向量基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用

向量基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用向量基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用向量基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用xxx公司向量基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度向量基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用基本知識(shí)：1.向量加法的定義及向量加法法則（三角形法則、平行四邊形法則）；2.向量減法的定義及向量減法法則（三角形法則、平行四邊形法則）；3.實(shí)數(shù)與向量的積λ.向量共線的充要條件：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得=λ。4.向量和的數(shù)量積：·=||·||cos，其中為和的夾角。向量在上的投影：||cos，其中為和的夾角⊥·=05.向量的坐標(biāo)表示:;若向量，則|；若P1（，）、P2（，），則;||=6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算及重要結(jié)論：若=（，）,=（，）,則②④⑥+=0cos=（為向量的夾角）7.點(diǎn)P分有向線段所成的比的：，或P內(nèi)分線段時(shí),;P外分線段時(shí),.8.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：，中點(diǎn)坐標(biāo)公式：9.三角形重心公式及推導(dǎo)（見課本例2）：三角形重心公式：10.圖形平移：設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F上所有的點(diǎn)按照同一方向移動(dòng)同樣長(zhǎng)度(即按向量平移)，得到圖形F`，我們把這一過程叫做圖形的平移。平移公式：或平移向量==（h，k）應(yīng)用：1．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決兩直線的夾角，判定兩直線平行、垂直問題例1已知向量滿足條件，，求證：是正三角形解：令O為坐標(biāo)原點(diǎn)，可設(shè)由，即②①②①兩式平方和為，，由此可知的最小正角為，即與的夾角為，同理可得與的夾角為，與的夾角為，這說明三點(diǎn)均勻分部在一個(gè)單位圓上，所以為等腰三角形.例2求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的度數(shù)解：如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為軸、軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，從而可求：,=..2．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決有關(guān)線段的長(zhǎng)度問題例3已知，AD為中線，求證證明：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在的直線為軸建立如圖2直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，.=，從而，.3．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，用已知向量表示未知向量例4已知點(diǎn)是且試用解：以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系.由OA=2，，所以，易求，設(shè).例5如圖，用表示解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，.4．利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直問題例6求證：三角形的三條高交于同一點(diǎn)[分析]如圖，已知中，由，要證明利用向量法證明，只要證得即可；證明中，要充分利用好，這兩個(gè)條件.證明：在上，而，，即=1\*GB3①又，即=2\*GB3②=1\*GB3①-=2\*GB3②得：，即從而，，.5．利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)距離的問題，距離問題包括點(diǎn)到點(diǎn)的距離，點(diǎn)的線的距離，點(diǎn)到面的距離，線到線的距離，線到面的距離，面到面的距離.例7求平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式[分析]已知點(diǎn)求兩點(diǎn)間的距離這時(shí)，我們就可以構(gòu)造出向量，那么而，根據(jù)向量模的公式得，從而求得平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為.解：設(shè)點(diǎn)，,而點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為：6.利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問題.例8證明:[分析]如圖，在單位圓上任取兩點(diǎn),以為始邊，為終邊的角分別為，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即得到的坐標(biāo)，則為向量的夾角；利用向量的夾角公式，即可得證.證明：在單位圓上任取兩點(diǎn)，以為始邊，以為終邊的角分別為，則點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為；則向量，它們的夾角為，,由向量夾角公式得：,從而得證.注：用同樣的方法可證明7.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)不等式、最值問題.例9證明柯西不等式證明：令當(dāng)或時(shí)，，結(jié)