高一數(shù)學(xué)空間幾何體學(xué)案

高一必修2數(shù)學(xué)第一章空間幾何體課程目標(biāo)：一、考點(diǎn)突破1.了解棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺(tái)、圓臺(tái)及球的概念及結(jié)構(gòu)特征；2.掌握空間幾何體的表面積及體積的計(jì)算公式和技巧；3.了解三視圖的畫(huà)法，會(huì)通過(guò)三視圖還原幾何體；4.了解斜二測(cè)畫(huà)法的步驟，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)簡(jiǎn)單的空間圖形的直觀圖；5.鍛煉學(xué)生的空間想象能力。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：空間幾何體的概念、有關(guān)計(jì)算和三視圖。難點(diǎn)：三視圖的應(yīng)用。精講精練：微課程1：空間幾何體及其結(jié)構(gòu)特征【考點(diǎn)精講】多面體的結(jié)構(gòu)特征1.棱柱（1）棱柱的側(cè)棱都互相平行，上下底面是全等的多邊形。（2）棱柱的分類(lèi)：按側(cè)面和底面的關(guān)系可分為：斜棱柱、直棱柱；按底面多邊形的邊數(shù)可分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等；（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱稱(chēng)為正棱柱。（4）正棱柱和直棱柱的側(cè)棱都和底面垂直。2.棱錐（1）棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形。（2）正棱錐：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。（3）正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高；棱錐的高、斜高和斜足與底面中線連線組成一個(gè)直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形。3.棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形。（1）正棱臺(tái)由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)。（2）正棱臺(tái)的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰梯形；兩底面以及平行于底面的截面是相似多邊形；兩底面中心連線，相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形。4.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征（1）圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到。（2）圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到。（3）圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周或等腰梯形繞上、下底面中心所在直線旋轉(zhuǎn)半周得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到。（4）球可以由半圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)一周或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)半周得到?！镜淅觥坷}1如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱(chēng)它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱(chēng)為它的腰，以下四個(gè)命題中，假命題的是（）A.等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等B.等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ)C.等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓D.等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上思路導(dǎo)航：可借助幾何圖形進(jìn)行判斷。答案：如圖，等腰四棱錐的側(cè)棱均相等，其側(cè)棱在底面的射影也相等，則其腰與底面所成的角相等，即A正確；底面四邊形必有一個(gè)外接圓，即C正確；在高線上可以找到一個(gè)點(diǎn)O，使得該點(diǎn)到四棱錐各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，這個(gè)點(diǎn)即為外接球的球心，即D正確；但四棱錐的側(cè)面與底面所成角不一定都相等或互補(bǔ)（若為正四棱錐則成立）。故僅命題B為假命題。選B。例題2已知正三棱錐ABC，點(diǎn)P、A、B、C都在半徑為的球面上，若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為_(kāi)_______。思路導(dǎo)航：將三棱錐補(bǔ)全，補(bǔ)成正方體求解。答案：因?yàn)樵谡忮FABC中，PA、PB、PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作一個(gè)正方體的一部分（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對(duì)角線為球的直徑，球心為正方體對(duì)角線的中點(diǎn)。球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高。已知球的半徑為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，靈活性較強(qiáng)，難度較大。該題若直接利用三棱錐來(lái)考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體來(lái)考慮就容易多了。例題3一個(gè)正方體內(nèi)接于高為40cm，底面半徑為30cm的圓錐中，求正方體的棱長(zhǎng)．思路導(dǎo)航：作出過(guò)正方體的體對(duì)角線作圓錐的軸截面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，通過(guò)三角形相似，求出正方體的棱長(zhǎng)即可．答案：如圖，過(guò)正方體的體對(duì)角線作圓錐的軸截面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則,∴，解得，∴正方體的棱長(zhǎng)為cm。點(diǎn)評(píng)：正確作出圖形，注意到過(guò)正方體的體對(duì)角線作圓錐的軸截面，AC是正方體的面對(duì)角線，三角形相似是解題的助推劑．考查空間想象能力，計(jì)算能力。隨堂練習(xí)：給出下列命題：（1）在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；（2）圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；（3）在圓臺(tái)的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；（4）圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．其中正確的是（）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（2）（4）答案：根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義和性質(zhì)可知，只有（2）（4）兩個(gè)命題是正確的，（1）（3）可能是弦，所以選D，故選D?！究偨Y(jié)提升】1.補(bǔ)全法：把不規(guī)則的形體補(bǔ)成規(guī)則的形體，不熟悉的形體補(bǔ)成熟悉的形體，便于計(jì)算，特別是一個(gè)三棱錐的三條棱兩兩互相垂直，我們一般補(bǔ)成正方體再求解。2.圓臺(tái)、圓錐、圓柱的求法：（1）在解決有關(guān)圓臺(tái)、圓錐、圓柱的基本量問(wèn)題時(shí)，一般畫(huà)出它們的軸截面，有關(guān)元素之間關(guān)系就能體現(xiàn)出來(lái)；（2）求組合體中的元素時(shí)，要選取適當(dāng)?shù)慕孛妫M可能使組合體中的元素轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平面，用平面幾何知識(shí)來(lái)計(jì)算。微課程2：空間幾何體的有關(guān)計(jì)算【考點(diǎn)精講】1.柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積幾何體側(cè)面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝π（r1＋r2）lV＝eq\f(1,3)（S上＋S下＋eq\r(S上S下)）h＝eq\f(1,3)π（req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2）h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)（C＋C′）h′V＝eq\f(1,3)（S上＋S下＋eq\r(S上S下)）h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.幾何體的表面積（1）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和。（2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和?！镜淅觥坷}1已知正四棱錐O－ABCD的體積為QUOTE322，底面邊長(zhǎng)為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為_(kāi)_______。思路導(dǎo)航：求以O(shè)A為半徑的球的表面積，我們需要求出OA的長(zhǎng)度，再根據(jù)球的表面積公式求解。答案：首先從頂點(diǎn)O向底面正方形ABCD作射影，為正方形的中心，連接和，正四棱錐O－ABCD的底面邊長(zhǎng)為，則，又，，即＝，在△中，＝＝，＝，＝＝。例題2已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且；則此三棱錐的體積為 （）A. B. C. D.思路導(dǎo)航：首先要求出的外接圓半徑，再根據(jù)外接圓的半徑與球的半徑求出球心到底面的距離，最后求解。答案：的外接圓的半徑，點(diǎn)到底面的距離為球的直徑點(diǎn)到底面的距離為此三棱錐的體積為另：，排除，選A。例題3如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（）A. B. C. D.思路導(dǎo)航：首先作出該球軸截面的圖象，根據(jù)題意求解。答案：設(shè)球的半徑為R，則由題意可知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R－2，則，解得R＝5，∴球的體積為，故選A。【總結(jié)提升】空間幾何體的表面積和體積計(jì)算是高考的一個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn)，解答這類(lèi)問(wèn)題，首先要熟練掌握各類(lèi)空間幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體的技巧、把一個(gè)空間幾何體納入一個(gè)更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧、對(duì)旋轉(zhuǎn)體作其軸截面的技巧、通過(guò)方程或方程組求解的技巧等，這是化解空間幾何體面積和體積計(jì)算難點(diǎn)的關(guān)鍵?；饪臻g幾何體面積和體積的方法：（1）分割求和法；（2）補(bǔ)形法；（3）等積法；（4）作軸截面；（5）通過(guò)方程或方程組求解。微課程3：三視圖的應(yīng)用【考點(diǎn)精講】空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是完全相等的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。1.正投影：在物體的平行投影中，如果投射線與投射面垂直，則稱(chēng)這樣的平行投影為正投影。2.正投影性質(zhì)：（1）垂直于投影面的直線或線段的正投影是點(diǎn)；（2）垂直于投影面的平面圖形的正投影是直線或直線的一部分。3.三視圖：（1）水平投射面、俯視圖：一個(gè)投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做俯視圖。（2）直立投射面、主視圖：一個(gè)投射面放置在正前方，這個(gè)投射面叫做直立投射面；投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做主視圖（也有的叫做正視圖）。（3）側(cè)立投射面、左視圖：和直立、水平兩個(gè)投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射面，通常把這個(gè)平面放在直立投射面的右面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做左視圖。4.平行投影的性質(zhì)：（1）直線或線段的平行投影仍是直線或線段；（2）平行直線的平行投影是平行或重合的直線；（3）平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長(zhǎng)；（4）與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等；（5）在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比。5.直觀圖：斜二測(cè)畫(huà)法是一種畫(huà)直觀圖的方法，其規(guī)則如下：（1）建立直角坐標(biāo)系xOy，畫(huà)直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)軸和軸，兩軸交于，使∠＝45°，它們確定的平面表示水平平面。（2）已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于軸和軸的線段。（3）已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的。6.正等測(cè)畫(huà)法：正等測(cè)畫(huà)法的依據(jù)還是平行投影的性質(zhì)，不過(guò)這時(shí)投射線和人的視線平行，并且投射線與投射面垂直，它一般用于畫(huà)圓、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球等旋轉(zhuǎn)體。【典例精析】例題1若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是（）思路導(dǎo)航：通過(guò)觀察A、B、C、D四個(gè)圖，分別畫(huà)出每個(gè)立體圖形的三視圖，與已知給出的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖對(duì)照。答案：A中正視圖，俯視圖不對(duì)，故A錯(cuò)。B中正視圖，側(cè)視圖不對(duì)，故B錯(cuò)。C中側(cè)視圖，俯視圖不對(duì)，故C錯(cuò)，故選D。例題2如圖，某幾何體的正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖分別是等邊三角形、等腰三角形和菱形，則該幾何體的體積為（）A.4eq\r(3) B.4 C.2eq\r(3) D.2思路導(dǎo)航：根據(jù)三視圖還原幾何體的形狀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)和幾何體的體積公式求解。答案：由三視圖可知此幾何體為四棱錐，高為3.所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2×3＝2eq\r(3)。答案為C。例題3已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.思路導(dǎo)航：本題考查空間幾何體的三視圖，利用補(bǔ)全法求體積。答案：此幾何體為一個(gè)圓柱切去了一部分，此