精品解析：2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)姓名________準(zhǔn)考證號(hào)_________________本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁(yè)，選擇題部分1至3頁(yè)；非選擇題部分3至4頁(yè)．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2．答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無(wú)效.參考公式：如果事件A，B互斥，則柱體的體積公式如果事件A，B相互獨(dú)立，則其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高錐體的體積公式若事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高球的表面積公式臺(tái)體的體積公式球的體積公式其中表示臺(tái)體的上、下底面積，h表示臺(tái)體的高其中R表示球的半徑選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集的定義可得正確的選項(xiàng).【詳解】，故選：D.2.已知（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求.【詳解】，而為實(shí)數(shù)，故，故選：B.3.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最大值是（）A.20 B.18 C.13 D.6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域，平移動(dòng)直線后可求最大值.【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示：當(dāng)動(dòng)直線過(guò)時(shí)有最大值.由可得，故，故，故選：B.4.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榭傻茫寒?dāng)時(shí)，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.故選：A.5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體可知，原幾何體是一個(gè)半球，一個(gè)圓柱，一個(gè)圓臺(tái)組合成的幾何體，即可根據(jù)球，圓柱，圓臺(tái)的體積公式求出．【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半球，一個(gè)圓柱，一個(gè)圓臺(tái)組合成的幾何體，球的半徑，圓柱的底面半徑，圓臺(tái)的上底面半徑都為，圓臺(tái)的下底面半徑為，所以該幾何體的體積．故選：C．6.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以把函?shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.7.已知，則（）A.25 B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，，即，所以．故選：C.8.如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大?。驹斀狻咳鐖D所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．9.已知，若對(duì)任意，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為，再結(jié)合畫圖求解．【詳解】由題意有：對(duì)任意的，有恒成立．設(shè)，，即的圖象恒在的上方（可重合），如下圖所示：由圖可知，，，或，，故選：D．10.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先通過(guò)遞推關(guān)系式確定除去，其他項(xiàng)都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每空3分，共36分．11.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出．【詳解】因?yàn)?，所以．故答案為?12.已知多項(xiàng)式，則__________，___________．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．【詳解】含項(xiàng)為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；．13.若，則__________，_________．【答案】①.②.【解析】【分析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式變形，得到的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來(lái)再求．【詳解】，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則．故答案為：；．14.已知函數(shù)則________；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是_________．【答案】①.②.##【解析】【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出的最小值,的最大值即可.【詳解】由已知，，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，等價(jià)于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.15.現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．【答案】①.，②.##【解析】【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.【詳解】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，所以,故答案為：，.16.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是_________．【答案】【解析】【分析】聯(lián)立直線和漸近線方程，可求出點(diǎn)，再根據(jù)可求得點(diǎn)，最后根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，即可解出離心率．【詳解】過(guò)且斜率為的直線，漸近線，

聯(lián)立，得，由，得而點(diǎn)在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.故答案為：．

17.設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，即可求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，再根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)計(jì)算公式即可得到，然后利用即可解出．【詳解】以圓心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,，設(shè),于是，因?yàn)?，所以，故的取值范圍?故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．18.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【小問(wèn)1詳解】由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．19.如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、，由平面知識(shí)易得，再根據(jù)二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；（2）由（1）可知平面，過(guò)點(diǎn)做平行線，所以可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)交于點(diǎn)、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?，過(guò)點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為由，得，取，設(shè)直線與平面所成角為，∴．20.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．（1）若，求；（2）若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)條件，求出，再求；(2)由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求的范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，所以，【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，，，由已知方程的判別式大于等于0，所以，所以對(duì)于任意的恒成立，所以對(duì)于任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得當(dāng)時(shí)，，又所以21.如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．（1）求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立可得，再將直線方程與的方程分別聯(lián)立，可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，最后代入化簡(jiǎn)可得，由柯西不等式即可求出最小值．【小問(wèn)1詳解】設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),,則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設(shè)，所以，因?yàn)橹本€與直線交于,則,同理可得,.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查最值計(jì)算，第一問(wèn)利用橢圓的參數(shù)方程以及二次函數(shù)的性質(zhì)較好解決，第二問(wèn)思路簡(jiǎn)單，運(yùn)算量較大，求最值的過(guò)程中還使用到柯西不等式求最值，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，屬于較難題．22.設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知，曲線上不同三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）（ⅰ）見(jiàn)解析；（ⅱ）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）（?。┯深}設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個(gè)不同的解可證明不等式成立，（ⅱ），，則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合零點(diǎn)滿足的方程進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式成立.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)，；當(dāng)，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】（?。┮?yàn)檫^(guò)有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為，故，故方程有3個(gè)不同的根，該方程可整理為，設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，故且，整理得到：且，此時(shí)，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，故，故.