初中數(shù)學(xué)定義定理公理公式證明匯編

(圓滿版)初中數(shù)學(xué)定義、定理、公義、公式證明匯編(圓滿版)初中數(shù)學(xué)定義、定理、公義、公式證明匯編(圓滿版)初中數(shù)學(xué)定義、定理、公義、公式證明匯編初中數(shù)學(xué)定義、定理、公義、公式直線、線段、射線已知：RtABC,∠C=90°七上p1281.過兩點有且只有一條直線.求證：∠A+∠B=90°（簡：兩點決定一條直線）證明：∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°七上p1322.兩點之間線段最短∴∠A+∠B=90°七上p1423.同角或等角的補角相等.七下p75同角或等角的余角相等.3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個七下p4內(nèi)角的和.4.過一點有且只有一條直線和已知直線垂直4.三角形的一個外角大于任何一個和它不相七下p6鄰的內(nèi)角.5.直線外一點與直線上各點連結(jié)的全部線段全等三角形的性質(zhì)、判斷中，垂線段最短.（簡：垂線段最短）八上p3平行線的判斷1.全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.七下p13八上p91.平行公義經(jīng)過直線外一點，有且只有一條2.邊角邊公義(SAS)有兩邊和它們的夾角對直線與這條直線平行.應(yīng)相等的兩個三角形全等.七下p13八上p112.假如兩條直線都和第三條直線平行，這兩條3.角邊角公義(ASA)有兩角和它們的夾邊對直線也相互平行（簡：平行于同向來線的兩直應(yīng)相等的兩個三角形全等.線平行）八上p12七下p144.推論(AAS)有兩角和此中一角的對邊對應(yīng)3.同位角相等，兩直線平行.相等的兩個三角形全等.七下p14八上p74.內(nèi)錯角相等，兩直線平行.5.邊邊邊公義(SSS)有三邊對應(yīng)相等的兩個七下p15三角形全等.5.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.八上p14平行線的性質(zhì)6.斜邊、直角邊公義(HL)有斜邊和一條直角七下p20邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.1.兩直線平行，同位角相等.角的均分線的性質(zhì)、判斷2.兩直線平行，內(nèi)錯角相等.八上p203.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.性質(zhì)：在角的均分線上的點到這個角的兩邊的三角形三邊的關(guān)系距離相等.七下p64八上p211.三角形兩邊的和大于第三邊、三角形兩邊的判斷：到一個角的兩邊的距離相同的點，在這差小于第三邊.個角的均分線上.三角形角的關(guān)系等腰三角形的性質(zhì)七下p73八上p501.三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和1.等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個等于180°.底角相等(即等邊相同角).2.直角三角形的兩個銳角互余.2.推論1等腰三角形頂角的均分線均分底邊而且垂直于底邊.已知：ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的角均分線求證：AD均分BC,AD⊥BC.證明：∵AB=AC,AD是∠BAC的角均分線AD均分BC,AD⊥BC.（三線合一）八上p50等腰三角形的頂角均分線、底邊上的中線和底邊上的高相互重合.八上p54推論3等邊三角形的各角都相等，而且每一個角都等于60°.等腰三角形判斷八上p521等腰三角形的判判斷理假如一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角相同邊）八上p542.三個角都相等的三角形是等邊三角形.八上p54有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.線段垂直均分線的性質(zhì)、判斷八上p33定理：線段垂直均分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.八上p33逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直均分線上.線段的垂直均分線可看作和線段兩頭點距離相等的全部點的會合.軸對稱、中心對稱、平移、旋轉(zhuǎn)八上p30對于某條直線對稱的兩個圖形是全等形八上p32八上p32假如兩個圖形對于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直均分線八上p33兩個圖形對于某直線對稱，假如它們的對應(yīng)線段或延伸線訂交，那么交點在對稱軸上

八上p32若兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直均分，那么這兩個圖形對于這條直線對稱.九上p645.對于中心對稱的兩個圖形是全等的.對于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心均分.九上p646.若兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點,而且被這一點均分，那么這兩個圖形對于這一點成中心對稱.九上p57p62平移或旋轉(zhuǎn)前后的圖形是不變的.中心對稱是旋轉(zhuǎn)的特別形式。八下p65勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2.八下p73勾股定理的逆定理假如三角形的三邊長a、222，那么這個三角形是直角b、c相關(guān)系a+b=c八上p55①直角三角形中，假如一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.八下p95②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半.邊形、四邊形的內(nèi)角和、外角和七下p82四邊形的內(nèi)角和等于360°.七下p83四邊形的外角和等于360°七下p82多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）180°.七下p83４.推論隨意多邊的外角和等于360°.平行四邊形性質(zhì)八下p84平行四邊形的對角相等.八下p84平行四邊形的對邊相等.夾在兩條平行線間的平行線段相等.已知：直線a∥b,線段AB∥CD.求證：AB=CD.證明：∵a∥b,AB∥CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形∴AB=CDACa八下p85BbD4.平行四邊形的對角線相互均分.平行四邊形判斷八下p831.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.八下p872.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.八下p873.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.八下p874.對角線相互均分的四邊形是平行四邊形.八下p88一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形八下p94矩形性質(zhì)1.矩形的四個角都是直角.矩形的對角線相等.矩形判斷八下p951.有一個角是直角的平行四邊形是矩形.八下p962.有三個角是直角的四邊形是矩形.八下p963.對角線相等的平行四邊形是矩形.八下p98菱形性質(zhì)1、菱形的四條邊都相等.菱形的對角線相互垂直，而且每一條對角線均分一組對角.3、菱形面積=對角線乘積的一半，即s1ab2證明：菱形被兩條對角線分紅四個全等的直角三角形,且菱形對角線相互均分

設(shè)菱形對角線長為x,y則S菱形=4×1/2×(x/2×y/2)==1/2×xy因此菱形的面積等于其對角線乘積的一半八下p99菱形判斷有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形四邊都相等的四邊形是菱形對角線相互垂直的平行四邊形是菱形.八下p100正方形性質(zhì)1.正方形的四個角都是直角，四條邊都相等.正方形的兩條對角線相等，而且相互垂直均分，每條對角線均分一組對角.正方形判斷八下p100四個角都是直角，四條邊都相等的四邊形是正方形對角線相互垂直均分且相等的四邊形是正方形.證明：對角線相互均分→平行四邊形；對角線相互垂直的平行四邊形→菱形；對角線相等的平行四邊形→矩形形；菱形+矩形→正方形八下p107等腰梯形性質(zhì)1.等腰梯形在同一底上的兩個角相等.2.等腰梯形的兩條對角線相等.等腰梯形判斷八下p108同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形對角線相等的梯形是等腰梯形.已知：梯形ABCD中，AD∥BC,AC=BD.求證：梯形ABCD是等腰梯形。證明：過D點作DE∥AC交BC延伸線與E點，QAD∥BC四邊形ACED是平行四邊形AC=DE,ACB=DEBBD=ACBD=DEDBC=DEBDBC=ACBQAC=BD,BC=CB三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，而且等于它的一半.梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，而且等于兩底和的一半l1(ab)，S=Lh2已知：梯形ABCD中，AD∥BC,EF是梯形的中位線，設(shè)AD=a,BC=b,EF=l,梯形高為h。求證：l1(ab)S=Lh2證明：連結(jié)AF交BC延伸線與G點①經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必均分另一腰.已知：梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，此中EAB中點。求證：F是CD中點證明：

EF是中位線DF=CFQADPBCG=DAG,D=DCGADFGCFAD=CG=a,AFFGEF是ABG的中位線1EFPBG,EF=BG1(ab)2連結(jié)AC交EF于點GAD∥BC∥EF∴△AEG∽△ABCE是AB中點AEAG1ABAC2CG1AC2同理可證CFCG1CDAC2F是CD中點.②經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必均分第三邊.（證法參照上題）八下p89

QSABGS梯形ABCD=1BGh21Lh2九下p36比率的基天性質(zhì)假如a:b=c:dad=bc相像三角形判斷九下p42定理：平行于三角形一邊的直線和其余兩邊訂交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相像.九下p462.兩角對應(yīng)相等，兩三角形相像.九下p44兩邊對應(yīng)成比率且夾角相等，兩三角形相像九下p43三邊對應(yīng)成比率，兩三角形相像九下p47假如一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比率，那么這兩個直角三角形相像.已知：RT△ABC和RT△DEF，AC與DF為斜邊，AB：DE=AC：DF求證：RT△ABC:RT△DEF證明：由勾股定理得：BC=AC2-AB2EF=DE2-EF2AB：DE=AC：DF=kAB:AC=DE:DF=kAB:AC）2=（DE:DF）2=k2AB2=k2AC2,DE2=k2DF2BC=AC2-k2AC2=1-k2ACEF=DF2-k2DF2=1-k2DFBC:EF=1-k2AC：1-k2DF=AC:DF=AB：DE三邊對應(yīng)成比率RT△ABC:RT△DEF相像三角形性質(zhì)九下p52相像三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角均分線的比都等于相像比.相像三角形周長的比等于相像比.相像三角形面積的比等于相像比的平方.九下p59-60位似圖形是相像圖形的特別形式。位似比等于相像比。以三角形為例：

已知：ABC與DEF是以O(shè)為位似中心的位似圖形，位似比為1：k求證：ABC與DEF的相像比為1：kABC與DEF是以O(shè)為位似中心的位似圖形BCPEFVOBC:VOEFOBOCBC1OEOFEFk]理可得OBOAAC1OEODEDkOCOAAC1OFODFDkACBABCOA1FDEDEFODkVABC:VDEF，ABC與DEF的相像比為1：k圓九上p791.圓是到定點的距離等于定長的點的會合.九上p90圓的內(nèi)部能夠看作是到圓心的距離小于半徑.的點的會合.圓的外面能夠看作是到圓心的距離大于半徑的點的會合.九上p79同圓或等圓的半徑相等.九上p92不在同向來線上的三點確立一個圓。垂徑定理九上p81垂直于弦的直徑均分這條弦而且均分弦所對的兩條弧.推論1①均分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，而且均分弦所對的兩條弧.②弦的垂直均分線經(jīng)過圓心，而且均分弦所對的兩條弧.已知：AB為圓O的一條弦，CE垂直均分AB，垂足為D求證：CE是過點O，????ACBC,AEBE證明：假定CE可是點O連結(jié)OA,OD,OBQOAOB,ADBDODAB又QCDAB過點D有兩條直線與AB垂直，這與“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”產(chǎn)生矛盾，因此假定不建立CE是過點O，即CE是圓O的直徑????依據(jù)推論1，可得ACBC,AEBE③均分弦所對的一條弧的直徑，垂直均分弦，而且均分弦所對的另一條弧.已知：O為圓心，CE是直徑，??ACBC求證：??，AEBECEAB，ADBD??∵ACBC∴∠AOC＝∠BOC.OA=OB∴⊿AOB為等腰三角形，CE均分它的頂角。從“三線合必定理”，CEAB，ADBD又∵∠AOE＝180°-∠AOC＝180°-∠BOC＝BOE.∴??AEBE九上p823.圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形.九上p83在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.

在同圓或等圓中，假如兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等.以下是等弦推出等弦心距的狀況，其余的近似已知：AB，CD為圓O的兩條等弦,OEAB,OFCD求證：OE=OF證明：QBACDOEAB,OFCDAE1AB,CF1C22AECF在RtV和RtVOAEOCFAECFOAOCRtVRtVOAEOCF(九上p85OEOF圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.①同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.②半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.九上p87③假如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.三角形的外心，三角形外接圓的圓心，它是三邊的中垂線的交點，到三個極點的距離相等.如圖，三種△ABC中，l1為AB的垂直均分線，l2為BC的垂直均分線，l1與l2交于點O，連OA、OB、OC，∵l1是AB的垂直均分線，∴OB＝OA又l2是BC的垂直均分線∴OB＝OC故OA＝OB＝OCO在BC的垂直均分線上，即AC的垂直均分線過點O。九上p97三角形的心里，三角形內(nèi)切圓的圓心，它是三個內(nèi)角的均分線的交點，到三邊的距離相等.已知，I是三角形ABC中ABC和ACB的角均分線的交點求證：AI均分CAB，I到三邊的距離相等證明：作IDBC,IEAC,IFABQI是三角形ABC中ABC和ACB的角均分線的交點IDIF,IDIEIFIE點I在CAB的角均分線上，即AI均分CAB且IDIFIE直角三角形三邊為a、b、c，c為斜邊，則外接圓的半徑Rc；內(nèi)切圓的半徑2abcr2已知例2：如圖，Rt△ABC，∠C=90°，兩直角邊a，b，斜邊為c，它的內(nèi)切圓⊙O分別與BC，AC，AB相切于點D、E、F1）求這個三角形外接圓半徑R和內(nèi)切圓的半徑r.解：做出如圖協(xié)助線,∠C=90°AB為外接圓直徑直角三角形的外接圓的圓心是斜邊的中點∴外接圓半徑R=c2（2）∵Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與BC，AC，AB相切于點D、E、F

∴四邊形CDOE是矩形，又OE=OD∴矩形CDOE是正方形，∴EC=CD=r由切線長定理可得：BD=BF=a-rAF=AE=b-rAF+BF=ca-r+b-r=crabc2九上p94直線和圓的地點關(guān)系①直線L和⊙O訂交d＜r②直線L和⊙O相切d=r③直線L和⊙O相離d＞r九上p95切線的判斷：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這切線九上p96切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.已知：直線l是圓O切線，A為切點，OBl，垂足為B求證：直線OB不經(jīng)過A點證明：假定直線OB可是A點Q直線l是圓O切線，A為切點QOAl又QOBl∴過點O有兩條直線OA和OB與直線l垂直，這與“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”產(chǎn)生矛盾，因此假定不建立∴直線OB過A點②經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓.已知：直線l是圓O切線，A為切點，ABl，AB與O交于點B求證：直線AB過圓心O證明：假定直線AB不經(jīng)過圓心OQ直線l是圓O切線，A為切點QOAl又QABl∴OEAC,ODBC過點A有兩條直線OA和AB與直線l垂直，這與“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”產(chǎn)生矛盾，因此假定不建立∴直線AB過圓心O九上p97切線長定理.從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線均分兩條切線的夾角.圓和圓的地點關(guān)系假如兩個圓相切，那么切點必定在連心線上證明：圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸，兩圓構(gòu)成的圖形也是軸對稱圖形，連心線是它的對稱軸，假定切點不在連心線上，則它對于連心線的對稱點也不在連心線上，而是兩圓的另一個公共點，這跟兩圓相切只有一個公共點矛盾，因此切點必定在連心線上九上p100①兩圓外離d＞R+r②兩圓外切d=R+r③兩圓訂交R-r＜d＜R+r(R＞r)④兩圓內(nèi)切d=R-r(R＞r)⑤兩圓內(nèi)含d＜R-r(R＞r)正多邊形和圓①挨次連結(jié)各均分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形n(n≥3):以五邊形為例——已知：圓O中,?????ABBCCDDEEA求證：五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形．??QABBC???CDDEEAABBCCDDE???EA,BCECDA3ABAB同理BCDE又，五邊形ABCDE的極點都在圓O上，∴五邊形ABCDE是圓O的內(nèi)接正五邊形。②經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為極點的多邊形是這個圓的外切正n邊形。

已五邊形為例，經(jīng)過圓的五均分點作圓的切線，察看以相鄰切線的交點為極點的五邊形是否是正五邊形？已知，PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過分點A、B、C、D、E的⊙O的切線．求證：五邊形PQRST是O的外切正五邊形．證明：QOAOBOE,AOBAOEVABOVAEO,ABOBAO,AEOEAOABOBAOAEOEAOQPQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過分點A、B、C、D、E的⊙O的切線．OAPTOAP=OATOAP-OAB=OAT-OAEPAB=TAEQPAPB,TATEPABPBA,TAETEAPABPBATAETEAQABAEVPABVTAE(ASA)PAPBTATE,PT同理，RC=CQ=QB=BP,ES=SD=DR=RC,T=S=R=QPPAPBTATERC=CQ=QB=ES=SD=DRPQQRRSSTTP∴五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是齊心圓.以五邊形為例——證明：假如正五邊形ABCDE有外接圓，則A、B、C、D、E五點應(yīng)都在同一個圓上，且它們到圓心的距離相等．不在同向來線上的三點確定一個圓，不如過正五邊形ABCDE的極點A、B、C作⊙O，連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE．則OA=OB=OC；△OAB≌△ODCABCDE有一個外接圓⊙O．既然正五邊形有一個外接⊙O，那么正五邊形的五條邊也就應(yīng)是⊙O的五條等弦．依據(jù)弦等、弦心距相等，證明拜見p4，可知點O到五邊的距離等．以該弦心距為半徑作圓，可得該圓與各邊都相切，因此相同，正n邊形也應(yīng)有一個內(nèi)切⊙O，且兩圓齊心．定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分紅2n個全等的直角三角形.以五邊形為例已知：正五邊形ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,為五邊形各邊的邊心距求證：正五邊形的半徑和邊心距把正五邊形分

成十個全等的直角三角形.證明：Q正五邊形ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,為五邊形各邊的邊心距OPAE,OTABPA1AE,AT1ABQAE22ABPAAT,OPOT（弦等推出弦心距等證明拜見p4）在VOPA和VOAT中PAATOPOTVOPAVOAT（HL)Q在VOPA和VOPE中OAOTOPOPVOPAVOPE（HL)VOPAVOATVOPE同理其余直角三角形也全等，每條邊和圓心以及對應(yīng)半徑一共構(gòu)成5個三角形，每個三角形能夠切割成兩個直角三角形，因此一共有10個全等的直角三角形。正三角形面積s3a2，a表示邊長.4已知，正VABC邊長為a求證：正三角形面積3a24證明：作ADBCD，Q正VABC邊長aABACBCaBD1BCa22ADAB2BD2a2a23a42SABC1AD?BC1?3a?a3a2V2224九上p110扇形弧長：lnr180九上p111扇形面積：snr21nrr13602180lr2圓拄的側(cè)面積s2rh圓柱張開圖是矩形，長和寬中此中一條是圓柱的高h，另一條是圓柱底面周長2r，因此面積為2rh圓拄的表面積s2rh22r九上p113圓錐的側(cè)面積s1.2rlrl2圓錐的表面積srlr2冪的運算：八上p160a≠0時a0=1，八下p19a-p=1pa八上142②aman=am+n；（am）n=amn0的0次冪沒存心義八上p15122平方差：a-b=(a+b)(a-b)圓滿平方：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2推行：a2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab證明：(ab)22aba22abb22aba2b2(ab)24aba22abb24aba22abb2(ab)2八上p27一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）

八上p30k>0，y隨x的增大而增大k<0，y隨x的增大而減少八上p23正比率函數(shù)y=kx（k≠0）八上p25k>0，y隨x的增大而增大,直線y=kx經(jīng)過（0，0），（1，k）,經(jīng)過第一、三象限②k<0，y隨x的增大而減少,直線y=kx經(jīng)過（0，0），（1，k），經(jīng)過第二、四象限八下p39反比率函數(shù)yk（k≠0）x八下p43k>0，雙曲線在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，隨x的增大而減少.k<0，雙曲線在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，隨x的增大而增大當九上p36一元二次方程ax2+bx+c=0（b2-4ac≥0）根為bb24acbb24acx12ax22a九上p41x1x2b