中考數(shù)學(xué)專題-三角形全等與角平分線,垂直平分線

-.z.2017-2018學(xué)年中考數(shù)學(xué)專題---"三角形全等與角平分線，垂直平分線"一．選擇題〔每題3份，共計(jì)36分〕1．以下說法不正確的選項(xiàng)是〔〕A．如果兩個(gè)圖形全等，則它們的形狀和大小一定一樣B．圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)C．全等圖形的面積相等，面積相等的兩個(gè)圖形是全等圖形D．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等2．不能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是〔〕A．斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)相等 B．兩直角邊對(duì)應(yīng)相等C．一銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等 D．兩銳角對(duì)應(yīng)相等3．如圖為6個(gè)邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠2+∠3=〔〕A．90° B．135° C．150° D．180°4．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過B作BE⊥AD于E，過E作EF∥AC交AB于F，則A．AF=2BF B．AF=BF C．AF＞BF D．AF＜BF第4題圖第5題圖第6題圖5．如圖，△ABC中，∠B=∠C=∠EDF=α，BD=CF，BE=CD，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A．2α+∠A=180° B．α+∠A=90° C．2α+∠A=90° D．α+∠A=180°6．如圖，把一個(gè)等腰直角三角形放在間距是1的橫格紙上，三個(gè)頂點(diǎn)都在橫格上，則此三角形的斜邊長是〔〕A．3 B．C．2D．27．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∠C的平分線與∠ABC的外角的平分線交于E點(diǎn)，則∠AEB是〔〕A．50° B．45° C．40° D．35°第6題圖第7題圖第8題圖8．如圖，在△ABC中，AC=10，BC=8，AB垂直平分線交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長為〔〕A．14 B．16 C．18 D．209．AD和BE是△ABC的高，H是AD與BE或是它們的延長線的交點(diǎn)，BH=AC，則∠ABC的度數(shù)為〔〕A．45° B．135° C．60°或120° D．45°或135°10．如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B，D重合，AB=3，AD=4，則①DE=DF；②DF=EF；③△DCF≌△DGE；④EF=．上面結(jié)論正確的有〔〕A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)11．如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別為R、S，假設(shè)AQ=PQ，PR=PS，則這四個(gè)結(jié)論中正確的有〔〕①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)第10題圖第11題圖第12題圖12．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)〔點(diǎn)E不與A、B重合〕，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四邊形AEPF=S△ABC；④BE+CF=EF．上述結(jié)論中始終正確的有〔〕A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2017-2018學(xué)年中考數(shù)學(xué)專題---"三角形全等與角平分線，垂直平分線"題號(hào)123456789101112答案二．填空題〔共6小題〕13．如圖：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，假設(shè)AE=8，則DF等于．14．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分線交AB于D，交BC于E，假設(shè)CE=3，則BE=．第13題圖第14題圖第15題圖15．如圖，點(diǎn)O為∠CAB與∠ACD的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于E，假設(shè)OE=2，則點(diǎn)O到AB的距離與點(diǎn)O到CD的距離之和是．16．如圖，△ABC的兩邊AB和AC的垂直平分線分別交BC于D、E，假設(shè)邊BC長為5cm，則△ADE的周長為cm．17．如圖，直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3．把一塊含有45°角的直角三角板如下圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點(diǎn)D，則線段BD的長度為．第16題圖第17題圖第18題圖18．如下圖，將等腰直角三角形ABC放置到平面直角坐標(biāo)系中，直角頂點(diǎn)C在*軸上，點(diǎn)B在y軸上，反比例函數(shù)y=圖象過點(diǎn)A，假設(shè)點(diǎn)B與點(diǎn)C坐標(biāo)分別為〔0，1〕與〔﹣2，0〕，則k=．三．解答題〔19-21每題8分，22-25每題9分，共計(jì)60分〕19．如圖，∠C=∠F，AC∥EF，AE=BD，求證：①△ABC≌EDF；②BC∥DF．20．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高．求證：〔1〕∠DEF=∠DFE；〔2〕AD垂直平分EF．21．如圖：△ABC中，DE是BC邊的垂直平分線，垂足為E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延長線于N．求證：BM=．22．如圖，四邊形ABCD中，∠D=∠C=90°，AE平分∠BAD，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，且E在DC上．〔1〕求證：BE平分∠ABC；〔2〕求∠AEB；〔3〕求證：AD+BC=AB．23．如圖，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取點(diǎn)E，使得DE=DB，連接CE并延長，交邊AB于點(diǎn)F，連接DF．〔1〕求證：AB=CE；〔2〕求證：BF+EF=FD．24．如圖1，線段BE上有一點(diǎn)C，以BC，CE為邊分別在BE的同側(cè)作等邊三角形ABC，DCE，連接AE，BD，分別交CD，CA于Q，P．〔1〕證明：AE=BD〔2〕如圖2，取AE的中點(diǎn)M、BD的中點(diǎn)N，連接MN，試判斷三角形CMN的形狀，并說明理由．25．情景閱讀：如圖1，M是正方形ABCD的AB邊上的中點(diǎn)，MD⊥MH，且MH交正方形ABCD的外角∠CBE的平分線BH于點(diǎn)H．在AD上取中點(diǎn)G，連接MG，易證得：△MBH≌△DGM，則可得：MD=MH．建模遷移：如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC邊上的點(diǎn)，連接AM，過點(diǎn)M在AM右側(cè)作∠AMH=60°，與∠ACB的鄰補(bǔ)角∠A的平分線交于點(diǎn)H．〔1〕猜測(cè)驗(yàn)證：MA=MH；〔2〕初步應(yīng)用：點(diǎn)M在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，上述〔1〕中結(jié)論還成立嗎？說明理由；〔3〕延伸拓展：在〔2〕的條件下，過H作HN⊥BC，試說明CB，CM，之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．26．如圖，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直線BD與AE交于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，連接CF．〔1〕求證：△ACE≌△BCD；〔2〕求證：BF⊥AE；〔3〕請(qǐng)判斷∠CFE與∠CAB的大小關(guān)系并說明理由．27．如圖，在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長線上截取CG=AB，連結(jié)AD．AG．〔1〕求證：AD=AG；〔2〕AD與AG的位置關(guān)系如何．28．如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，EF垂直平分BD．求證：∠ABD=∠BDF．29．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC、BD，假設(shè)AB=AC且∠ABD=60°．求證：AB=BD+CD．30．如圖，等腰△ABC中，AC=BC，△BDC和△ACE分別為等邊三角形，AE與BD相交于點(diǎn)F，連接CF并延長，交AB于點(diǎn)G．求證：G為AB的中點(diǎn)．31．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，點(diǎn)E是AB上的點(diǎn)，∠ECD=45°，連接ED，過D作DF⊥BC于F，DF=BC．求證：ED﹣FC=BE．2017-2018學(xué)年中考數(shù)學(xué)專題---"三角形全等與角平分線，垂直平分線"參考答案與試題解析一．選擇題〔共12小題〕1．以下說法不正確的選項(xiàng)是〔〕A．如果兩個(gè)圖形全等，則它們的形狀和大小一定一樣B．圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)C．全等圖形的面積相等，面積相等的兩個(gè)圖形是全等圖形D．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等【解答】解：A．如果兩個(gè)圖形全等，則它們的形狀和大小一定一樣，正確，不合題意；B．圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)，正確，不合題意；C．全等圖形的面積相等，但是面積相等的兩個(gè)圖形不一定是全等圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，正確，不合題意；應(yīng)選：C．2．不能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是〔〕A．斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)相等 B．兩直角邊對(duì)應(yīng)相等C．一銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等 D．兩銳角對(duì)應(yīng)相等【解答】解：A、符合AAS，正確；B、符合HL，正確；C、符合ASA，正確；D、因?yàn)榕卸ㄈ切稳缺仨氂羞叺膮⑴c，錯(cuò)誤．應(yīng)選D．3．如圖為6個(gè)邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠2+∠3=〔〕A．90° B．135° C．150° D．180°【解答】解：如圖，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA〔SAS〕，∴∠1=∠4，∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，又∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．應(yīng)選B．4．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過B作BE⊥AD于E，過E作EF∥AC交AB于F，則〔〕A．AF=2BF B．AF=BF C．AF＞BF D．AF＜BF【解答】解：∵AD平分∠BAC，EF∥AC，∴∠FAE=∠CAE=∠AEF，∴AF=EF，∵BE⊥AD，∴∠FAE+∠ABE=90°，∠AEF+∠BEF=90°，∴∠ABE=∠BEF，∴BF=EF，∴AF=BF．應(yīng)選B．5．如圖，△ABC中，∠B=∠C=∠EDF=α，BD=CF，BE=CD，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A．2α+∠A=180° B．α+∠A=90° C．2α+∠A=90° D．α+∠A=180°【解答】解：A、正確．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C=α，∴2α+∠A=180°．B、錯(cuò)誤．不妨設(shè)，α+∠A=90°，∵2α+∠A=180°，∴α=90°，這個(gè)顯然與矛盾，故結(jié)論不成立．C、錯(cuò)誤．∵2α+∠A=180°，∴2α+∠A=90°不成立．D、錯(cuò)誤．∵2α+∠A=180°，∴α+∠A=180°不成立．應(yīng)選A．6．如圖，把一個(gè)等腰直角三角形放在間距是1的橫格紙上，三個(gè)頂點(diǎn)都在橫格上，則此三角形的斜邊長是〔〕A．3 B． C．2 D．2【解答】解：如下圖：作BD⊥a于D，CE⊥a于E，則∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE〔AAS〕，∴AE=BD=1，∵CE=2，∴由勾股定理得：AB=AC=，=，∴BC==．應(yīng)選：B．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∠C的平分線與∠ABC的外角的平分線交于E點(diǎn)，則∠AEB是〔〕A．50° B．45° C．40° D．35°【解答】解：∵E在∠C的平分線上，∴E點(diǎn)到CB的距離等于E到AC的距離，∵E在∠B的外角的平分線上，∴E點(diǎn)到CB的距離等于E到AB的距離，∴E點(diǎn)到AC的距離等于E到AB的距離，∴AE是∠BAC的外角的平分線．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，，∵EB是∠ABC的外角的平分線，∴∠ABE=60°，∴∠AEB=180°﹣60°﹣75°=45°．應(yīng)選B．8．如圖，在△ABC中，AC=10，BC=8，AB垂直平分線交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長為〔〕A．14 B．16 C．18 D．20【解答】解：∵邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，AC=6，BC=4，∴AD=BD，∴△BDC的周長=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=10+8=18．應(yīng)選C．9．AD和BE是△ABC的高，H是AD與BE或是它們的延長線的交點(diǎn)，BH=AC，則∠ABC的度數(shù)為〔〕A．45° B．135° C．60°或120° D．45°或135°【解答】解：有2種情況，如圖〔1〕，〔2〕，∵BH=AC，∠BEC=∠ADC，∠AHE=∠BHD，∠HAE+∠C=90°，∠HAE+∠AHE=90°，∴∠C=∠AHE，∴∠C=∠BHD，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD．如圖〔1〕時(shí)∠ABC=45°；如圖〔2〕時(shí)∠ABC=135°．∵HE⊥AC，∴∠C+∠EBC=90°①，∵∠HDC=90°，∴∠H+∠HBD=90°②，∵∠HBD=∠EBC③，∴由①②③可得，∠C=∠H，∵BH=AC，∠ADC=∠BDH，∠C=∠H，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD，∴∠ABD=45°，∠ABC=135°．應(yīng)選D．10．如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B，D重合，AB=3，AD=4，則①DE=DF；②DF=EF；③△DCF≌△DGE；④EF=．上面結(jié)論正確的有〔〕A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解；如圖作EM⊥BC于M．∵四邊形ABCD是矩形，四邊形EFDG是由四邊形ABEF翻折，∴∠ADC=∠GDF=∠C=∠G=90°，DC=DG=AB=3，AD=BC=4∴∠EDG=∠CDF，在△DEG和△DFC中，，∴△DEG≌△DFC．故③正確，∴DE=DF，故①正確，設(shè)DF=FB=*，則CF=4﹣*，在RT△DCF中，∵DF2=CD2+CF2，∴*2=〔4﹣*〕2+32，∴*=，∴DE=DF=，∵四邊形AEMB是矩形，∴AE=BM=，ME=AB=3，∴MF=BC﹣BM﹣CF=4﹣﹣〔4﹣〕=，在RT△EFM中，EF==．故④正確，②錯(cuò)誤．假設(shè)DF=EF，∵DE=DF，∴EF=DE=DF，∴△DEF是等邊三角形，∴∠DFE=60°，∴∠BFE=∠DFE=∠DFC=60°，這顯然不可能，假設(shè)不成立，故②錯(cuò)誤．故正確的有3個(gè)，選C11．如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別為R、S，假設(shè)AQ=PQ，PR=PS，則這四個(gè)結(jié)論中正確的有〔〕①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【解答】解：〔1〕PA平分∠BAC．∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，∴△APR≌△APS，∴∠PAR=∠PAS，∴PA平分∠BAC；〔2〕由〔1〕中的全等也可得AS=AR；〔3〕∵AQ=PR，∴∠1=∠APQ，∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，又∵PA平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∴∠PQS=∠BAC，∴PQ∥AR；〔4〕∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠CSP，∵PR=PS，∴△BRP不一定全等與△CSP〔只具備一角一邊的兩三角形不一定全等〕．應(yīng)選B．12．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)〔點(diǎn)E不與A、B重合〕，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四邊形AEPF=S△ABC；④BE+CF=EF．上述結(jié)論中始終正確的有〔〕A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【解答】解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE=∠CPF，∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，∴AP=CP，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF〔ASA〕，同理可證△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四邊形AEPF=S△ABC，①②③正確；故AE=FC，BE=AF，∴AF+AE＞EF，∴BE+CF＞EF，故④不成立．始終正確的選項(xiàng)是①②③．應(yīng)選B．二．填空題〔共6小題〕13．如圖：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，假設(shè)AE=8，則DF等于4．【解答】解：作DG⊥AC，垂足為G．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，∴∠DEG=15°×2=30°，∴ED=AE=8，∴在Rt△DEG中，DG=DE=4，∴DF=DG=4．故答案為：4．14．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分線交AB于D，交BC于E，假設(shè)CE=3，則BE=3．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB．故∠B=∠EAB=22.5°，所以∠AEC=45°．又∵∠C=90°，∴△ACE為等腰三角形所以CE=AC=3，故可得AE=3．故答案為：3．15．如圖，點(diǎn)O為∠CAB與∠ACD的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于E，假設(shè)OE=2，則點(diǎn)O到AB的距離與點(diǎn)O到CD的距離之和是4．【解答】解：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，∵點(diǎn)O為∠CAB與∠ACD的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC，OG⊥AB，OH⊥CD，∴OG=OE=2，OH=OE=2，∴OG+OH=4，∴點(diǎn)O到AB的距離與點(diǎn)O到CD的距離之和是4，故答案為：4．16．如圖，△ABC的兩邊AB和AC的垂直平分線分別交BC于D、E，假設(shè)邊BC長為5cm，則△ADE的周長為5cm．【解答】解：∵△ABC的兩邊AB和AC的垂直平分線分別交BC于D、E，∴AD=BD，AE=EC，∵邊BC長為5cm，∴BD+DE+EC=5cm，∴AD+ED+AE=5cm，故答案為：5．17．如圖，直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3．把一塊含有45°角的直角三角板如下圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點(diǎn)D，則線段BD的長度為．【解答】解：別過點(diǎn)A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，在△BCE與△ACF中，∴△BCE≌△ACF〔ASA〕∴CF=BE，CE=AF，∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，∴CF=BE=3，CE=AF=3+1=4，在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，∴AC=5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴，∴∴在Rt△BCD中，∵CD=，BC=5，所以BD==．故答案為：．18．如下圖，將等腰直角三角形ABC放置到平面直角坐標(biāo)系中，直角頂點(diǎn)C在*軸上，點(diǎn)B在y軸上，反比例函數(shù)y=圖象過點(diǎn)A，假設(shè)點(diǎn)B與點(diǎn)C坐標(biāo)分別為〔0，1〕與〔﹣2，0〕，則k=﹣6．【解答】解：過A點(diǎn)作AD⊥*軸，作AE⊥y軸，∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴AC=CB，∵∠ACD+∠CAD=∠ACD+∠BCO，∴∠CAD=∠BCO，在△ADC與△COB中，△ADC≌△COB，∴AD=CO=2，CD=BO=1，∴OD=DC+CO=3，∴矩形ADOE的面積是3×2=6，∴k=﹣6．故答案為：﹣6．三．解答題〔共13小題〕19．如圖，∠C=∠F，AC∥EF，AE=BD，求證：①△ABC≌EDF；②BC∥DF．【解答】證明：①∵AE=BD，∴AE+EB=BD+EB，即AB=ED，∵AC∥EF，∴∠A=∠FED，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌EDF；②∵△ABC≌EDF，∴∠ABC=∠D，∴BC∥DF．20．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高．求證：〔1〕∠DEF=∠DFE；〔2〕AD垂直平分EF．【解答】證明：〔1〕∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE；〔2〕在Rt△AED和Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE=AF，而DE=DF，∴AD垂直平分EF．21．如圖：△ABC中，DE是BC邊的垂直平分線，垂足為E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延長線于N．求證：BM=．【解答】證明：連接BD，DC，如圖：∵DE所在直線是BC的垂直平分線，∴BD=CD，∵AD平分∠BAC，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)N，∴DM=DN，在Rt△BMD與Rt△CDN中，，∴Rt△BMD≌Rt△CDN〔HL〕，∴BM=；22．如圖，四邊形ABCD中，∠D=∠C=90°，AE平分∠BAD，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，且E在DC上．〔1〕求證：BE平分∠ABC；〔2〕求∠AEB；〔3〕求證：AD+BC=AB．【解答】〔1〕證明：過E作EF⊥AB于F，∵∠D=90°，AE平分∠BAD，∴EF=DE，∵E為DC中點(diǎn)，∴DE=EC，∴EF=EC，∵EF⊥AB，∠C=90°，∴BE平分∠ABC；〔2〕解：延長AE、BC交于點(diǎn)M，∵AD∥BC∴∠DAE=∠CME，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAM，∴∠BAM=∠CME，∴AB=BM，在△ADE和△MCE中∴△ADE≌△MCE，∴AE=EM，∠DAE=∠M∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠M=∠BAE，∴AB=BM，∵AE=EM，∴BE⊥AM，∴∠AEB=90°；〔3〕證明：∵△ADE≌△MCE，∴AD=CM，∵AB=BM，BM=BC+CM，∴AD+BC=AB．23．如圖，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取點(diǎn)E，使得DE=DB，連接CE并延長，交邊AB于點(diǎn)F，連接DF．〔1〕求證：AB=CE；〔2〕求證：BF+EF=FD．【解答】證明：〔1〕∵AD是△ABC的高，∠ACB=45°，∴∠ADB=∠CDE=90°，△ACD是等腰直角三角形，∴AD=CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED〔SAS〕，∴AB=CE；〔2〕如圖，在EC上截取EG=BF，∵△ABD≌△CED，∴∠B=∠CED，在△BDF和△EDG中，，∴△BDF≌△EDG〔SAS〕，∴DF=DG，∠BDF=∠EDG，∴∠FDG=∠FDE+∠EDG=∠FDE+∠BDF=∠ADB=90°，∴△DFG是等腰直角三角形，∴BF+EF=EG+EF=FG=FD，故BF+EF=FD．24．如圖1，線段BE上有一點(diǎn)C，以BC，CE為邊分別在BE的同側(cè)作等邊三角形ABC，DCE，連接AE，BD，分別交CD，CA于Q，P．〔1〕找出圖中的所有全等三角形．〔2〕找出一組相等的線段，并說明理由．〔3〕如圖2，取AE的中點(diǎn)M、BD的中點(diǎn)N，連接MN，試判斷三角形CMN的形狀，并說明理由．【解答】解：〔1〕△BCD≌△ACE；△BPC≌△AQC；△DPC≌△EQC〔2〕BD=AE．理由：等邊三角形ABC、DCE中，∵∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE〔SAS〕，∴BD=AE．〔3〕等邊三角形．理由：由△BCD≌△ACE，∴∠1=∠2，BD=AE．∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)、N是BD的中點(diǎn)，∴DN=EM，又DC=CE．在△D和△ECM中，，∴△D≌△ECM〔SAS〕，∴=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°．∴∠NCD+∠DCM=60°，即∠NCM=60°，又∵CM=，∴△CMN為等邊三角形．25．情景閱讀：如圖1，M是正方形ABCD的AB邊上的中點(diǎn)，MD⊥MH，且MH交正方形ABCD的外角∠CBE的平分線BH于點(diǎn)H．在AD上取中點(diǎn)G，連接MG，易證得：△MBH≌△DGM，則可得：MD=MH．建模遷移：如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC邊上的點(diǎn)，連接AM，過點(diǎn)M在AM右側(cè)作∠AMH=60°，與∠ACB的鄰補(bǔ)角∠A的平分線交于點(diǎn)H．〔1〕猜測(cè)驗(yàn)證：MA=MH；〔2〕初步應(yīng)用：點(diǎn)M在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，上述〔1〕中結(jié)論還成立嗎？說明理由；〔3〕延伸拓展：在〔2〕的條件下，過H作HN⊥BC，試說明CB，CM，之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．【解答】證明：〔1〕如圖2，過M點(diǎn)作MD∥AC交AB于D，則BM=BD，∠ADM=120°∵AB=BC，∴AD=MC，∵CH是∠ACB外角平分線，所以∠ACH=60°，∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，又∵∠DMC=120°，∠AMH=60°，∴∠HMC+∠AMD=60°又∵∠DAM+∠AMD=∠BDM=60°，∴∠HMC=∠MAD，在△ADM和△MCH中，，∴△AMD≌△MHC〔ASA〕，∴MA=MH；〔2〕成立，如圖3，過M點(diǎn)作MD∥AB交AC延長線于D，∵M(jìn)D∥AB，∴∠D=∠BAC=60°，∴∠ACB=60°，∴∠DCM=60°，∴∠DMC=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CDM是等邊三角形，∴CM=MD，∵∠AMH=60°，∠CMD=60°，∴∠AMH+∠1=∠CMD+∠1，即∠AMD=∠CMH，在△AMD和△HMC中，，∴△AMD≌△HMC，∴MA=MH；〔3〕由〔2〕證得△AMN≌△HMC，∴AN=CH，∵∠HDC=90°，∠HCD=60°，∴∠CHD=30°，∴CH=2CD，∵AC=BC，=CM∴AN=AC+=BC+=CB+CM，∵AN=CH，2CD=CB+CM，即：CB=2CD﹣CM．26．如圖，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直線BD與AE交于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，連接CF．〔1〕求證：△ACE≌△BCD；〔2〕求證：BF⊥AE；〔3〕請(qǐng)判斷∠CFE與∠CAB的大小關(guān)系并說明理由．【解答】證明：〔1〕∵BC⊥CA，DC⊥CE，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD與△ACE中，，∴△ACE≌△BCD；〔2〕∵△BCD≌△ACE，∴∠CBD=∠CAE，∵∠BGC=∠AGE，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴BF⊥AE；〔3〕∠CFE=∠CAB，過C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，∵△BCD≌△ACE，∴AE=BD，S△ACE=S△BCD，∴CH=CI，∴CF平分∠BFH，∵BF⊥AE，∴∠BFH=90°，∠CFE=45°，∵BC⊥CA，BC=CA，∴△AB