數(shù)字信號處理答案解析

..1-1畫出下列序列的示意圖<1><2><3><1><2><3>1-2已知序列x<n>的圖形如圖1.41,試畫出下列序列的示意圖。圖1.41信號x<n>的波形<1><2><3><4><5><6><修正：n=4處的值為0,不是3〔修正：應(yīng)該再向右移4個采樣點1-3判斷下列序列是否滿足周期性,若滿足求其基本周期<1>解：非周期序列;<2>解：為周期序列,基本周期N=5;<3>解：,,取為周期序列,基本周期。<4>解：其中,為常數(shù),取,,取則為周期序列,基本周期N=40。1-4判斷下列系統(tǒng)是否為線性的？是否為移不變的？<1>非線性移不變系統(tǒng)<2>非線性移變系統(tǒng)〔修正：線性移變系統(tǒng)<3>非線性移不變系統(tǒng)<4>線性移不變系統(tǒng)<5>線性移不變系統(tǒng)〔修正：線性移變系統(tǒng)1-5判斷下列系統(tǒng)是否為因果的？是否為穩(wěn)定的？<1>,其中因果非穩(wěn)定系統(tǒng)<2>非因果穩(wěn)定系統(tǒng)<3>非因果穩(wěn)定系統(tǒng)<4>非因果非穩(wěn)定系統(tǒng)<5>因果穩(wěn)定系統(tǒng)1-6已知線性移不變系統(tǒng)的輸入為x<n>,系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h<n>,試求系統(tǒng)的輸出y<n>及其示意圖<1><2><3>解：〔1〔2〔31-7若采樣信號m<t>的采樣頻率fs=1500Hz,下列信號經(jīng)m<t>采樣后哪些信號不失真？<1><2><3>解：<1>采樣不失真<2>采樣不失真<3>,采樣失真1-8已知,采樣信號的采樣周期為。<1>的截止模擬角頻率是多少？<2>將進行A/D采樣后,的數(shù)字角頻率與的模擬角頻率的關(guān)系如何？<3>若,求的數(shù)字截止角頻率。解：<1><2><3>1-9計算下列序列的Z變換,并標明收斂域。<1><2><3><4><5>解：<1><2><3><4>,,收斂域不存在<5>1-10利用Z變換性質(zhì)求下列序列的Z變換。<1><2><3><4>解：<1>,<2>,<3>,<4>,1-11利用Z變換性質(zhì)求下列序列的卷積和。<1><2><3><4><5><6>解：<1>,,,,<2>,,,<3>,,,<4>,,<5>,,,<6>,,,1-12利用的自相關(guān)序列定義為,試用的Z變換來表示的Z變換。解：1-13求序列的單邊Z變換X<Z>.解：所以：1-14試求下列函數(shù)的逆Z變換<1><2><3><4>,整個Z平面〔除z=0點<5><6>解：<1><2>,<3><4><5><6>1-15已知因果序列的Z變換如下,試求該序列的初值及終值。<1><2><3>解：<1>,<2>,<3>,1-16若存在一離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),根據(jù)下面的收斂域,求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),并判斷系統(tǒng)是否因果？是否穩(wěn)定？<1>,<2>,<3>解：<1>,,因果不穩(wěn)定系統(tǒng)<2>,,非因果穩(wěn)定系統(tǒng)<3>,,非因果非穩(wěn)定系統(tǒng)1-17一個因果系統(tǒng)由下面的差分方程描述<1>求系統(tǒng)函數(shù)及其收斂域；<2>求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。解：<1>,<2>1-18若當(dāng)時；時,其中N為整數(shù)。試證明：<1>,其中,<2>,收斂域證明：<1>令,則其中,<2>,1-19一系統(tǒng)的系統(tǒng)方程及初時條件分別如下：,<1>試求零輸入響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng),全響應(yīng)；<2>畫出系統(tǒng)的模擬框圖解：<1>零輸入響應(yīng),,得,則零狀態(tài)響應(yīng),,則<2>系統(tǒng)模擬框圖1-20若線性移不變離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),<1>求系統(tǒng)函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)；<2>使系統(tǒng)的零狀態(tài),求輸入序列；<3>若已知激勵,求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：<1>激勵信號為階躍信號,,<2>若系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)則<3>若,則從可以判斷出穩(wěn)定分量為：1-21設(shè)連續(xù)時間函數(shù)的拉普拉斯變換為,現(xiàn)對以周期T進行抽樣得到離散時間函數(shù),試證明的Z變換滿足：證明：,則當(dāng)時1-22設(shè)序列的自相關(guān)序列定義為,設(shè)。試證明：當(dāng)為的一個極點時,是的極點。證明：,故當(dāng)為的一個極點時,也是的極點。1-23研究一個具有如下系統(tǒng)函數(shù)的線性移不變因果系統(tǒng),其中為常數(shù)。<1>求使系統(tǒng)穩(wěn)定的的取值范圍；<2>在Z平面上用圖解法證明系統(tǒng)是一個全通系統(tǒng)。解：<1>,若系統(tǒng)穩(wěn)定則,極點,零點<2>,系統(tǒng)為全通系統(tǒng)1-24一離散系統(tǒng)如圖,其中為單位延時單位,為激勵,為響應(yīng)。<1>求系統(tǒng)的差分方程；<2>寫出系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)并畫出平面極點分布圖；<3>求系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)<4>保持不變,畫出節(jié)省了一個延時單元的系統(tǒng)模擬圖。解：<1><2>〔修正：此題有錯,兩個極點位于0.5j<3>系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)〔修正：隨上小題答案而改變,是兩個復(fù)序列信號之和<4>〔修正：此圖錯誤,乘系數(shù)應(yīng)該為0.5,輸出端y<n>應(yīng)該在兩個延遲器D之間1-25線性移不變離散時間系統(tǒng)的差分方程為<1>求系統(tǒng)函數(shù)；<2>畫出系統(tǒng)的一種模擬框圖；<3>求使系統(tǒng)穩(wěn)定的A的取值范圍。解：<1>系統(tǒng)函數(shù)<2>〔此圖非直接形式,是轉(zhuǎn)置形式<3>若使系統(tǒng)穩(wěn)定,系統(tǒng)極點,則〔修正：要根據(jù)系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)分別考慮,非因果系統(tǒng)下極點應(yīng)該位于單位圓外2-1解:,2-2證明:根據(jù)線性移不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性:當(dāng)一個LSI系統(tǒng)的輸入信號是一個復(fù)正弦信號時,該系統(tǒng)的輸出也是一個復(fù)正弦信號,與輸入信號相比多了系數(shù).信號==2-3解:<1>令<2>圖見電子版<3>當(dāng)系統(tǒng)是線性移不變系統(tǒng)時,若輸入信號為實正弦信號,輸出信號也是一個具有相同頻率的正弦信號,但該信號的幅度和相位都發(fā)生了變化.表達式如下:系統(tǒng)函數(shù)為,輸入信號,輸出信號當(dāng)時,2-4解:<1>零點極點<2><4>圖見電子版2-5解:系統(tǒng)是LSI系統(tǒng),,其中2-6證明:<1>,<1的離散時間傅立葉變換為>即,則<2>令<3>,當(dāng)且僅當(dāng)時有值<4>2-7解:2-8解:,,,區(qū)間的幅度譜:區(qū)間內(nèi)三種采樣頻率下的幅度譜2-9解：2-10解：首先觀察四種情況都滿足Nyquist采樣定理,因此,采樣后的信號的頻譜將是原連續(xù)信號頻譜以為周期的延拓?！?〔2〔3〔422-11證明：2-12解：〔1對差分方程求Z變換得：〔即為矩形窗的幅度譜〔2圖見電子版〔32-15〔1載波信號為1處信號〔22-13證明：〔1設(shè)〔2〔3由式〔1〔2〔3,令上式中原題得證。2-14證明：2-18解：對差分方程求Z變換全通系統(tǒng)為常數(shù),即也為常數(shù)。可對求導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)應(yīng)為0。即：或題中要求取2-19解：〔1〔2〔3當(dāng)輸入信號是實正弦信號,為系統(tǒng)輸出〔5當(dāng)時,。不是因果系統(tǒng)〔62-20解：設(shè)取樣器的輸出為設(shè)壓縮器的輸出為由b圖中兩系統(tǒng)等效可列出如下等式：等式兩邊約簡可得：2-1解:,2-2證明:根據(jù)線性移不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性:當(dāng)一個LSI系統(tǒng)的輸入信號是一個復(fù)正弦信號時,該系統(tǒng)的輸出也是一個復(fù)正弦信號,與輸入信號相比多了系數(shù).信號==2-3解:<1>令<2>圖見電子版<3>當(dāng)系統(tǒng)是線性移不變系統(tǒng)時,若輸入信號為實正弦信號,輸出信號也是一個具有相同頻率的正弦信號,但該信號的幅度和相位都發(fā)生了變化.表達式如下:系統(tǒng)函數(shù)為,輸入信號,輸出信號當(dāng)時,2-4解:<1>零點極點<2><4>圖見電子版2-5解:系統(tǒng)是LSI系統(tǒng),,其中2-6證明:<1>,<1的離散時間傅立葉變換為>即,則<2>令<3>,當(dāng)且僅當(dāng)時有值<4>2-7解:2-8解:,,,區(qū)間的幅度譜:區(qū)間內(nèi)三種采樣頻率下的幅度譜2-9解：2-10解：首先觀察四種情況都滿足Nyquist采樣定理,因此,采樣后的信號的頻譜將是原連續(xù)信號頻譜以為周期的延拓。〔1〔2〔3〔422-11證明：2-12解：〔1對差分方程求Z變換得：〔即為矩形窗的幅度譜〔2圖見電子版〔32-15〔1載波信號為1處信號〔22-13證明：〔1設(shè)〔2〔3由式〔1〔2〔3,令上式中原題得證。2-14證明：2-18解：對差分方程求Z變換全通系統(tǒng)為常數(shù),即也為常數(shù)?？蓪η髮?dǎo),其導(dǎo)數(shù)應(yīng)為0。即：或題中要求取2-19解：〔1〔2〔3當(dāng)輸入信號是實正弦信號,為系統(tǒng)輸出〔5當(dāng)時,。不是因果系統(tǒng)〔62-20解：設(shè)取樣器的輸出為設(shè)壓縮器的輸出為由b圖中兩系統(tǒng)等效可列出如下等式：等式兩邊約簡可得：3-1解：〔1〔2〔3補零后：不變；變化,變的更加逼近〔4不能3-2解：〔1令循環(huán)卷積其余〔2其余其余〔3其余〔4補一個零后的循環(huán)卷積其余3-3解：,即可分辨出兩個頻率分量本題中的兩個頻率分量不能分辨3-4解：對它取共軛：與比較,可知：1,只須將的DFT變換求共軛變換得；2,將直接fft程序的輸入信號值,得到；3,最后再對輸出結(jié)果取一次共軛變換,并乘以常數(shù),即可求出IFFT變換的的值。3-5解：可以；證明：設(shè)其中是在單位圓上的Z變換,與的關(guān)系如下：是在頻域上的N點的采樣,與的關(guān)系如下：相當(dāng)于是在單位圓上的Z變換的N點采樣。3-6解：,,圖見電子版3-7解：,,,,圖見電子版3-8解：,,,同理：圖見電子版3-9解：系統(tǒng)為單位脈沖響應(yīng)設(shè)加矩形窗后得到的信號為,對應(yīng)的短時離散頻譜：,,,,電子圖3-10解：〔1考慮對稱位置取〔2考慮對稱位置取〔3考慮對稱位置取3-11解：〔1〔2〔3〔43-12鏡像為鏡像為鏡像為鏡像為3-13解：〔1離散信號值：〔23-14解：至少需要2000點個信號值3-15解：,,,3-1解：〔1〔2〔3補零后：不變；變化,變的更加逼近〔4不能3-2解：〔1令循環(huán)卷積其余〔2其余其余〔3其余〔4補一個零后的循環(huán)卷積其余3-3解：,即可分辨出兩個頻率分量本題中的兩個頻率分量不能分辨3-4解：對它取共軛：與比較,可知：1,只須將的DFT變換求共軛變換得；2,將直接fft程序的輸入信號值,得到；3,最后再對輸出結(jié)果取一次共軛變換,并乘以常數(shù),即可求出IFFT變換的的值。3-5解：可以；證明：設(shè)其中是在單位圓上的Z變換,與的關(guān)系如下：是在頻域上的N點的采樣,與的關(guān)系如下：相當(dāng)于是在單位圓上的Z變換的N點采樣。3-6解：,,圖見電子版3-7解：,,,,圖見電子版3-8解：,,,同理：圖見電子版3-9解：系統(tǒng)為單位脈沖響應(yīng)設(shè)加矩形窗后得到的信號為,對應(yīng)的短時離散頻譜：,,,,電子圖3-10解：〔1考慮對稱位置取〔2考慮對稱位置取〔3考慮對稱位置取3-11解：〔1〔2〔3〔43-12鏡像為鏡像為鏡像為鏡像為3-13解：〔1離散信號值：〔23-14解：至少需要2000點個信號值3-15解：,,,4-1對于系統(tǒng)函數(shù),試用一階系統(tǒng)的級聯(lián)形式,畫出該系統(tǒng)可能實現(xiàn)的流圖。解：4-2一線性時不變因果系統(tǒng),其系統(tǒng)函數(shù)為對應(yīng)每種形式畫出系統(tǒng)實現(xiàn)的信號流圖?！?直接Ⅰ型?！?直接Ⅱ型?！?用一階和二階直接Ⅱ型的級聯(lián)型?！?用一階和二階直接Ⅱ型的并聯(lián)型。解：直接Ⅰ型直接Ⅱ型用一階和二階直接Ⅱ型的級聯(lián)型用一階和二階直接Ⅱ型的并聯(lián)型4-3已知模擬濾波器的傳輸函數(shù),試用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字傳輸函數(shù)?！苍O(shè)采樣周期T＝0.5解：4-4若模擬濾波器的傳輸函數(shù)為,試用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字傳輸函數(shù)。〔設(shè)采樣周期T＝1解：4-5用雙線性變換法設(shè)計一個三階的巴特沃滋數(shù)字低通濾波器,采樣頻率,截至頻率。解：,4-6用雙線性變換法設(shè)計一個三階的巴特沃滋數(shù)字高通濾波器,采樣頻率,截至頻率。解：,,歸一化,4-7用雙線性變換法設(shè)計一個三階的巴特沃滋數(shù)字帶通濾波器,采樣頻率,上下邊帶截至頻率分別為,。解：,,,4-8設(shè)計一個一階數(shù)字低通濾波器,3dB截至頻率為,將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃滋濾波器。解：一階巴特沃滋,4-9試用雙線性變換法設(shè)計一低通數(shù)字濾波器,并滿足：通帶和阻帶都是頻率的單調(diào)下降函數(shù),而且無起伏；頻率在處的衰減為－3.01dB；在處的幅度衰減至少為15dB。解：設(shè),則：,通帶：,即阻帶：,即階數(shù)：,查表得二階巴特沃滋濾波器得系統(tǒng)函數(shù)為雙線性變換實現(xiàn)數(shù)字低通濾波器4-10一個數(shù)字系統(tǒng)的采樣頻率,已知該系統(tǒng)收到頻率為100Hz的噪聲干擾,試設(shè)計一個陷波濾波器去除該噪聲,要求3dB的邊帶頻率為95Hz和105Hz,阻帶衰減不小于14dB。解：,令,,,,設(shè)N=2,則4-1對于系統(tǒng)函數(shù),試用一階系統(tǒng)的級聯(lián)形式,畫出該系統(tǒng)可能實現(xiàn)的流圖。解：4-2一線性時不變因果系統(tǒng),其系統(tǒng)函數(shù)為對應(yīng)每種形式畫出系統(tǒng)實現(xiàn)的信號流圖。〔1直接Ⅰ型?！?直接Ⅱ型?！?用一階和二階直接Ⅱ型的級聯(lián)型?！?用一階和二階直接Ⅱ型的并聯(lián)型。解：直接Ⅰ型直接Ⅱ型用一階和二階直接Ⅱ型的級聯(lián)型用一階和二階直接Ⅱ型的并聯(lián)型4-3已知模擬濾波器的傳輸函數(shù),試用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字傳輸函數(shù)?！苍O(shè)采樣周期T＝0.5解：4-4若模擬濾波器的傳輸函數(shù)為,試用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字傳輸函數(shù)?！苍O(shè)采樣周期T＝1解：4-5用雙線性變換法設(shè)計一個三階的巴特沃滋數(shù)字低通濾波器,采樣頻率,截至頻率。解：,4-6用雙線性變換法設(shè)計一個三階的巴特沃滋數(shù)字高通濾波器,采樣頻率,截至頻率。解：,,歸一化,4-7用雙線性變換法設(shè)計一個三階的巴特沃滋數(shù)字帶通濾波器,采樣頻率,上下邊帶截至頻率分別為,。解：,,,4-8設(shè)計一個一階數(shù)字低通濾波器,3dB截至頻率為,將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃滋濾波器。解：一階巴特沃滋,4-9試用雙線性變換法設(shè)計一低通數(shù)字濾波器,并滿足：通帶和阻帶都是頻率的單調(diào)下降函數(shù),而且無起伏；頻率在處的衰減為－3.01dB；在處的幅度衰減至少為15dB。解：設(shè),則：,通帶：,即阻帶：,即階數(shù)：,查表得二階巴特沃滋濾波器得系統(tǒng)函數(shù)為雙線性變換實現(xiàn)數(shù)字低通濾波器4-10一個數(shù)字系統(tǒng)的采樣頻率,已知該系統(tǒng)收到頻率為100Hz的噪聲干擾,試設(shè)計一個陷波濾波器去除該噪聲,要求3dB的邊帶頻率為95Hz和105Hz,阻帶衰減不小于14dB。解：,令,,,,設(shè)N=2,則5-1:對照以上兩公式可知：因此：n<0n>4n=0n=1n=2n=3n=45-2理想低通濾波器的h<n>如下：,h<n>如圖5-2所示：圖5-2若要使h<n>變成因果系統(tǒng),則可將h<n>向右移3,使h<n>=h<n-3>.系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)如下：5-3<1>這是一個低通濾波器,通帶和阻帶各有三個波峰?！?因為以下的依據(jù)3dB下降作為通帶邊界頻率,可計算得到：〔3最小阻帶衰減5-4由分式〔5.39根據(jù)A計算,如下：由表5.1根據(jù)過度帶寬度計算窗口：單位脈沖響應(yīng)如下：單位脈沖響應(yīng)如下：其中為凱澤窗。5-5答：減小窗口的長度N,則濾波器的過度帶增加,但最小阻帶衰減保持不變。5-6：圖5.30中的濾波器包括了三類理想濾波器,包括了低通,帶通和高通,其響應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)如下：設(shè)窗函數(shù)長度為N,則滿足線性相位條件的h<n>為起右移,對h<n>加長度為N的矩形窗,如下：,0≤n≤N-1由于時,不能為零,故N應(yīng)取奇數(shù)。5-7由公式〔5-39得出窗函數(shù)參數(shù)如下：由表〔5-1根據(jù)過度帶寬度得窗長N如下：,單位脈沖響應(yīng)如下：濾波器頻幅響應(yīng)如下：5-8：由公式〔5.39,根據(jù)最小阻帶衰減A=40dB得參數(shù)由表5.1,根據(jù)過度帶計算窗長N,線性FIR高通濾波器單位脈沖響應(yīng)如下：5-9由公式〔5-39,根據(jù)阻帶衰減A=60dB計算：由表〔5-1,根據(jù)過渡帶寬得：單位脈沖響應(yīng)如下：5-10:采用頻率取樣設(shè)計法設(shè)計高通線性相位FIR濾波器,可利用與LPF相同的方法,由于最小阻帶衰減為40dB,可在過渡帶內(nèi)設(shè)置兩個采樣點。采樣點：截止頻率對應(yīng)的點〔由IDFT公式,根據(jù)H<k>得：5-11〔1由公式〔5.68求濾波器脈沖響應(yīng)長度N如下：〔2〔3〔4增加或減少長度N,將使濾波器的過度帶變窄或增寬?！?5-12<1>由公式〔5-68計算脈沖響應(yīng)長度：<2><3><4>增加N,過渡帶變窄,反之變寬。<5>5-13由于中點對稱,FIR具有線性相位。量化值：誤差：當(dāng)8比特時,,16比特時,顯然16比特量化時,可以比8比特量化的有更多的精度〔小數(shù)位數(shù),因此與實際設(shè)計精度更加接近,相應(yīng)的幅度響應(yīng)也更符合幅度指標。5-14：可直接根據(jù)公式<5.75>計算得歸一化因子：5-15根據(jù)對稱性,上式為：顯然,上式括號中的兩個余弦函數(shù)之和計算為零,因此但5-1:對照以上兩公式可知：因此：n<0n>4n=0n=1n=2n=3n=45-2理想低通濾波器的h<n>如下：,h<n>如圖5-2所示：圖5-2若要使h<n>變成因果系統(tǒng),則可將h<n>向右移3,使h<n>=h<n-3>.系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)如下：5-3<1>這是一個低通濾波器,通帶和阻帶各有三個波峰?！?因為以下的依據(jù)3dB下降作為通帶邊界頻率,可計算得到：〔3最小阻帶衰減5-4由分式〔5.39