教案醫(yī)學(xué)物理學(xué)

P*F

zM

rO

dM

Fr

sin

Fdd

:力臂作用在剛體上點(diǎn)

P

,且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),作用點(diǎn)P

的徑矢.r

為由點(diǎn)O

到力的M

r

FF

對(duì)轉(zhuǎn)軸Z

的力

矩

Fi

0

,

Mi

0

Fi

0

,

Mi

0

F

FF

F—

力矩剛體繞O

z

軸旋轉(zhuǎn),力FMzkOrM k

r

Fz

rF

sinMz

FzFF1）若力F

不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂2）合力矩等于各分力矩的矢量和M

M1

M

2

M3

力矩直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量F

Fz

F其中Fz

對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故

F

對(duì)轉(zhuǎn)軸的3）

剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消rjri

ijFijFjidOMijM

jiMij

M

ji例1

有一大型水壩高110m、長(zhǎng)1000m，水深100m，水面與大壩表面垂直，

.

求作用在大壩上的力，以及這個(gè)力對(duì)通過(guò)大壩基點(diǎn)

Q

且與

x

軸平行的力矩.yhyxdAdyyO

Q

O解設(shè)水深h，壩長(zhǎng)L，在壩面上取面積元dA

Ldy作用在此面積元上的力dF

pdA

pLdyx200012gLh

g(h

y)]Ldy

p

Lh

hF

[

p代入數(shù)據(jù)，得F

5.911010

NyOhyxdAdyh

100mdF

pdA

pLdy令大氣壓為p0

，則p

p0

g(h

y)dF

[

p0

g(h

y)]LdyL

1000m320612p

Lh

gLhdM

y[

p0

g(h

y)]Ldyh0y[

p0

g(h

y)]Ldy1M

代入數(shù)據(jù)，得M

2.141012

NmyOh

yQdy

dF

dF

[p0

g(h

y)]LdydF

對(duì)通過(guò)點(diǎn)Q

的軸的力矩dM

ydFh

100mL

1000mO

rmzFFtFn2j

jijM

ej

M

m

r

2）剛體質(zhì)量元受外力F

，內(nèi)力Fej

ijM軸剛性連接Ft

mat

mrM

rF

sin二

轉(zhuǎn)動(dòng)定律1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)m

與轉(zhuǎn)外力矩內(nèi)力矩2M

mr

tM

rF

mr

2OzjrjFejmFij剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比.j j2ijejm

r

αM

M

Mij

0jj j

Mij

M

ji)αj

jj2ejm

rM

(轉(zhuǎn)動(dòng)定律M

Jj

jjm

r

2J

定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2J

r

dmOzrjFejm

jFij轉(zhuǎn)動(dòng)定理：在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,合力矩等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積M

J

F

m

a對(duì)比：設(shè)剛體繞固定軸Oz以角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)nE

kΔm

v2i

ii

1

21221

n2

i1i iΔm

rxio

rimvi所有質(zhì)量單元繞Oz軸作圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能的總和為：4-4

三、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

（P.117

P.125）vi

ri利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義：2i

im

rJ

得到剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的一般表達(dá)式k2E

1

J

222n

i1

i

ikΔ

m

r

E

1

2對(duì)比平動(dòng)動(dòng)能：k2E

1

mv22

j

jjm

r

,

J

r

2dmJ

三

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量22

22

2m

r

m

rm

r

J

j

j

1

1轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的計(jì)算方法j質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量j

j2jm

r

r2dmJ

：質(zhì)量元dm：質(zhì)量線密度

對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：dm

dl：質(zhì)量體密度

對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：dm

dS

：質(zhì)量面密度

對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：dm

dV：質(zhì)量元質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量jj

jr2dm

dm2m

r

J

l解設(shè)棒的線密度為

，取一距離轉(zhuǎn)軸

OO′

為r處的質(zhì)量元dm

drl02r

drJ

dr302112l

/

2lr

dr

J

213ml

2O

rO′通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.例2

一質(zhì)量為

m

、長(zhǎng)為l

的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求drl

2

l

2O′O12

1

ml

2dJ

r

2dm

r

2dr如轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒R403π

RR22π

r

dr

J

drO

r例3

一質(zhì)量為

m

、半徑為

R

的均勻圓盤(pán)，求通過(guò)盤(pán)中心

O

并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.的圓環(huán)在盤(pán)上取半徑為r

，寬為dr解設(shè)圓盤(pán)面密度為

，

m

π

R2而dm

2π

rdr圓環(huán)質(zhì)量J

1

mR22所以圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dJ

r

2dm

2π

r3drCOJ

J

md

2四 平行軸定理P轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置.質(zhì)量為m

的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC

，則對(duì)任一與該軸平行，相距為d的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Cdm

O注意2PJ

1

mR2

mR2圓盤(pán)對(duì)P

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量RO

m幾種常見(jiàn)形狀的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為

R、質(zhì)量為mC

的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為

mB

的物體B

上.滑輪與繩索間沒(méi)有滑動(dòng)，滑輪與軸承間的摩擦力略去不計(jì).問(wèn):水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？例2

質(zhì)量為

mA

的物體

AACmAmB

BCmABCmAmBCmT1FFT2APOFT1xFNAmyPBFT2OmBFT1

mAamB

g

FT2

mBaRFT2

RFT1

Ja

R解A、B

及滑輪作受力分析，運(yùn)用第二定律、轉(zhuǎn)動(dòng)定律：T2FFT1PCCF21J

mC

R2m

gmA

mB

mC

2a

B

mA

mB

gmA

mB

mC

2FT1

T2FmA

mB

mC

2

(mA

mC

2)mB

gAmACC

mFT1FT2mB

B開(kāi)始繞鉸鏈O

轉(zhuǎn)角時(shí)的角加速度例3

一長(zhǎng)為

l

質(zhì)量為m

勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈

O

相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng).

由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成和角速度.解

細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力FN作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得21

mgl

sin

JJ

1

ml23

d

d

d

ddt

d

dt

d2l得

3g

sin由角加速度的定義2ld

3g

sind代入初始條件積分得l

3g

(1

cos

)2式中1

mgl

sin

J—

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律4-3

角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律v1

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

L

r

p

r

mvrvLrxLzmo

y點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)以速度v在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn)O

的位矢為r，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原大小L

rmv

sin

L

的方向符合右手法則.

L

p

r

mvrLrpmo角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)以角速度

作半徑為r

的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的L

mr

2

J

dt

dt (r

p)

r

dp

dr

pdt

dtdL

d

dt

r

dp

r

FdtdLdtdr

v

0v

p2

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理L

prdLdtM

作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn)

O

的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)

O

的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率.

dt

r

dp

r

FdtdL質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)所合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量為一恒矢量.恒矢量3

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律M

0,

L

dL

dtM

沖量矩tM

dtt21質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量.1t2t

Mdt

L2

L1dLdtM

二

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量i

ii

i

i

i

iL

2m

r

v

(

m

r

)L

JOrimiviz剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理M

dL

d(J

)dt

dt剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律L

J

常量M

0

，則若剛體組繞同一轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),

系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持恒定，有兩種情形：一是系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的大小均保持不變；另一種是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變,角速度的大小也同時(shí)改變但兩者的乘積保持不變。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變,角速度的大小也同時(shí)改變，但兩者的乘積保持不變。質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量速度加速度vma轉(zhuǎn)動(dòng)慣量角速度Fp

mv動(dòng)量動(dòng)能合外力2E

1

mv

2動(dòng)能合外力矩

M

Fr轉(zhuǎn)動(dòng)定律d

pF

d

tF

ma合外力為零，動(dòng)量守恒。d

Ld

tM 合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。M

J2E

1

J

2角加速度J或L

mvr角動(dòng)量L

JtdW

F

dr

F

ds

Ft

rddW

Md1W

2

Md力矩的功4-4

力矩作功— 力矩作功FoxrrtF

vdrdP

dW

M

d

Mdt

dt二

力矩的功率dW

Md221i

ikm

vE

i222212三

轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能（前面已

過(guò)）1ii

mJr

)(i2122121JJ

12W

2

Md

四

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理21Md合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛