數(shù)學(xué)新教材解讀及考點(diǎn)剖析專題11 百分位數(shù)

全站免費(fèi)，更多資源關(guān)注公眾號(hào)拾穗者的雜貨鋪x思維方糖研究所全站免費(fèi)，更多資源關(guān)注公眾號(hào)拾穗者的雜貨鋪x思維方糖研究所專題11百分位數(shù)[新教材的新增內(nèi)容]背景分析：在舊教材中對(duì)于樣本的特征數(shù)字只介紹了中位數(shù).而新教材在9.2.2節(jié)中專門學(xué)習(xí)了總體百分位數(shù)的估計(jì).1.第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有（100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.2.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計(jì)算i=n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第（i+1）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).3.四分位數(shù)25%，50%，75%這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)，其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).[新增內(nèi)容的考查分析]1.百分位數(shù)的計(jì)算（由百分位數(shù)的概念，先按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)，再計(jì)算i=n×p%，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第（i+1）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).）【考法示例1】某車間12名工人一天生產(chǎn)某產(chǎn)品（單位：kg）的數(shù)量分別為13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，則所給數(shù)據(jù)的第25，50，75百分位數(shù)分別是___________.【答案】13.7，14.7，15.3【解析】將12個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8.由i=12×25%=3，得所給數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個(gè)數(shù)據(jù)與第4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即=13.7；由i=12×50%=6，得的給數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)據(jù)與第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即=14.7；由i=12×75%=9，得所給數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第9個(gè)數(shù)據(jù)和第10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即=15.3.【考法示例2】已知甲?乙兩組按順序排列的數(shù)據(jù)：甲組：27，28，37，，40，50；乙組：24，，34，43，48，52；若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)?第50百分位數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等，則等于___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)為，第50百分位數(shù)為，所以，所以.2.百分位數(shù)的綜合應(yīng)用（主要是在頻率分布直方圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)，首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計(jì)算，其次估計(jì)百分位數(shù)在哪一組，再應(yīng)用方程的思想方法，設(shè)出百分位數(shù)，解方程可得.）【考法示例3】某年級(jí)120名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間.將測(cè)試結(jié)果分成5組：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），[17，18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個(gè)小矩形的面積之比為1︰3︰7︰6︰3，那么成績(jī)的70%分位數(shù)約為___________秒.【答案】16.5【解析】設(shè)成績(jī)的70%分位數(shù)為x，因?yàn)?0.55，=0.85，所以x∈[16，17），所以0.55+（x-16）×=0.70，解得x=16.5（秒）.【考法示例4】某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過(guò)200千瓦時(shí)的部分按0.5元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過(guò)200千瓦時(shí)但不超過(guò)400千瓦時(shí)的部分按0.8元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過(guò)400千瓦時(shí)的部分按1.0元/千瓦時(shí)收費(fèi).（1）求某戶居民用電費(fèi)用y（單位：元）關(guān)于月用電量x（單位：千瓦時(shí)）的函數(shù)解析式.（2）為了了解居民的用電情況，通過(guò)抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖.若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過(guò)260元的占80%，求a，b的值.（3）根據(jù)（2）中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的75%分位數(shù).【解析】（1）當(dāng)0≤x≤200時(shí)，y=0.5x；當(dāng)200<x≤400時(shí)，y=0.5×200+0.8×（x-200）=0.8x-60；當(dāng)x>400時(shí)，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x-400）=x-140.所以y與x之間的函數(shù)解析式為y=（2）由（1）可知，當(dāng)y=260時(shí)，x=400，即用電量不超過(guò)400千瓦時(shí)的占80%，結(jié)合頻率分布直方圖可知解得a=0.0015，b=0.0020.（3）設(shè)75%分位數(shù)為m，因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為（0.001+0.002+0.003）×100=60%，用電量不超過(guò)400千瓦時(shí)的占80%，所以75%分位數(shù)為m在[300，400）內(nèi)，所以0.6+（m-300）×0.002=0.75，解得m=375千瓦時(shí)，即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時(shí).[新增內(nèi)容的針對(duì)訓(xùn)練]1.以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的人的成績(jī)：（單位：分）、、、、、、、、、、、、、、，則這人成績(jī)的第百分位數(shù)是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將數(shù)據(jù)由小到大依次排列，找出第個(gè)數(shù)，可得出這人成績(jī)的第百分位數(shù).【詳解】將這人成績(jī)由小到大依次排列為、、、、、、、、、、、、、、，，因此，這人成績(jī)的第百分位數(shù)是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查百分位數(shù)的計(jì)算，熟悉百分位數(shù)的定義是計(jì)算的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.對(duì)于考試成績(jī)的統(tǒng)計(jì)，若小明的成績(jī)處在第95百分位數(shù)上，則以下說(shuō)法正確的是（）A.小明得了95分B.小明答對(duì)了95%的試題C.95%的參加考試者得到了和小明一樣的考分或還要低的分?jǐn)?shù)D.小明排名在第95名【答案】C【解析】【分析】由百分位數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：第95百分位數(shù)是指把數(shù)據(jù)從小到大排序，至少有95%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，至少有5%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值，故選：C．3.如圖所示是根據(jù)某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義即可得解；【詳解】由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大的順序排列為：，，，，0，0，1，2，2，2，因?yàn)楣灿?0個(gè)數(shù)據(jù)，所以是整數(shù)，則這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是．故選：D4.數(shù)據(jù)3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位數(shù)是4.5，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷求解.【詳解】因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是第6項(xiàng)數(shù)據(jù)4.5，所以應(yīng)有5個(gè)數(shù)不大于4.5，則，故選：A．5.某校高二（13）班某次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)累積頻數(shù)分布折線圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.沒有人的成績(jī)?cè)?0~40分這組內(nèi)B.第50百分位數(shù)位于60~70分這組內(nèi)C.第25百分位數(shù)位于40~50分這組內(nèi)D.第75百分位數(shù)位于70~80分這組內(nèi)【答案】ABC【解析】【分析】按照百分位數(shù)的定義，一一進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題圖知沒有人的成績(jī)?cè)?0~40分這組內(nèi)；故A正確；由40×25%=10，取第10?11項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以第25百分位數(shù)位于40~50分這組內(nèi)；故C正確；由40×50%=20，取第20?21項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以第50百分位數(shù)位于60~70分這組內(nèi)；故B正確；由40×75%=30，取第30?31項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以第75百分位數(shù)位于60~70分這組內(nèi).故D不正確.故選：ABC6.對(duì)某市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中800名志愿者的年齡抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25，30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：（1）[25，30)年齡組對(duì)應(yīng)小矩形的高度為________；（2）由頻率分布直方圖估計(jì)志愿者年齡的95%分位數(shù)為________歲.【答案】①.0.04②.42.5【解析】【分析】（1）根據(jù)所有矩形的面積和為1，建立等式關(guān)系式，可求出年齡在[25，30）內(nèi)對(duì)應(yīng)小長(zhǎng)方形的高度；

（2）先判斷志愿者年齡的95%分位數(shù)在[40，45]內(nèi)，再根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可．【詳解】（1）設(shè)[25，30)年齡組對(duì)應(yīng)小矩形的高度為h，則5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1，解得h=0.04.（2）由題圖可知年齡小于40歲的頻率為(0.01+0.04+0.07+0.06)×5=0.9，且所有志愿者的年齡都小于45歲，所以志愿者年齡的95%分位數(shù)在[40，45]內(nèi)，因此志愿者年齡的95%分位數(shù)為40+×5=42.5歲.故答案為：0.04，42.57.某市對(duì)不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分(90分及以上為認(rèn)知程度高)，現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組(第一組：[20，25)，第二組：[25，30)，第三組：[30，35)，第四組：[35，40)，第五組：[40，45])，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有5人．（1）求x；（2）求抽取的x人的年齡的50%分位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；（3）以下是參賽的10人的成績(jī)：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求這10人成績(jī)的20%分位數(shù)和平均數(shù)，以這兩個(gè)數(shù)據(jù)為依據(jù)，評(píng)價(jià)參賽人員對(duì)一帶一路的認(rèn)知程度，并談?wù)勀愕母邢耄敬鸢浮浚?）100；（2）32；（3）20%分位數(shù)為91；平均數(shù)為94.3；答案見解析．【解析】【分析】（1）求出頻率，利用頻率即可得解；（2）利用百分位數(shù)的定義即可求解；（3）利用百分位數(shù)的定義及平均數(shù)的定義計(jì)算可得解，再作出評(píng)價(jià)和感想.【詳解】（1）第一組頻率為0.01×5＝0.05，所以．（2）由題圖可知年齡低于30歲的所占比例為，年齡低于35歲的所占比例為，所以抽取的x人的年齡的分位數(shù)在內(nèi)，由，所以抽取的