熱學(xué)課件：第4章 分子動(dòng)理論的平衡態(tài)理論

第四章分子動(dòng)理論的平衡態(tài)理論§4-1分子動(dòng)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)熱物理學(xué)的微觀理論應(yīng)由分子動(dòng)理論、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)與非平衡態(tài)理論三部分組成。一、分子動(dòng)理論的創(chuàng)立和發(fā)展1.氣體壓強(qiáng)的初步認(rèn)識(shí)。2.提出熱是分子運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)。3.統(tǒng)計(jì)物理學(xué)開始萌芽?？藙谛匏?/p>

—?dú)怏w壓強(qiáng)公式玻爾茲曼

—外力場(chǎng)中自由粒子的分布麥克斯韋

—分子速度分布率分子動(dòng)理學(xué)考慮到分子與分子間、分子與器壁間頻繁的碰撞，考慮到分子間有相互作用力，利用力學(xué)定律和概率論來(lái)討論分子運(yùn)動(dòng)及分子碰撞的詳情。它的最終目標(biāo)是描述氣體由非平衡態(tài)轉(zhuǎn)入平衡態(tài)的過(guò)程。

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是從對(duì)物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)和相互作用的認(rèn)識(shí)出發(fā)，采用概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)說(shuō)明或預(yù)言由大量粒子組成的宏觀物體的物理性質(zhì)。吉布斯

—平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)物理體系二、兩種理論的區(qū)別與聯(lián)系

相同點(diǎn)：兩種理論都可認(rèn)為是一種理論，它們都作一些假設(shè)，其結(jié)論都應(yīng)接受實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)，故其普遍性不如熱力學(xué)。三、非平衡態(tài)理論1.對(duì)輸運(yùn)現(xiàn)象的解釋。2.氣體分子平均自由程的引入。如瀉流、擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)等§4-2概率論的基本知識(shí)

一、等概率性

若在相同條件下重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)，在總次數(shù)N足夠多的情況下，計(jì)算所出現(xiàn)某一事件的次數(shù)NL

，則這一事件出現(xiàn)的百分比就是該事件出現(xiàn)的概率：等概率原理：對(duì)于平衡態(tài)的孤立體系，總能量相等的各種微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。伽爾頓板實(shí)驗(yàn).......................................................................................................................................粒子數(shù)按空間位置分布曲線

粒子落入其中一格是一個(gè)偶然事件，大量粒子在空間的分布服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。二、統(tǒng)計(jì)規(guī)律1、概率性..............................終了..............................擴(kuò)散隔板..............................開始2、方向性..............................開始..............................匯聚隔板..............................終了自由收縮可能不可能自由膨脹（1）統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的論斷不是決定性的，實(shí)際上是一種概率性。（2）宏觀過(guò)程的不可逆性，與大量分子所服從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性直接有關(guān)。（3）組成熱力學(xué)體系的單個(gè)分子服從力學(xué)規(guī)律；整個(gè)體系則遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。統(tǒng)計(jì)規(guī)律性是比機(jī)械運(yùn)動(dòng)更高級(jí)的熱運(yùn)動(dòng)的基本法則。（4）只對(duì)大量個(gè)別偶然事件的整體才起作用（5）個(gè)別偶然事件的數(shù)量越多，規(guī)律越準(zhǔn)確統(tǒng)計(jì)規(guī)律與動(dòng)力學(xué)規(guī)律不同的特點(diǎn)：

概率相加法則：n個(gè)互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個(gè)事件發(fā)生概率之和。概率相乘法則：互不相關(guān)的事件發(fā)生的總概率等于各個(gè)事件的概率之積。

相對(duì)均方根偏差表示了隨機(jī)變量在平均值附近分散開分布的程度，也稱為漲落、散度或散差。三、概率的基本性質(zhì)漲落現(xiàn)象是實(shí)際出現(xiàn)的情況與統(tǒng)計(jì)規(guī)律發(fā)生偏離的現(xiàn)象，也就是某一次觀測(cè)量與按統(tǒng)計(jì)規(guī)律求出的平均量之間出現(xiàn)偏離的現(xiàn)象。即使對(duì)于大量的個(gè)別偶然事件的整體來(lái)說(shuō)，也存在漲落。

這種現(xiàn)象是統(tǒng)計(jì)規(guī)律所特有的，但只要構(gòu)成整體的個(gè)別事件的數(shù)量越大，則漲落現(xiàn)象就越不顯著。伽爾頓板實(shí)驗(yàn).......................................................................................................................................xxΔxxΔN+Δx的粒子數(shù)粒子數(shù)按空間位置X分布曲線

§4-3

麥克斯韋速率分布一、概率分布函數(shù)設(shè)第i個(gè)狹槽中累積的球的高度為hi

則狹槽內(nèi)球占據(jù)的面積為△Ai，△Ni正比于面積于是每個(gè)球落入第i

個(gè)狹槽的概率為hi△xihx令N為球總數(shù)△Ni=C△Ai=Chi△Xi增量變?yōu)槲⒎智蠛妥優(yōu)榉e分令則

f（x）稱為球沿x

的分布函數(shù)，它代表了小球落入x

附近單位區(qū)間的概率dF（x）/dx，或是球落在x處的概率密度。φωωL金屬蒸汽方向選擇速率選擇器屏vt=φ2ωLvωφ=Lv1t=1tt=令得：2通過(guò)改變?chǔ)乜色@得不同速率區(qū)間的分子。

只有滿足此條件的分子才能同時(shí)通過(guò)兩縫。

二、分子速率分布的測(cè)定—斯特恩實(shí)驗(yàn)分子實(shí)速驗(yàn)率數(shù)分據(jù)布的100~200200~300300~400400~500500~600600~700700~800800~900900100＜＞20.6%1.4%8.1%16.5%21.4%15.1%9.2%4.8%2.0%0.9%速率區(qū)間百分?jǐn)?shù)(m/s)

1859年麥克斯韋從理論上得到速率分布定律。

1920年斯特恩從實(shí)驗(yàn)上證實(shí)了速率分布定律。速率分布函數(shù)：dN=N1dv(v)vfo24mv=vπ()mπ32e2kT22kTΔfv(v)=limΔ0NΔNvΔv+vv的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比ΔNN：Δvvv+的分子數(shù)ΔN

：三、麥克斯韋分子速率分布定律

圖中小矩形面積歸一化條件：

此式的物理意義是所有速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)百分比之和應(yīng)等于1。f(v)dv=dNdvdNN=dN.v

的表示vvdv+速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。在8f(v)dv0=1dvvf(v)=dvNdNvf(v)vvdv+

表示氣體中任一分子具有的速率在區(qū)間的概率

此式的物理意義是任一分子可能出現(xiàn)在0∞速率區(qū)間的概率為1。dvvf(v)=dvNdNvf(v)

圖中小矩形面積f(v)dv=dNdvdNN=dN.v歸一化條件：8f(v)dv0=1

因?yàn)樘幱谄胶鈶B(tài)的分子源中氣體分子的平均速度為零，故

f（v）dv

是靜態(tài)的速率分布。而分子束中的分子作勻速運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)（v）dv

是動(dòng)態(tài)的，表示粒子通量的速率分布。

分子束速率分布與分子速率分布在分子射線束實(shí)驗(yàn)中，真空加熱爐中金屬蒸氣的分子速率分布f（v）dv與從加熱爐壁小孔逸出的分子束速率分布F（v）dv

不同。4、歸一化系數(shù)24

A=π()mπ32kT3、v2是一增函數(shù)，是一減函數(shù)，相乘的函數(shù)應(yīng)有極值。概率取極大值時(shí)的速率稱為最可幾速率（最概然速率）1、麥克斯韋速率分布適用于平衡態(tài)理想氣體，它僅是分子質(zhì)量與氣體溫度的函數(shù)

2、麥克斯韋速率分布本身是統(tǒng)計(jì)平均的結(jié)果，只對(duì)由大量分子構(gòu)成的氣體這一宏觀系統(tǒng)才起作用。

四.三種速率

1.平均速率12表示vv的分子總數(shù)。1NN1v22=vΔΔΔ+++vv...NNNNvf(v)

dvv12NvNΣ=ΔNii當(dāng)ΔNi0時(shí)vf(v)

dv=08=8RTπMmol=8kTπmvdNv=dNN=v()Ndvdv

2.方均根速率=0Mmolvf(v)dv

v228=3RTvf(v)OT低T高vf(v)Om大m小=3RTMmol2v=3kTm由ef(v)ev=0得：vvv2＞＞p

3.最可幾速率vvvvp2f(v)ovp=2RTMmol=2kTm分子在從0到∞可能具有的各種速率中，以取這種速率附近的值的機(jī)會(huì)最多。vvpf(v)o（1）在vp左右兩側(cè)并不是對(duì)稱的，分子的最低速率為零，最高無(wú)極限；（2）vp右側(cè)曲線下的面積大于vp左側(cè)曲線下的面積，說(shuō)明速率大于vp的分子數(shù)比速率小于vp的分子數(shù)多。麥克斯韋速率分布（speeddistribution）圖線（3）f（v）在達(dá)到極值前，曲線上升得陡些，而達(dá)到極大值后，則下降得平緩些。幾種速率之間的區(qū)別：

最可幾速率是與分布函數(shù)極大值對(duì)應(yīng)的速率。在討論速率分布，比較兩種不同溫度或不同分子質(zhì)量的氣體的分布曲線時(shí)用它;

平均速率是大量分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)速率的算術(shù)平均值，在計(jì)算分子平均自由程、氣體分子之間碰撞頻率時(shí)則用它。

均方根速率是大量分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)速率平方的平均值的平方根。在計(jì)算分子平均動(dòng)能時(shí)用它。表示速率在va

vb

之間的速率總和。(1)例1：試說(shuō)明下列各表達(dá)式的物理意義。表示速率在vv+dv

之間的粒子數(shù)。(2)表示速率在va

vb

之間的粒子數(shù)。(3)例2：用總分子數(shù)N，氣體分子速率v

和速率分布函數(shù)f(v)

來(lái)表示下列各物理量。(1)速率大于vo

的分子數(shù)(2)速率大于vo

的那些分子的平均速率(3)速率大于

vo

的概率

例3：氣缸有單原子理想氣體，若絕熱壓縮使容器減少一半，問氣體分子的平均速率變?yōu)樵瓉?lái)的幾倍？解：絕熱過(guò)程單原子分子γ=5/3

例4：求速率在Vp與1.01Vp之間的氣體分子數(shù)占百分之幾?△v=0.01

vp=f(v)△v△NN24=vpπ()mπ32emvp2kT22kT△vvp=2kTm4=vpπ()13222e1（0.01vp）vp√△NN=83%解：

例5：

設(shè)N個(gè)粒子的系統(tǒng)的速率分布函數(shù)為：>0，NVvKd()=vdv>k為常量()Nd=v0>Vv(1)畫出分布函數(shù)圖；(2)用N和V定出常量K；(3)用V

表示出算術(shù)平均速率和方均根速率。kNdvvdVvO解：(1)分布函數(shù)如圖=ò0ò0VNdvNkvd=v2ò0ò0VNdNkvdv221=13V==ò0ò0VNdNkvdvv2V(3)k=Ndvvd(2)k=NVk=NV∴kNVvOf（v）§4-4

麥克斯韋速度分布一、速度空間

以速度矢量的三個(gè)分量為軸組成的直角坐標(biāo)系所確定的空間為速度空間。vxvyvzOPvvxvyvz...................................................................................................................................................................................................速度空間的代表點(diǎn)在vx

vx+dvx，

vy

vy+dvy，vz

vz+dvz區(qū)間內(nèi)劃出一個(gè)體積為dvxdvydvz微分元。微分元中的代表點(diǎn)數(shù)目：代表點(diǎn)：在速度空間，僅以速度矢量的端點(diǎn)來(lái)表示這一矢量的點(diǎn)。vzvxvyOdvzdvydvx

dN（vxvyvz）速度分布函數(shù)：

f（vxvyvz）vzvxvyOdvydvx

在速度空間中劃出一個(gè)垂直于Vx軸的厚度為dVx的無(wú)窮大平板，不管速度y、z

的分量如何，只要速度的x

分量在Vx

Vx+dVx范圍內(nèi)，則所有這些分子的代表點(diǎn)都落在此平板中。

f（Vx）dVx

為分子x

方向速度的概率分布函數(shù)。由相互獨(dú)立的同時(shí)事件概率相乘法則可知：二、麥克斯韋速度分布其中vxf(vx)o麥克斯韋速度分布（velocitydistribution）圖線（1）分子按速度分量vx

的分布圖線是一條關(guān)于

vx

=0值對(duì)稱的曲線。（2）在相等的速率間隔dvx中，|

vx|越小的分子所占比率越大。在vx

=0附近的比率最大。三、從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率分布

在速度空間中，所有分子速率介入vv+dv

范圍內(nèi)的分子的代表點(diǎn)應(yīng)落在以原點(diǎn)o為球心，v為半徑，厚度為dv

的一薄層球殼中。球殼的體積為4πv2dvvyvxvZV+dVOdV

麥克斯韋速度分布不考慮氣體分子間的相互作用，只適用處于平衡態(tài)的理想氣體。代表點(diǎn)的數(shù)密度

根據(jù)分子各向同性的假設(shè)，球殼內(nèi)代表點(diǎn)數(shù)為§4-5

氣體分子碰壁數(shù)及其應(yīng)用一、由麥克斯韋速度分布導(dǎo)出氣體分子碰壁數(shù)氣體分子碰壁總數(shù)等于單位體積內(nèi)速度在vv+dv范圍的分子數(shù)與體積元的體積之積xOdAvxdtvydtvzdtzy單位時(shí)間內(nèi)碰在單位面積上總分子數(shù)為二、氣體壓強(qiáng)公式氣體分子由于碰撞而給予面元dA的總沖量為xOdAvxdtvydtvzdtzyVx

＜0

的分子碰不到面元dA§4-6玻爾茲曼分布一、玻爾茲曼分布

麥克斯韋速度分布率麥克斯韋速度分布推廣到處于保守力場(chǎng)中的氣體。在平衡態(tài)，速度在(vx

,vy

,vz

)

到(vx

+dvx

,vy+dvy

,vz+dvz

)，而位置在(x,y,z)到(x+dx,y+dy,z+dz)范圍內(nèi)的分子數(shù)為：式中no

是在氣體分子的勢(shì)能為零處，單位體積中所包含的各種速度的分子總數(shù)。

=ｋ+p

為分子的總能量二、氣體分子按勢(shì)能分布在坐標(biāo)區(qū)間

xx+dx，yy+dy，zz+dz

內(nèi)具有所有各種速度的分子數(shù)為：根據(jù)歸一化條件，上式積分項(xiàng)的數(shù)值為1。此式即分子按勢(shì)能的分布規(guī)律，是玻爾茲曼分布律的一種常用形式。

表示分子處于勢(shì)能較高的位置的概率較小，即分子將優(yōu)先占據(jù)勢(shì)能較低的狀態(tài)。若在重力場(chǎng)中P=mgz，則任意高度z

處單位體積內(nèi)的分子數(shù)為：在勢(shì)能P處，單位體積中具有各種速度的分子數(shù)n

為：此式即重力場(chǎng)中微粒按高度的分布規(guī)律。

大氣標(biāo)高H是粒子按高度分布的特征量，它反映了氣體分子熱運(yùn)動(dòng)與分子受重力場(chǎng)作用這一對(duì)矛盾。在重力場(chǎng)中氣體的分子數(shù)密度n隨高度的增大按指數(shù)減小。

玻爾茲曼分布是普遍的規(guī)律。對(duì)于處于平衡態(tài)氣體中的原子、分子、布朗粒子及液體、固體中的很多粒子，一般都可用玻爾茲曼分布（粒子之間相互作用很小可予忽略）。在溫度一定時(shí)，大氣壓強(qiáng)隨高度按指數(shù)規(guī)律減小。

它表示處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，在兩個(gè)不同能量狀態(tài)上的粒子數(shù)的比值與系統(tǒng)的溫度及能量之差之間有確定的關(guān)系。

玻爾茲曼因子表示在一定溫度時(shí)，分子或粒子處于能量差為ε1－ε2

兩種不同狀態(tài)上的粒子數(shù)密度之比。例6：求上升到什么高度時(shí)大氣壓強(qiáng)減為地面的75%？設(shè)空氣溫度為0C，

空氣的摩爾質(zhì)量為0.0289

Kg/mol。解：能量按自由度均分定理

確定一質(zhì)點(diǎn)在空間的位置需要三個(gè)坐標(biāo)

1.質(zhì)點(diǎn)及剛性桿的自由度

一、自由度確定一剛性桿子在空間位置需要六個(gè)坐標(biāo)12222111MM())(xxyyzz,,,,,2MM1l約束條件：y111=xzzxy()))((222222++l6個(gè)坐標(biāo)中只有5個(gè)是獨(dú)立的。

自由度:描述一物體在空間位置所需之獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。GαβγxyzoPθG：x,y,z繞GP轉(zhuǎn)角：θ約束條件：αγβcoscoscos2221=++剛體自由度數(shù)6{平動(dòng)自由度3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度3個(gè)

2.

剛體的自由度獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)——6個(gè)αβγ,,GP：火車：被限制在一曲線上運(yùn)動(dòng)，自由度為1；飛機(jī)：自由度為3（經(jīng)度、緯度、高度）輪船：被限制在一曲面上運(yùn)動(dòng)，自由度為2，（經(jīng)度、緯度）

3.

剛性分子的自由度

i單原子分子330自由度轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)

剛性分子是指分子中諸原子質(zhì)心間距不會(huì)改變的分子。

3.

剛性分子的自由度

i雙原子分子532自由度轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)

剛性分子是指分子中諸原子質(zhì)心間距不會(huì)改變的分子。

3.

剛性分子的自由度

i三原子（多原子分子）633自由度轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)

剛性分子是指分子中諸原子質(zhì)心間距不會(huì)改變的分子。

3.

剛性分子的自由度

i三原子（多原子分子）單原子分子雙原子分子356333023自由度轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)

剛性分子是指分子中諸原子質(zhì)心間距不會(huì)改變的分子。一般來(lái)說(shuō)，如果某一分子由n

個(gè)原子組成，則這個(gè)分子最多有3n個(gè)自由度，其中3個(gè)屬于平動(dòng)，3個(gè)屬于轉(zhuǎn)動(dòng)，其余3n－6個(gè)屬于振動(dòng)。若氣體分子為非剛性的，原子間的距離在原子間的相互作用下，要發(fā)生改變，分子內(nèi)部要發(fā)生振動(dòng)。除平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度外，還有振動(dòng)自由度。如雙原子分子有一個(gè)振動(dòng)自由度。==v2zxyvv22處于溫度為T的平衡態(tài)的氣體中，分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能平均分配到每個(gè)分子的每個(gè)自由度上，每個(gè)分子每一自由度的平均平動(dòng)動(dòng)能都是1kT222w=kTmv1=23

二、能量按自由度均分定理mvmvzy===22221112kTx21mv2

若某種分子有t個(gè)平動(dòng)自由度、r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度、v個(gè)振動(dòng)自由度，每一分子的總平均能量為：每一分子的平均總動(dòng)能為：

能量均分定理僅限于均分平均動(dòng)能，對(duì)于振動(dòng)能量，還需考慮分子中原子間的振動(dòng)勢(shì)能在一個(gè)周期內(nèi)，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的平均動(dòng)能與平均勢(shì)能相等為?？偟钠骄駝?dòng)能量為。

1kT2kT

2、公式中的各種振動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)自由度都應(yīng)是確實(shí)對(duì)能量均分定理作全部貢獻(xiàn)的自由度。

3、能量均分定理是對(duì)大量分子統(tǒng)計(jì)平均所得的結(jié)果。對(duì)于單個(gè)分子，它在任一時(shí)刻的各種形式的動(dòng)能以及總動(dòng)能都不一定和按能量均分定理所確定的平均值相等，甚至相差很大，且每一種形式的動(dòng)能也不一定按自由度均分。

1、結(jié)構(gòu)不同的分子其平動(dòng)自由度都是3，溫度相同時(shí)，其平均平動(dòng)能相同。所以溫度是作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的大量分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度4、只有在平衡態(tài)下才能應(yīng)用能量均分定理,非平衡態(tài)不能應(yīng)用能量均分定理。

5、能量均分定理不僅適用于理想氣體也可用于液體和固體。對(duì)于氣體，能量均分是依靠分子間大量的無(wú)規(guī)碰撞來(lái)實(shí)現(xiàn)。對(duì)于液體和固體，能量均分是通過(guò)分子間很強(qiáng)的相互作用來(lái)實(shí)現(xiàn)。6、能量均分定理是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的一個(gè)結(jié)論，不適用于具有量子行為的體系，如原子內(nèi)部的電子、低溫下的固體。

分子熱運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能1mol理想氣體的內(nèi)能：==kTEiiNmol02RT2M

kg理想氣體的內(nèi)能：ε=2

kTi

三、理想氣體的內(nèi)能

理想氣體內(nèi)能：系統(tǒng)中所有分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之總和（不包括分子間相互作用的能量）=MimolM2ERTiPV2=四、理想氣體的熱容量定體摩爾熱容：CV=(dQ/dT)V

=dUmol

/dT

=iR/2定壓摩爾熱容：CP=CV+R=(i+2)R/2泊松比：=CP/CV

=(i+2)/iH2V值隨溫度的變化的C如果考慮到振動(dòng)自由度，V是溫度的函數(shù)C50K2500K500K~~~~~~3522RR12.47720.93429.3872R非線性多原子單原子雙原子356分子VC32R52R62RCP52R72R82R537543i例1：用絕熱材料制成的容器，體積為2Vo

，被絕熱板隔開A、B兩部分，A

內(nèi)儲(chǔ)存1

mol單原子理想氣體，B

內(nèi)儲(chǔ)存2mol

雙原子理想氣體。A、B

兩部分壓強(qiáng)相等，均為Po，兩部分體積均為Vo

，試求：(1)各自的內(nèi)能EA、EB

；(2)

抽出絕熱板，兩種氣體混合后處于平衡時(shí)，溫度為多少？

Po

,Vo

TA

Po

,Vo

TBP

,2Vo

T解：設(shè)兩種氣體混合前的溫度分別為TA、TB氣體

A：?jiǎn)卧臃肿?，i=3，EA=3PoVo/2氣體

B：雙原子分子，i=5，EB=5PoVo/2

設(shè)混合平衡后溫度為

T，絕熱自由混合過(guò)程總內(nèi)能不變，即：

混合前內(nèi)能

=

混合后內(nèi)能

3PoVo/2+5PoVo/2=3RT/2+25RT/2所以混合平衡后溫度為:

T=8PoVo/13R例2：有

2

10-3

m3

剛性雙原子分子理想氣體，其內(nèi)能為6.75

102J，試求：(1)氣體的壓強(qiáng)

P；(2)

設(shè)分子總數(shù)為5.4

1022

個(gè)，求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能

以及氣體的溫度T。解：(1)設(shè)分子數(shù)為N，雙原子分子i=

5

氣體內(nèi)能：

E=NikT/2

氣體壓強(qiáng)：P=nkT=NkT/V

P=2E/iV

=26.75102/5210-3=1.35105Pa

=3kT/2=3E/Ni

E=NikT/2

kT/2=E/Ni

氣體內(nèi)能：T=2E/iNk=362K

26.751025

5.4

1022

1.38

10-23=(2)

例3：

某種理想氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的密度為=0.0894kg/m3，試求該氣體的定體摩爾熱容

Cv

和定壓摩爾熱容Cp

。解：狀態(tài)方程：PoVo

=MRTo

/Mmol

Mmol

=MRTo

/PoVo

=RTo/Po

=0.0894

8.31

273/1.013105

=210-3kg/mol由此可知：該氣體為氫氣(雙原子分子i=5)Cv=iR/2=20.8J/molK

Cp=Cv

+R=29.1J/molK

例4：容器內(nèi)某理想氣體的溫度為273K，P=1.0010–3

，=1.25gm–3,試求：（1）氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能（2）單位體積內(nèi)氣體分子的總平動(dòng)動(dòng)能；（3）設(shè)氣體有0.3mol，求該氣體的內(nèi)能。解：該氣體的摩爾質(zhì)量為0.028

kg/mol

是N2或CO

例5：設(shè)容器盛有質(zhì)量為M1和

M2

的兩種不同的單原子氣體，此混合氣體處于平衡時(shí)內(nèi)能相等均為E，若容器體積為V，試求：（1）兩種氣體分子算術(shù)平均速率之比（2）混合氣體壓強(qiáng)。解：(2)一、分子動(dòng)理論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)小結(jié)熱物理學(xué)的微觀理論由分子動(dòng)理論、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)與非平衡態(tài)理論三部分組成。

分子動(dòng)理學(xué)利用力學(xué)定律和概率論來(lái)討論分子運(yùn)動(dòng)及分子碰撞的詳情。它的最終目標(biāo)是描述氣體由非平衡態(tài)轉(zhuǎn)入平衡態(tài)的過(guò)程。二、概率論的基本知識(shí)等概率原理：平衡態(tài)的孤立體系，總能量相等的各種微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)出現(xiàn)概率相等1、概率的基本性質(zhì)概率相加法則、相乘法則、平均值、均方偏差2、統(tǒng)計(jì)規(guī)律只對(duì)大量的個(gè)別偶然事件的整體才起作用。個(gè)別偶然事件的數(shù)量越多，則規(guī)律越準(zhǔn)確，漲落現(xiàn)象就越不顯著。3、利用伽爾頓板實(shí)驗(yàn)導(dǎo)出概率分布函數(shù)三、麥克斯韋速率分布1、分子速率分布的測(cè)定—斯特恩實(shí)驗(yàn)2、麥克斯韋分子速率分布定律24mv=vπ()mπ32e2kT22kTf(v)dN=N1dv歸一化條件：8f(v)dv0=1★有關(guān)速率分布函數(shù)各物理意義的描述四、三種速率1、

平均速率2.方均根速率=8RTπMmol=8kTπmvm=3RTMmol2v=3kTvp=2RTMmol=2kTm3.最概然速率五、麥克斯韋速度分布1、速度空間代表點(diǎn)2、從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率分布3、麥克斯韋速度與速率分布圖線比較六、氣體分子碰壁數(shù)及其應(yīng)用1、由速度分布導(dǎo)出氣體分子碰壁數(shù)2、氣體壓強(qiáng)公式

七、玻爾茲曼分布速度分布推廣到處于保守力場(chǎng)中的氣體1、氣體分子按勢(shì)能分布在重力場(chǎng)中2、等溫大氣壓強(qiáng)公式

八、能量按自由度均分定理

1、自由度物體在空間位置所需之獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。三原子（多原子）單原子分子雙原子分子333023356自由度轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)剛性分子

2、能量按自由度均分定理1kT2

處于溫度為T

的平衡態(tài)的氣體中，每個(gè)分子每一自由度的平均平動(dòng)動(dòng)能都是每一分子的平均總動(dòng)能為：每一分子的總平均能量為：

對(duì)于剛性分子，分子熱運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能ε=2

kTi

3、理想氣體的內(nèi)能（

i=t+r）4、理想氣體的熱容量CV=iR/2CP=CV+R=(i+2)R/2=CP/CV=(i+2)/i==kTEiiNmol02RT2=MimolM2ERTiPV2=解:速率分布函數(shù)f（v）表示氣體分子的速率在v~v+

dv

范圍內(nèi)單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分?jǐn)?shù);即氣體分子的速率在

v~

v+

dv

范圍內(nèi)單位速率區(qū)間的概率——概率密度函數(shù)。例1:試述速率分布函數(shù)f（v）的物理意義，并說(shuō)明下列各式的物理意義。表示氣體分子的速率在v~v+dv范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率?；驓怏w中任一分子具有的速率恰在v~v+dv范圍內(nèi)的概率。表示速率在0~vp

范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。表示氣體分子在

v~v+dv

速率范圍內(nèi)的分子數(shù)表示分子的平均平動(dòng)動(dòng)能（m是分子的質(zhì)量）表示速率大于v的分子速率平方的平均值表示分子速率在v1~v2范圍內(nèi)的分子對(duì)速率平均值的貢獻(xiàn)。例2：容積為20l

的瓶子以速率V=200ms-1勻速運(yùn)動(dòng)，瓶子中充有質(zhì)量為100g的氦氣。設(shè)瓶子突然停止，且氣體分子全部定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能都變?yōu)闊徇\(yùn)動(dòng)動(dòng)能，瓶子與外界沒有熱量的交換。求：熱平衡后氦氣的溫度、壓強(qiáng)、內(nèi)能及氦氣分子的平均動(dòng)能各增加多少？解：定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能為氣體內(nèi)能增量為按能量