微積分II課件：微分方程疑難分析

微分方程疑難分析一階方程

類型1.可分離變量2.齊次方程3.線性方程4.伯努利方程可降階方程線性方程解的結(jié)構(gòu)定理1;定理2定理3;定理4定理5歐拉方程二階常系數(shù)線性方程特征方程的根及其對應(yīng)項(xiàng)

f(x)的形式及其特解形式高階方程待定系數(shù)法特征方程法一、主要內(nèi)容基本概念1.可分離變量的微分方程解法分離變量法2.齊次方程解法作變量代換3.一階線性微分方程方程稱為齊次的．方程稱為非齊次的.齊次方程的通解為解法非齊次微分方程的通解為方程為線性微分方程.方程為非線性微分方程.4.伯努利(Bernoulli)方程解法需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程．5.可降階的高階微分方程型解法接連積分n次，得通解．特點(diǎn)型解法代入原方程,得特點(diǎn)型解法二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程特征方程為特征根的情況通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根復(fù)根6.二階常系數(shù)線性方程

歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.的方程(其中形如叫歐拉方程.為常數(shù))，7.歐拉方程二、求解方程可分離變量方程齊次方程可分離變量方程將其代入公式一階線性方程(2005年)4.解原式可化為原式變?yōu)椴匠桃浑A線性方程(2000年)解代入原方程得歐拉方程9.求微分方程解原方程不是y

的線性方程.但將x看成y的函數(shù)時(shí)，這是關(guān)于x的一階線性方程，y

為自變量,將其代入公式其通解為得10.求微分方程分析：原方程不是y

的線性方程,可將x看成y的函數(shù).11.求方程解這是關(guān)于z的一階線性方程，得12.求方程解14.求方程對應(yīng)齊次方程的通解為方程的通解為三、綜合問題的解,則此微分方1.設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是微分方程程的通解為()(c1,c2為任意常數(shù))6.當(dāng)時(shí),是比

較高階的無窮小量,函數(shù)y(x)在任意點(diǎn)x處的增量且y(0),求y(1).四、應(yīng)用題2.設(shè)曲線L位于xOy

平面第一象限內(nèi)并經(jīng)過點(diǎn),L上任意一點(diǎn)M的切線與y軸交于點(diǎn)A,已知切點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離等于原點(diǎn)O到點(diǎn)A

的距離,求曲線方程.解設(shè)曲線L的方程為y=y(x),L

在任意一點(diǎn)M(x,y)的切線方程為令X=0,得可得點(diǎn)A

為4.某種飛機(jī)在機(jī)場降落時(shí),為了減少滑行距離,在觸地的瞬間,飛機(jī)尾部張開減速傘以增大阻力,使飛機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī),著陸時(shí)的水平速度為700km/h,經(jīng)測試,減速傘打開后飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為k=6.0×106),問從著陸點(diǎn)算起飛機(jī)滑行的最長距離是多少?解一由題設(shè):m=9000kg,v0=700km/h,設(shè)觸地后t時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為x(t),速度為v(t),(2004年)解取沉放點(diǎn)為原點(diǎn)O,Oy軸正向?yàn)殂U直向下,則5.從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求,需要確定儀器的下沉深度y(從海平面算起)與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下,從海平面由靜止開始鉛直下沉,在下沉過程中還受到阻力與浮力的作用.設(shè)儀器質(zhì)量為m,體積為B,海水比重為,儀器所受阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為k(k>0).試建立y與v所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v).解設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動后

時(shí)刻

的含量為在

內(nèi),的通入量的排出量8.某車間體積為12000立方米,開始時(shí)空氣中含有的,為了降低車間內(nèi)空氣中的含量,用一臺風(fēng)量為每