝∠GFC，∴∠GFC＝∠GCF，∴GC＝GF＝BG＝，∵EG2＝GC2+EC2，∴（DE+）2＝+（5﹣ED）2，∴DE＝，故③錯(cuò)誤；∵將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，∴S△ADE＝S△AFE，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴S△ABG＝S△AFG，∵S正方形ABCD＝S△EGC+2（S△ADE+S△AGF），∴25＝（5﹣BG）（5﹣DE）+2××（GF+EF）×AF，∴50＝25﹣5（BG+DE）+BG?DE+2GE?AF，∴BG?DE+AF?GE＝25，故④正確，故答案為①②④．14．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°＝∠ABE+∠BAG，∴∠CBF＝∠BAG，又∵∠AGB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABG≌△BCF（AAS），∴AG＝BF，BG＝CF，故①正確；∴CF﹣BF＝BG﹣BF＝FG，故③錯(cuò)誤；如圖，連接GO，延長(zhǎng)GO交CF于N，作OM⊥EB于M，∵點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，∴AO＝CO，∵AG⊥BE，CF⊥BE，∴AG∥CF，∴∠GAO＝∠NCO，又∵∠AOG＝∠CON，∴△AOG≌△CON（ASA），∴GO＝NO，AG＝CN，∴BF＝CN，∴GF＝FN，又∵∠GFN＝90°，GO＝ON，∴∠GFO＝∠NFO＝45°，OF⊥GO，OF＝GO＝ON，∴OF平分∠GFC，F(xiàn)G＝OF，故②，④正確；∵OF⊥GO，OF＝GO，OM⊥FG，∴FM＝MG＝OM，∵FH2+HG2＝（FM+HM）2+（MG﹣HM）2＝2OM2+2MH2，OM2+MH2＝OH2，∴FH2+HG2＝2OH2，故⑤正確，故答案為：①②④⑤．15．解：延長(zhǎng)CE交AB于F，連接DF，取DF的中點(diǎn)O，連接OA、OE．∵CE⊥BD，∴∠DAF＝∠DEF＝90°，∵OD＝OF，∴OA＝OD＝OF＝OE，∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，∴∠AFD＝∠AED，∴tan∠AFD＝tan∠AED＝＝，∵BC＝3AD＝3，∴AD＝1，BC＝3，∴AF＝2，設(shè)BF＝x．∵∠CBF＝∠BAD＝∠BEF＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠ABD+∠BFC＝90°，∴∠ADB＝∠CFB，∴△CBF∽△BAD，∴＝，∴＝，∴x2+2x﹣3＝0，∴x＝1或﹣3（舍棄），∴AB＝BF+AF＝1+2＝3．故答案為3．三．解答題16．（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，∵∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠D＝∠ABF，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）．（2）解：①如圖2，連接BF，由（1）知：△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，由折疊得：∠GAE＝∠DAE，AG＝AD，∴∠GAE＝∠BAF，∴∠GAE+∠GAB＝∠GAB+∠BAF，即∠BAE＝∠GAF，∵四邊形ABCD是正方形，CD＝3，DE＝1，∴AB＝AD＝BC＝CD＝3，CE＝CD﹣DE＝3﹣1＝2，∠C＝90°，∴AB＝AG，在△ABE和△AGF中，，∴△ABE≌△AGF（SAS），∴BE＝FG，在Rt△BCE中，BE＝＝＝，∴FG＝．②BQ2+DQ2＝FG2．證明：如圖3，連接BD，由（1）得：△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，∴∠DAE+∠BAE＝∠BAF+∠BAE，即∠BAD＝∠EAF，由折疊得：∠GAE＝∠DAE，AG＝AD，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠GAE，即∠BAE＝∠GAF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BCD＝90°，∴AB＝AG，在△ABE和△AGF中，，∴△ABE≌△AGF（SAS），∴BE＝FG，∵∠BCE＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠BCD，∵DE＝2DC，∴CE＝CD，在△BCD和△BCE中，，∴△BCD≌△BCE（SAS），∴BD＝BE，∴BD＝FG，設(shè)∠DAE＝α，則∠GAE＝α，∠BAE＝90°﹣α，∴∠BAG＝∠GAE﹣∠BAE＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°，∵AB＝AG，∴∠AGB＝∠ABG＝（180°﹣∠BAG）＝（180°﹣2α+90°）＝135°﹣α，∴∠AQG＝180°﹣∠GAE﹣∠AGB＝180°﹣α﹣（135°﹣α）＝45°，由折疊得：∠AQD＝∠AQG＝45°，∴∠BQD＝∠AQD+∠AQG＝45°+45°＝90°，∴BQ2+DQ2＝BD2，∴BQ2+DQ2＝FG2．17．（1）①證明：由折疊知：∠FEH＝∠FDC＝90°，F(xiàn)E＝FD，∴∠FDE＝∠FED，∵∠A＝90°，∴∠AED+∠FDE＝90°，∠DEH+∠FED＝90°，∴∠AED＝∠DEH．②解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為5a，則AE＝2a，EB＝3a，設(shè)AF＝x，則DF＝EF＝5a﹣x，由勾股定理得：AE2+AF2＝EF2，∴4a2+x2＝（5a﹣x）2，解得x＝a，∵∠BHE+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝∠AEF，∴sin∠BHE＝sin∠AEF＝＝；（2）解：∵∠A＝∠B＝90°，∠BEH＝∠AEF，∴△BEH∽△AEF，∴，設(shè)BE為單位1，則AE＝k，AD＝AB＝BC＝k+1，設(shè)AF＝x，則DF＝EF＝k+1﹣x，由勾股定理得：AE2+AF2＝EF2，∴k2+x2＝（k+1﹣x）2，解得x＝，∴AF＝，∴，解得BH＝，∴CH＝BC﹣BH＝k+1﹣＝，∴＝＝2k．18．（1）證明：由折疊知，BA＝BF，∴∠BAF＝∠BFA，∵∠ABC＝∠CHA＝90°，∴∠BAH+∠BCH＝180°，∵∠BFA+∠BFH＝180°，∴∠BFH＝∠BCH，（2）證明：如圖，由折疊知，AE＝EF，AB＝BF，∴BE為AF的垂直平分線(xiàn)，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∵AB＝AD，∠BAE＝∠ADG＝90°，∴△BAE≌△ADG（ASA），∴AE＝DG，∵AE＝，∴DG＝，∴DG＝CG＝，∵AE＝EF，AE＝DE，∴AE＝EF＝DE，∴∠3＝∠4，∠5＝∠6，∵∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，∴∠4+∠5＝90°，∴∠DFG＝90°＝∠CHG，∵∠DGF＝∠CGH，DG＝CG，∴△DGF≌△CGH（AAS），∴CG＝DG，GF＝GH，∴四邊形DFCH為平行四邊形；（3）解：作HN⊥CD于N，∴∠HNG＝∠ADG，∵∠DGA＝∠NGH，∴△ADG∽△HNG，∴，又∵，∴當(dāng)取最大值時(shí)，最大，又∵正方形AD邊長(zhǎng)一定，∴當(dāng)NH取最大值時(shí)，最大，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OH，∵∠ADC＝∠AHC＝90°，OA＝OC＝OD＝OB，∴OH＝，∴A，B，C，D，H都在以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓上，則當(dāng)H為的中點(diǎn)時(shí)，HN最長(zhǎng)，當(dāng)H為CD中點(diǎn)時(shí)，則N為CD中點(diǎn)，∴ON＝CN＝DN＝，又∵OC＝OA，AD2＝OC2+OA2＝4a2，∴OC＝OA＝OH＝a，∴NH＝（）a，∴，∴1+，∴的最大值為．19．（1）證明：如圖1，連接DE，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠BAD＝90°，在△BAE和△DAE中，，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE，∠ADE＝∠ABE，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，在四邊形ABEF中，∠ABE+∠AFE＝360°﹣∠BAD﹣∠BEF＝180°，∵∠AFE+∠DFE＝180°，∴∠ABE＝∠DFE，∴∠DFE＝∠EDF，∴ED＝EF，∴BE＝EF；（2）如圖2，作EG⊥AB于G，作EH⊥AD于H，∴∠EGA＝∠AHE＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴四邊形AGEH是矩形，∴∠GEH＝90°，∴∠GEH＝∠BEF，∴∠GEH﹣∠GEF＝∠BEF﹣∠GEF，即：∠BEG＝∠FEH，∴△EGB∽△EHF，∴＝，∵EG＝AH，∴＝，∵∠AHE＝∠ADC＝90°，∴EH∥CD，∴△AEH∽△ACD，∴＝，∴＝，在Rt△ACD中，設(shè)AD＝3a，CD＝4a，∴AC＝5a，∴AD：CD：AC＝3：4：5，∵△AEH∽△ACD，∴AH：EH：AE＝3：4：5，∴AF+FH＝，AB﹣BG＝，∴，∴3AF+4AB＝5AE；（3）如圖3，作FG⊥AC于G，設(shè)AF＝5x，BC＝3a，AB＝4a，AC＝5a，∴FG＝＝4x，3×5x+16a＝5AE，∴AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝5a﹣＝，∴S△EFC＝＝＝﹣6x2+，∵a＝﹣6＜0，∴＝6，∴a＝，∴BC＝3a＝10．20．解：（1）如圖，將△ADQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG，則△ADQ≌△ABG，∴AG＝AQ，∠GAB＝∠QAD，GB＝DQ，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠QAD＝∠BAE+∠GAB＝90°﹣45°＝45°，即∠GAE＝∠EAF＝45°，∵∠ABG＝∠ABE＝90°，∴B，G，E三點(diǎn)共線(xiàn)，又∵AE＝AE，∴△GAE≌△EAQ（SAS），∴∠AEB＝∠AEQ，∵BE＝DQ，AB＝AD，∠ABE＝∠ADQ＝90°，∴△GAE≌△EAQ（SAS），∴AE＝AQ，∠AEB＝∠AQD，∴∠AEB＝∠AQD＝∠AEQ，∠AEQ＝∠AQE，∴∠AQE＝∠AEB＝∠AQD＝∠AEQ；（2）點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，圖中有1個(gè)角∠AEB始終與∠AEQ相等，證明：如圖，將△ADQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG，則△ADQ≌△ABG，∴AG＝AQ，∠GAB＝∠QAD，GB＝DQ，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠QAD＝∠BAE+∠GAB＝90°﹣45°＝45°，即∠GAE＝∠EAF＝45°，∵∠ABG＝∠ABE＝90°，∴B，G，E三點(diǎn)共線(xiàn)，又∵AE＝AE，∴△GAE≌△EAQ（SAS），∴∠AEB＝∠AEQ；（3）∵∠AEQ+∠QEF＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB＝∠AEQ，∴∠QEF＝∠FEC，∴EF是∠QEC的角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥EQ交于點(diǎn)H，∵CP⊥EC，∴HP＝CP，∵點(diǎn)P到直線(xiàn)EQ的距離為y，∴PC＝PH＝y(tǒng)，∵∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∵∠ABE＝∠ECP，∴△ABE∽△ECP，∴，即，∴y＝﹣x2+x，∵y＝﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x＝時(shí)，y的最大值．21．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠EAD＝∠FBA＝90°，∴∠BAF+∠DAG＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠BAF＝∠ADG，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE＝BF；（2）解：∠EDP的大小不會(huì)變化，∠EDP＝45°，理由如下：連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∵CP⊥AF，∴∠APC＝90°，∴點(diǎn)P、D在以AC為直徑的同一圓上，∴∠DAC＝∠DPC＝45°，∴∠DPA＝∠APC﹣∠DPC＝90°﹣45°＝45°，∵AF⊥DE，∴∠DGP＝90°，∴∠EDP＝90°﹣∠DPA＝45°，即∠EDP的大小不會(huì)變化，∠EDP＝45°；（3）解：過(guò)點(diǎn)F作FN∥CP交DP于點(diǎn)N，∵AE＝2，∴BF＝AE＝2，∴CF＝BC﹣BF＝4﹣2＝2，∵∠AFB＝∠CFP，∠ABF＝∠CPF＝90°，∴△ABF∽△CPF，∴＝＝＝，∵FN∥CP，∴∠PCM＝∠NFM，∠FNP＝∠CPN，∵∠CPN＝∠NPF＝45°，∴∠FNP＝∠NPF，∴NF＝PF，∵∠PCM＝∠NFM，∠PMC＝∠NMF，∴△PMC∽△NMF，∴＝，∴＝＝，∴MF＝MC，∴MF＝CF＝×2＝．22．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CDH＝90°＝∠ADE，AD＝CD，在Rt△ADE和Rt△CDH中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）；（2）解：∵△ADE≌△CDH，∴∠FAH＝∠DCH，又∵∠AHF＝∠CHD，∴△FAH∽△DCH，∴，∴．∵∠AHC＝∠FHD，∴△AHC∽△FHD，∴∠DFH＝∠HAC．∵四邊形ABCD為正方形，AC為對(duì)角線(xiàn)，∴∠HAC＝45°，∴∠DFH＝45°，即∠DFC＝45°；（3）解：CF＝AF+DF．理由：如圖，在FC上截取FM＝AF，連接AM．∵△FAH∽△DCH，∴∠AFH＝∠CDH＝90°，∴∠FAM＝45°，AM＝AF．∵∠DAC＝45°，∴∠FAM＝∠DAC，∴∠FAD＝∠MAC．∵△AHC∽△FHD，∴∠ACM＝∠ADF，∴△AMC∽△AFD，∴，∴CM＝DF，∴CF＝FM+CM＝AF+DF．23．（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，