教學(xué)第一章-彈性力學(xué)的基本理論課件

第一章彈性力學(xué)基礎(chǔ)

彈性力學(xué)的研究內(nèi)容

§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容及基本方法

彈性體由于受外力、邊界約束或溫度改變等作用而發(fā)生的應(yīng)力和應(yīng)變，以及與應(yīng)變有關(guān)的位移。

彈性力學(xué)的任務(wù)

與材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)一樣，彈性力學(xué)的任務(wù)是分析各種結(jié)構(gòu)物或構(gòu)件在彈性階段的應(yīng)力和位移，校核它們是否具有所需的強(qiáng)度和剛度，并尋求或改進(jìn)它們的計算方法。第一章彈性力學(xué)基礎(chǔ)彈性力學(xué)的研究內(nèi)容1課程研究對象研究的主要內(nèi)容彈性力學(xué)彈性體梁、柱、壩體、板、殼等受力體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移的精確分析材料力學(xué)桿狀構(gòu)件梁、柱等桿件在拉、壓、彎、扭、剪狀態(tài)下的應(yīng)力和位移理論力學(xué)剛體剛體的靜、動力學(xué)（約束力、速度、加速度）分析結(jié)構(gòu)力學(xué)桿系結(jié)構(gòu)桁架、剛架等桿系結(jié)構(gòu)的約束力、內(nèi)力與位移的計算塑性力學(xué)彈塑性體結(jié)構(gòu)的彈塑性分析表1不同力學(xué)課程主要研究對象和內(nèi)容的比較課程研究對象研究的主要內(nèi)容彈性力學(xué)彈性體梁、柱、壩體、板、殼2彈性力學(xué)的基本假設(shè)與基本定律連續(xù)性假設(shè)完全彈性假設(shè)

無初應(yīng)力假設(shè)

基本假設(shè)勻質(zhì)和各向同性假設(shè)小變形假設(shè)彈性力學(xué)的基本假設(shè)與基本定律連續(xù)性假設(shè)基本假設(shè)勻3基本定律

牛頓定律幾何連續(xù)性定律物性定律?應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系(物理方程)動量平衡原理?平衡(運(yùn)動)微分方程動量矩平衡原理?應(yīng)力張量的對稱性作用與反作用定律?

?位移和變形的關(guān)系(幾何方程)?

位移邊界條件基本定律牛頓定律動量平衡原理?平衡(運(yùn)動4彈性力學(xué)的基本方法從取微元體入手，綜合考慮靜力（或運(yùn)動）、幾何、物理三方面條件，得出其基本微分方程，再進(jìn)行求解，最后利用邊界條件確定解中的常數(shù)。按照方程中保留的未知量，求解方法可分為

應(yīng)力法（以應(yīng)力為未知量）位移法（以位移為未知量）混合法（同時以應(yīng)力和位移為未知量）精確解法：采用數(shù)學(xué)分析的手段求得精確解近似解法：最有效的是基于能量原理的變分方法數(shù)值方法：有限元法，有限差分法，邊界元法等彈性力學(xué)的基本方法從取微元體入手，綜合考慮靜力（或5

學(xué)習(xí)彈性力學(xué)的目的理解和掌握彈性力學(xué)的基本理論、基本概念、基本方程、基本解法。能夠閱讀彈性力學(xué)相關(guān)文獻(xiàn)，并應(yīng)用已有解法為工程服務(wù)。能夠?qū)⑺鶎W(xué)的彈性力學(xué)知識應(yīng)用于近似解法－變分法、差分法和有限單元法的理解。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)固體力學(xué)的其它分支學(xué)科打下基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)彈性力學(xué)的目的理解和掌握彈性力學(xué)的基本理論、基本概念6彈性力學(xué)的發(fā)展史自學(xué)彈性力學(xué)的發(fā)展史自學(xué)7彈性力學(xué)中的幾個基本概念

外力體積力：分布在物體體積內(nèi)的力，如重力和慣性力表面力：作用在物體表面的力，可以是分布力，也可以是集中力彈性力學(xué)中的幾個基本概念外力體積力：分布在物體體積內(nèi)的力8物體在外力的作用下，伴隨變形而同時在物體內(nèi)產(chǎn)生抵抗變形的力，稱為內(nèi)力。F1F2ⅡⅠF1—Ⅱ部分物體對Ⅰ部分物體的作用力F2

—Ⅰ部分物體對Ⅱ部分物體的作用力F1

和F2

大小相等，方向相反。

內(nèi)力、應(yīng)力及應(yīng)力張量截面單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力。物體在外力的作用下，伴隨變形而同時在物體內(nèi)產(chǎn)生抵抗變9應(yīng)力及應(yīng)力張量（續(xù)）

t

稱為作用在P

點(diǎn)處以n

為外法線的截面上的應(yīng)力向量。應(yīng)力向量t

不僅依賴于P

點(diǎn)的坐標(biāo)，而且還依賴于截面的法線方向n

。在物體內(nèi)的同一點(diǎn)P，不同截面上的應(yīng)力向量是不同的。如果已知過某點(diǎn)三個相互垂直截面上的三個應(yīng)力向量，則過該點(diǎn)任何其他方向截面上的應(yīng)力向量均可求出。即這三個相互垂直的應(yīng)力向量完全確定了該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力及應(yīng)力張量（續(xù)）t稱為作用在P點(diǎn)處以n10正應(yīng)力用表示。為了表明這個正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個坐標(biāo)角碼。剪應(yīng)力用表示，并加上兩個坐標(biāo)角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標(biāo)軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標(biāo)軸。如果某一個截面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個截面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，如果某一個截面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個截面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。應(yīng)力的表示及正負(fù)號的規(guī)定正應(yīng)力－垂直于作用面的分量剪應(yīng)力－在作用面內(nèi)的切向分量正應(yīng)力用表示。為了表明這個正應(yīng)力的作用面和作用方11剪應(yīng)力互等定理：

作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力，是互等的（大小相等，正負(fù)號也相同）。證明：

a、b分別為前后兩個面的中心。連線ab，并以之為矩軸，列出力矩平衡方程，得到同樣，可以列出另兩個力矩平衡方程。得出剪應(yīng)力互等定理：證明：a、b分別為前后兩個面的中心。連線a12應(yīng)力張量

是對稱的二階張量過一點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力分量，完全由該點(diǎn)的應(yīng)力張量唯一地確定。即一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是用該點(diǎn)的應(yīng)力張量表示的。應(yīng)力張量過一點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力分量，完全由該點(diǎn)的應(yīng)力13等效應(yīng)力—Von－Mises應(yīng)力等效應(yīng)力—Von－Mises應(yīng)力14應(yīng)變

正應(yīng)變：線段每單位長度的伸縮，用表示。伸長為正，縮短為負(fù)。剪應(yīng)變：線段之間直角的改變，用表示。直角變小時為正，反之為負(fù)。如果這6個量在P點(diǎn)是已知的，則該點(diǎn)的變形可以完全確定。位移

物體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移，用它在x、y、z三個坐標(biāo)軸上的投影u、v、w

來表示。以沿坐標(biāo)軸正方向的為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)方向的為負(fù)。應(yīng)變15彈性力學(xué)問題的分類桿件長度遠(yuǎn)大于橫向尺寸的構(gòu)件。幾何要素為橫截面與軸線。板殼厚度方向的尺寸遠(yuǎn)小于其它兩個方向尺寸的構(gòu)件。塊體長、寬、高三個方向尺寸為同一量級的構(gòu)件。

§1-2彈性力學(xué)的基本方程彈性力學(xué)問題的分類桿件§1-2彈性力學(xué)的基本16空間問題的數(shù)學(xué)描述

已知的幾何參數(shù)和載荷（表面力和體積力），一般都與三個坐標(biāo)參數(shù)x、y、z有關(guān)；

15個未知函數(shù)—

6個應(yīng)力分量：

6個應(yīng)變分量:

3個位移分量：u、v、w，一般都是三個坐標(biāo)參數(shù)x、y、z的函數(shù)；基本方程式是三維的，但若某一方向變化規(guī)律為已知時，維數(shù)可相應(yīng)減少。

各類問題的基本方程及基本未知量

空間問題的數(shù)學(xué)描述已知的幾何參數(shù)和載荷（表面17

平面問題的數(shù)學(xué)描述

已知的幾何參數(shù)和載荷（表面力和體積力）只與兩個坐標(biāo)，例如x、y有關(guān)，而與z無關(guān)；

15個未知函數(shù)中只存在有oxy平面內(nèi)的分量，且只是x、y的函數(shù)，其余分量或不存在，或可以用oxy平面內(nèi)的分量表示；基本方程式是二維的。平面問題的數(shù)學(xué)描述已知的幾何參數(shù)和載荷18如果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，并且承受的是某種特殊的外力，就可以把空間問題簡化為近似的平面問題。

平面應(yīng)力問題幾何形狀特征：物體在一個坐標(biāo)方向（例如z）的幾何尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩個坐標(biāo)方向的幾何尺寸，如圖所示的薄板。載荷特征：在薄板的兩個側(cè)表面上無表面載荷，作用于邊緣的表面力平行于板面，且沿厚度不發(fā)生變化，或雖沿厚度變化但對稱于板的中間平面，體積力亦平行于板面且沿厚度不變。如果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，并且承受的是某19平面應(yīng)變問題幾何形狀特征：物體沿一個坐標(biāo)軸（例如z軸）方向的長度很長，且所有垂直于z軸的橫截面都相同，即為一等直柱體；位移約束條件或支承條件沿z方向也相同。載荷特征：柱體側(cè)表面承受的表面力以及體積力均垂直于z軸，且分布規(guī)律不隨z變化。o平面應(yīng)變問題幾何形狀特征：物體沿一個坐標(biāo)軸（例如z軸）方向的20

由于對稱（任一橫截面都可以看作是對稱面），所有各點(diǎn)都只會沿x和y方向移動，而不會有z方向的位移，即。因?yàn)樗懈鼽c(diǎn)的位移矢量都平行于oxy面，所以稱之為平面位移問題，習(xí)慣上稱為平面應(yīng)變問題。由于對稱（任一橫截面都可以看作是對稱面），所有各點(diǎn)21在彈性力學(xué)里分析問題，要從三個方面來考慮：

靜力學(xué)方面、幾何學(xué)方面和物理學(xué)方面。首先考慮平面問題的靜力學(xué)方面，根據(jù)平衡條件來導(dǎo)出應(yīng)力分量與體積力分量之間的關(guān)系式，也就是平面問題的平衡微分方程。一、平衡微分方程在彈性力學(xué)里分析問題，要從三個方面來考慮：一、平22連續(xù)性假設(shè)小變形假設(shè)略去二階以及二階以上的微量假設(shè)AD面處的正應(yīng)力為σx，由于BC面相對于AD面x坐標(biāo)有dx的增量，應(yīng)力也將有相應(yīng)的增量，BC面處的正應(yīng)力可以用泰勒級數(shù)表示為連續(xù)性假設(shè)假設(shè)AD面處的正應(yīng)力為σx，由于BC面相23根據(jù)微元體處于平衡的條件，可以得到三個平衡微分方程。（一）作用于體心M的合力矩為零，即略去微量，整理，得出證明了剪應(yīng)力互等定理。根據(jù)微元體處于平衡的條件，可以得到三個平衡微分方程。（一）作24（二）x方向的合力為零，即整理后，得（三）y方向的合力為零，即類似于上式，可得平面問題的平衡微分方程（二）x方向的合力為零，即整理后，得（三）y方向的合力為零，25x方向PA的正應(yīng)變y方向PB的正應(yīng)變幾何方程表明了應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系。二、幾何方程x方向PA的正應(yīng)變y方向PB的正應(yīng)變幾何方程表明了應(yīng)變分量與26

PA與PB所夾直角的改變，即剪應(yīng)變由兩部分組成：x方向線素PA向y方向的轉(zhuǎn)角，記為，和y方向線素PB向x方向的轉(zhuǎn)角，記為，即由上圖可知，在小變形下，，所以同理，所以PA與PB所夾直角的改變，即剪應(yīng)變由上圖可知，在小27綜合以上所列各式，得出平面問題的幾何方程式要保證物體的位移是連續(xù)的，則應(yīng)變分量之間必須滿足一定的條件，即變形協(xié)調(diào)方程，或相容方程。綜合以上所列各式，得出平面問題的幾何方程式要保證物體28應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，即物理方程，也稱為本構(gòu)方程。在完全彈性的各向同性體內(nèi)，應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系由虎克定律導(dǎo)出

E

是彈性模量，G

是剪切彈性模量，

是側(cè)向收縮系數(shù)，又稱為泊松比。三、物理方程應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，即物理方程，也稱為29

位移邊界條件

應(yīng)力邊界條件設(shè)平面彈性體在Su邊界上給定位移和，它們是邊界坐標(biāo)的已知函數(shù)。則在Su邊界上，位移分量必須等于該點(diǎn)的給定位移，即設(shè)平面彈性體在邊界上給定表面力分量和，它們是邊界坐標(biāo)的已知函數(shù)。則在邊界上，應(yīng)力分量與給定表面力之間的關(guān)系，可由邊界上微元體的平衡條件得出?！?-3邊界條件位移邊界條件應(yīng)力邊界條件設(shè)平面彈性體在Su邊30在物體的邊界上，取一微元三角形ABC，其斜邊BC與物體的邊界面重合。N表示邊界的外法線方向，N的方向余弦為cos=l，sin=m，則dx=mds,dy=lds由微元體平衡條件，得略去高階小量，整理后得同理，由，得由略去高階小量后，得在物體的邊界上，取一微元三角形ABC，其斜邊BC與物31所以，平面問題的應(yīng)力邊界條件在上當(dāng)邊界面垂直于坐標(biāo)軸時，應(yīng)力邊界條件將簡化：

邊界垂直于x軸，l=1,m=0

邊界垂直于y

軸，l=0

,m=1在上在上所以，平面問題的應(yīng)力邊界條件在上當(dāng)邊界面垂直于坐標(biāo)軸32

混合邊界條件物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，另一部分具有已知表面力，因而具有應(yīng)力邊界條件。按照邊界情況，彈性力學(xué)問題一般分為三類：

位移邊界問題：在邊界面上全部給定位移，即全部是Su邊界

應(yīng)力邊界問題：在邊界面上全部給定表面力，即全部是邊界。這時，外力（包括體力和面力）應(yīng)是平衡力系。

混合邊界問題：既有Su

邊界，又有邊界。二者可以分別在邊界表面不同的區(qū)域上，或同一區(qū)域不同的方向上?；旌线吔鐥l件物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有33試列出下圖所示彈性體的邊界條件q1q2ρgyaOxyx=ax=0y=0y=bb試列出下圖所示彈性體的邊界條件q1q2ρgyaOxyx=ax34§1-4求解平面問題的基本方法在彈性力學(xué)里求解問題，有三種基本方法：按位移求解，按應(yīng)力求解和混合求解。

按位移求解時，以位移分量為基本未知函數(shù)，由一些只包含位移分量的微分方程和邊界條件求出位移分量以后，再用幾何方程求出應(yīng)變分量，從而用物理方程求出應(yīng)力分量。

按應(yīng)力求解時，以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，由一些只包含應(yīng)力分量的微分方程和邊界條件求出應(yīng)力分量以后，再用物理方程求出應(yīng)變分量，從而用幾何方程求出位移分量。在混合求解時，同時以某些位移分量和應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，由一些只包含這些基本未知函數(shù)的微分方程和邊界條件求出這些基本未知函數(shù)以后，再用適當(dāng)?shù)姆匠糖蟪銎渌奈粗瘮?shù)。§1-4求解平面問題的基本方法在彈性力學(xué)里求解問題35彈性力學(xué)的一些普遍原理圣維南原理疊加原理

在線彈性和小變形條件下，同一物體上若干組外力分別作用下的疊加，等于這若干組外力同時作用于該物體上。解的唯一性定律

利用應(yīng)變能定律可以證明，受已知體力作用的彈性體，其表面或者面力已知，或者位移已知，或者一部分面力已知而另外一部分位移已知，則彈性體在平衡時，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量是唯一的，對于后兩種情況，位移分量也是唯一的。

把物體一小部分上的面力變換成分布不同但靜力等效的面力，只影響近處的應(yīng)力分布，而不影響遠(yuǎn)處的應(yīng)力。該原理又稱為局部性原理。換言之，若一小部分邊界作用有平衡力系（即主矢量和主矩為零），則此平衡力系只在近處產(chǎn)生顯著應(yīng)力，而對遠(yuǎn)處的影響可以忽略不計。彈性力學(xué)的一些普遍原理圣維南原理把物體一小部分36表2平面問題基本方程名稱基本方程表達(dá)式基本方程平衡微分方程幾何方程物理方程平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題基本未知量注：表2平面問題基本方程名稱基本方程表達(dá)式幾何方程平37表3平面問題的三類邊界條件位移邊界條件應(yīng)力邊界條件混合邊界條件在邊界上在邊界上或，在邊界上或在邊界上表3平面問題的三類邊界條件位移邊界條件應(yīng)力邊界條件混合邊38彈性力學(xué)的主要解法解析法應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法求解微分方程，得出精確的函數(shù)解。變分法（能量法）根據(jù)能量極值原理，導(dǎo)出變分方程，求解。得出近似解答。差分法將微分方程和邊界條件化為差分方程（代數(shù)方程）進(jìn)行求解。有限單元法將連續(xù)體變換為離散體結(jié)構(gòu)，再將變分原理應(yīng)用于離散化結(jié)構(gòu)，將微分方程化為線性代數(shù)方程組，用計算機(jī)求解。彈性力學(xué)的主要解法解析法39位移法－－按位移求解在平面應(yīng)力問題中，物理方程是求得應(yīng)力分量位移法，應(yīng)力法－－直接解題法位移法－－按位移求解在平面應(yīng)力問題中，物理方程是求得應(yīng)力分40將幾何方程代入，得再將上式代入平衡微分方程簡化后，得到用位移表示的平衡微分方程將幾何方程代入，得再將上式41代入應(yīng)力邊界條件簡化后，得到用位移表示的應(yīng)力邊界條件

對于平面應(yīng)變問題，須在上面的各個方程中將E換為，將

換為代入應(yīng)力邊界條件簡化后，得到用位移表示的應(yīng)力邊界條件42如圖所示懸掛板，在o點(diǎn)固定，下端自由，材料比重為，試求該板的應(yīng)力分量和位移分量。一維問題v=0,u=u(x),泊松比μ＝0g代入用位移表示的平衡微分方程解出利用邊界條件得出所以如圖所示懸掛板，在o點(diǎn)固定，下端自由，材料比重為，試求該板43將平面問題幾何方程中x對

y的二階導(dǎo)數(shù)和y對x的二階導(dǎo)數(shù)相加，得到

應(yīng)力法－－按應(yīng)力求解—

變形協(xié)調(diào)方程或相容方程對于平面應(yīng)力問題，將物理方程代入變形協(xié)調(diào)方程，得到

利用物理方程將變形協(xié)調(diào)方程中的應(yīng)變分量消去，使之只包含應(yīng)力分量（基本未知函數(shù)）。將平面問題幾何方程中x對y的二階導(dǎo)數(shù)和y對44

利用平衡微分方程，將上式簡化為只包含正應(yīng)力而不包含剪應(yīng)力。將平衡微分方程寫成如下形式

將前一方程對x求導(dǎo)，后一方程對y求導(dǎo)，然后相加，并注意得代入，簡化后，得到平面應(yīng)力問題的相容方程將換為，可得到平面應(yīng)變問題的相容方程利用平衡微分方程，將上式簡化為只包含正應(yīng)力而不包含45

小結(jié)

按位移求解平面應(yīng)力問題位移分量須滿足

邊界條件在上在Su上

平衡微分方程小結(jié)按位移求解平面應(yīng)力問題位移分量須滿足邊界條件在46對于按位移求解平面應(yīng)變問題，須在上面的平衡微分方程和邊界條件中將E

換為，將換為

按位移求解平面應(yīng)變問題求出位移分量后，用幾何方程求得應(yīng)變分量然后用右式求得應(yīng)力分量。對于按位移求解平面應(yīng)變問題，須在上面的平衡微分方程和47按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題應(yīng)力分量須滿足

邊界條件在上

平衡微分方程

相容方程按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題應(yīng)力分量須滿足邊界條件在48對于按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題，須在上面的相容方程中將換為。按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題求出應(yīng)力分量后，用物理方程求得應(yīng)變分量然后對幾何方程積分求得位移分量，并使其滿足位移邊界條件。在Su上對于按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題，須在上面的相容方程中將49第一章彈性力學(xué)基礎(chǔ)

彈性力學(xué)的研究內(nèi)容

§1-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容及基本方法

彈性體由于受外力、邊界約束或溫度改變等作用而發(fā)生的應(yīng)力和應(yīng)變，以及與應(yīng)變有關(guān)的位移。

彈性力學(xué)的任務(wù)

與材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)一樣，彈性力學(xué)的任務(wù)是分析各種結(jié)構(gòu)物或構(gòu)件在彈性階段的應(yīng)力和位移，校核它們是否具有所需的強(qiáng)度和剛度，并尋求或改進(jìn)它們的計算方法。第一章彈性力學(xué)基礎(chǔ)彈性力學(xué)的研究內(nèi)容50課程研究對象研究的主要內(nèi)容彈性力學(xué)彈性體梁、柱、壩體、板、殼等受力體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移的精確分析材料力學(xué)桿狀構(gòu)件梁、柱等桿件在拉、壓、彎、扭、剪狀態(tài)下的應(yīng)力和位移理論力學(xué)剛體剛體的靜、動力學(xué)（約束力、速度、加速度）分析結(jié)構(gòu)力學(xué)桿系結(jié)構(gòu)桁架、剛架等桿系結(jié)構(gòu)的約束力、內(nèi)力與位移的計算塑性力學(xué)彈塑性體結(jié)構(gòu)的彈塑性分析表1不同力學(xué)課程主要研究對象和內(nèi)容的比較課程研究對象研究的主要內(nèi)容彈性力學(xué)彈性體梁、柱、壩體、板、殼51彈性力學(xué)的基本假設(shè)與基本定律連續(xù)性假設(shè)完全彈性假設(shè)

無初應(yīng)力假設(shè)

基本假設(shè)勻質(zhì)和各向同性假設(shè)小變形假設(shè)彈性力學(xué)的基本假設(shè)與基本定律連續(xù)性假設(shè)基本假設(shè)勻52基本定律

牛頓定律幾何連續(xù)性定律物性定律?應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系(物理方程)動量平衡原理?平衡(運(yùn)動)微分方程動量矩平衡原理?應(yīng)力張量的對稱性作用與反作用定律?

?位移和變形的關(guān)系(幾何方程)?

位移邊界條件基本定律牛頓定律動量平衡原理?平衡(運(yùn)動53彈性力學(xué)的基本方法從取微元體入手，綜合考慮靜力（或運(yùn)動）、幾何、物理三方面條件，得出其基本微分方程，再進(jìn)行求解，最后利用邊界條件確定解中的常數(shù)。按照方程中保留的未知量，求解方法可分為

應(yīng)力法（以應(yīng)力為未知量）位移法（以位移為未知量）混合法（同時以應(yīng)力和位移為未知量）精確解法：采用數(shù)學(xué)分析的手段求得精確解近似解法：最有效的是基于能量原理的變分方法數(shù)值方法：有限元法，有限差分法，邊界元法等彈性力學(xué)的基本方法從取微元體入手，綜合考慮靜力（或54

學(xué)習(xí)彈性力學(xué)的目的理解和掌握彈性力學(xué)的基本理論、基本概念、基本方程、基本解法。能夠閱讀彈性力學(xué)相關(guān)文獻(xiàn)，并應(yīng)用已有解法為工程服務(wù)。能夠?qū)⑺鶎W(xué)的彈性力學(xué)知識應(yīng)用于近似解法－變分法、差分法和有限單元法的理解。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)固體力學(xué)的其它分支學(xué)科打下基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)彈性力學(xué)的目的理解和掌握彈性力學(xué)的基本理論、基本概念55彈性力學(xué)的發(fā)展史自學(xué)彈性力學(xué)的發(fā)展史自學(xué)56彈性力學(xué)中的幾個基本概念

外力體積力：分布在物體體積內(nèi)的力，如重力和慣性力表面力：作用在物體表面的力，可以是分布力，也可以是集中力彈性力學(xué)中的幾個基本概念外力體積力：分布在物體體積內(nèi)的力57物體在外力的作用下，伴隨變形而同時在物體內(nèi)產(chǎn)生抵抗變形的力，稱為內(nèi)力。F1F2ⅡⅠF1—Ⅱ部分物體對Ⅰ部分物體的作用力F2

—Ⅰ部分物體對Ⅱ部分物體的作用力F1

和F2

大小相等，方向相反。

內(nèi)力、應(yīng)力及應(yīng)力張量截面單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力。物體在外力的作用下，伴隨變形而同時在物體內(nèi)產(chǎn)生抵抗變58應(yīng)力及應(yīng)力張量（續(xù)）

t

稱為作用在P

點(diǎn)處以n

為外法線的截面上的應(yīng)力向量。應(yīng)力向量t

不僅依賴于P

點(diǎn)的坐標(biāo)，而且還依賴于截面的法線方向n

。在物體內(nèi)的同一點(diǎn)P，不同截面上的應(yīng)力向量是不同的。如果已知過某點(diǎn)三個相互垂直截面上的三個應(yīng)力向量，則過該點(diǎn)任何其他方向截面上的應(yīng)力向量均可求出。即這三個相互垂直的應(yīng)力向量完全確定了該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力及應(yīng)力張量（續(xù)）t稱為作用在P點(diǎn)處以n59正應(yīng)力用表示。為了表明這個正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個坐標(biāo)角碼。剪應(yīng)力用表示，并加上兩個坐標(biāo)角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標(biāo)軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標(biāo)軸。如果某一個截面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個截面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，如果某一個截面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個截面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。應(yīng)力的表示及正負(fù)號的規(guī)定正應(yīng)力－垂直于作用面的分量剪應(yīng)力－在作用面內(nèi)的切向分量正應(yīng)力用表示。為了表明這個正應(yīng)力的作用面和作用方60剪應(yīng)力互等定理：

作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力，是互等的（大小相等，正負(fù)號也相同）。證明：

a、b分別為前后兩個面的中心。連線ab，并以之為矩軸，列出力矩平衡方程，得到同樣，可以列出另兩個力矩平衡方程。得出剪應(yīng)力互等定理：證明：a、b分別為前后兩個面的中心。連線a61應(yīng)力張量

是對稱的二階張量過一點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力分量，完全由該點(diǎn)的應(yīng)力張量唯一地確定。即一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是用該點(diǎn)的應(yīng)力張量表示的。應(yīng)力張量過一點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力分量，完全由該點(diǎn)的應(yīng)力62等效應(yīng)力—Von－Mises應(yīng)力等效應(yīng)力—Von－Mises應(yīng)力63應(yīng)變

正應(yīng)變：線段每單位長度的伸縮，用表示。伸長為正，縮短為負(fù)。剪應(yīng)變：線段之間直角的改變，用表示。直角變小時為正，反之為負(fù)。如果這6個量在P點(diǎn)是已知的，則該點(diǎn)的變形可以完全確定。位移

物體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移，用它在x、y、z三個坐標(biāo)軸上的投影u、v、w

來表示。以沿坐標(biāo)軸正方向的為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)方向的為負(fù)。應(yīng)變64彈性力學(xué)問題的分類桿件長度遠(yuǎn)大于橫向尺寸的構(gòu)件。幾何要素為橫截面與軸線。板殼厚度方向的尺寸遠(yuǎn)小于其它兩個方向尺寸的構(gòu)件。塊體長、寬、高三個方向尺寸為同一量級的構(gòu)件。

§1-2彈性力學(xué)的基本方程彈性力學(xué)問題的分類桿件§1-2彈性力學(xué)的基本65空間問題的數(shù)學(xué)描述

已知的幾何參數(shù)和載荷（表面力和體積力），一般都與三個坐標(biāo)參數(shù)x、y、z有關(guān)；

15個未知函數(shù)—

6個應(yīng)力分量：

6個應(yīng)變分量:

3個位移分量：u、v、w，一般都是三個坐標(biāo)參數(shù)x、y、z的函數(shù)；基本方程式是三維的，但若某一方向變化規(guī)律為已知時，維數(shù)可相應(yīng)減少。

各類問題的基本方程及基本未知量

空間問題的數(shù)學(xué)描述已知的幾何參數(shù)和載荷（表面66

平面問題的數(shù)學(xué)描述

已知的幾何參數(shù)和載荷（表面力和體積力）只與兩個坐標(biāo)，例如x、y有關(guān)，而與z無關(guān)；

15個未知函數(shù)中只存在有oxy平面內(nèi)的分量，且只是x、y的函數(shù)，其余分量或不存在，或可以用oxy平面內(nèi)的分量表示；基本方程式是二維的。平面問題的數(shù)學(xué)描述已知的幾何參數(shù)和載荷67如果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，并且承受的是某種特殊的外力，就可以把空間問題簡化為近似的平面問題。

平面應(yīng)力問題幾何形狀特征：物體在一個坐標(biāo)方向（例如z）的幾何尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩個坐標(biāo)方向的幾何尺寸，如圖所示的薄板。載荷特征：在薄板的兩個側(cè)表面上無表面載荷，作用于邊緣的表面力平行于板面，且沿厚度不發(fā)生變化，或雖沿厚度變化但對稱于板的中間平面，體積力亦平行于板面且沿厚度不變。如果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，并且承受的是某68平面應(yīng)變問題幾何形狀特征：物體沿一個坐標(biāo)軸（例如z軸）方向的長度很長，且所有垂直于z軸的橫截面都相同，即為一等直柱體；位移約束條件或支承條件沿z方向也相同。載荷特征：柱體側(cè)表面承受的表面力以及體積力均垂直于z軸，且分布規(guī)律不隨z變化。o平面應(yīng)變問題幾何形狀特征：物體沿一個坐標(biāo)軸（例如z軸）方向的69

由于對稱（任一橫截面都可以看作是對稱面），所有各點(diǎn)都只會沿x和y方向移動，而不會有z方向的位移，即。因?yàn)樗懈鼽c(diǎn)的位移矢量都平行于oxy面，所以稱之為平面位移問題，習(xí)慣上稱為平面應(yīng)變問題。由于對稱（任一橫截面都可以看作是對稱面），所有各點(diǎn)70在彈性力學(xué)里分析問題，要從三個方面來考慮：

靜力學(xué)方面、幾何學(xué)方面和物理學(xué)方面。首先考慮平面問題的靜力學(xué)方面，根據(jù)平衡條件來導(dǎo)出應(yīng)力分量與體積力分量之間的關(guān)系式，也就是平面問題的平衡微分方程。一、平衡微分方程在彈性力學(xué)里分析問題，要從三個方面來考慮：一、平71連續(xù)性假設(shè)小變形假設(shè)略去二階以及二階以上的微量假設(shè)AD面處的正應(yīng)力為σx，由于BC面相對于AD面x坐標(biāo)有dx的增量，應(yīng)力也將有相應(yīng)的增量，BC面處的正應(yīng)力可以用泰勒級數(shù)表示為連續(xù)性假設(shè)假設(shè)AD面處的正應(yīng)力為σx，由于BC面相72根據(jù)微元體處于平衡的條件，可以得到三個平衡微分方程。（一）作用于體心M的合力矩為零，即略去微量，整理，得出證明了剪應(yīng)力互等定理。根據(jù)微元體處于平衡的條件，可以得到三個平衡微分方程。（一）作73（二）x方向的合力為零，即整理后，得（三）y方向的合力為零，即類似于上式，可得平面問題的平衡微分方程（二）x方向的合力為零，即整理后，得（三）y方向的合力為零，74x方向PA的正應(yīng)變y方向PB的正應(yīng)變幾何方程表明了應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系。二、幾何方程x方向PA的正應(yīng)變y方向PB的正應(yīng)變幾何方程表明了應(yīng)變分量與75

PA與PB所夾直角的改變，即剪應(yīng)變由兩部分組成：x方向線素PA向y方向的轉(zhuǎn)角，記為，和y方向線素PB向x方向的轉(zhuǎn)角，記為，即由上圖可知，在小變形下，，所以同理，所以PA與PB所夾直角的改變，即剪應(yīng)變由上圖可知，在小76綜合以上所列各式，得出平面問題的幾何方程式要保證物體的位移是連續(xù)的，則應(yīng)變分量之間必須滿足一定的條件，即變形協(xié)調(diào)方程，或相容方程。綜合以上所列各式，得出平面問題的幾何方程式要保證物體77應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，即物理方程，也稱為本構(gòu)方程。在完全彈性的各向同性體內(nèi)，應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系由虎克定律導(dǎo)出

E

是彈性模量，G

是剪切彈性模量，

是側(cè)向收縮系數(shù)，又稱為泊松比。三、物理方程應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，即物理方程，也稱為78

位移邊界條件

應(yīng)力邊界條件設(shè)平面彈性體在Su邊界上給定位移和，它們是邊界坐標(biāo)的已知函數(shù)。則在Su邊界上，位移分量必須等于該點(diǎn)的給定位移，即設(shè)平面彈性體在邊界上給定表面力分量和，它們是邊界坐標(biāo)的已知函數(shù)。則在邊界上，應(yīng)力分量與給定表面力之間的關(guān)系，可由邊界上微元體的平衡條件得出?！?-3邊界條件位移邊界條件應(yīng)力邊界條件設(shè)平面彈性體在Su邊79在物體的邊界上，取一微元三角形ABC，其斜邊BC與物體的邊界面重合。N表示邊界的外法線方向，N的方向余弦為cos=l，sin=m，則dx=mds,dy=lds由微元體平衡條件，得略去高階小量，整理后得同理，由，得由略去高階小量后，得在物體的邊界上，取一微元三角形ABC，其斜邊BC與物80所以，平面問題的應(yīng)力邊界條件在上當(dāng)邊界面垂直于坐標(biāo)軸時，應(yīng)力邊界條件將簡化：

邊界垂直于x軸，l=1,m=0

邊界垂直于y

軸，l=0

,m=1在上在上所以，平面問題的應(yīng)力邊界條件在上當(dāng)邊界面垂直于坐標(biāo)軸81

混合邊界條件物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，另一部分具有已知表面力，因而具有應(yīng)力邊界條件。按照邊界情況，彈性力學(xué)問題一般分為三類：

位移邊界問題：在邊界面上全部給定位移，即全部是Su邊界

應(yīng)力邊界問題：在邊界面上全部給定表面力，即全部是邊界。這時，外力（包括體力和面力）應(yīng)是平衡力系。

混合邊界問題：既有Su

邊界，又有邊界。二者可以分別在邊界表面不同的區(qū)域上，或同一區(qū)域不同的方向上?；旌线吔鐥l件物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有82試列出下圖所示彈性體的邊界條件q1q2ρgyaOxyx=ax=0y=0y=bb試列出下圖所示彈性體的邊界條件q1q2ρgyaOxyx=ax83§1-4求解平面問題的基本方法在彈性力學(xué)里求解問題，有三種基本方法：按位移求解，按應(yīng)力求解和混合求解。

按位移求解時，以位移分量為基本未知函數(shù)，由一些只包含位移分量的微分方程和邊界條件求出位移分量以后，再用幾何方程求出應(yīng)變分量，從而用物理方程求出應(yīng)力分量。

按應(yīng)力求解時，以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，由一些只包含應(yīng)力分量的微分方程和邊界條件求出應(yīng)力分量以后，再用物理方程求出應(yīng)變分量，從而用幾何方程求出位移分量。在混合求解時，同時以某些位移分量和應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，由一些只包含這些基本未知函數(shù)的微分方程和邊界條件求出這些基本未知函數(shù)以后，再用適當(dāng)?shù)姆匠糖蟪銎渌奈粗瘮?shù)。§1-4求解平面問題的基本方法在彈性力學(xué)里求解問題84彈性力學(xué)的一些普遍原理圣維南原理疊加原理

在線彈性和小變形條件下，同一物體上若干組外力分別作用下的疊加，等于這若干組外力同時作用于該物體上。解的唯一性定律

利用應(yīng)變能定律可以證明，受已知體力作用的彈性體，其表面或者面力已知，或者位移已知，或者一部分面力已知而另外一部分位移已知，則彈性體在平衡時，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量是唯一的，對于后兩種情況，位移分量也是唯一的。

把物體一小部分上的面力變換成分布不同但靜力等效的面力，只影響近處的應(yīng)力分布，而不影響遠(yuǎn)處的應(yīng)力。該原理又稱為局部性原理。換言之，若一小部分邊界作用有平衡力系（即主矢量和主矩為零），則此平衡力系只在近處產(chǎn)生顯著應(yīng)力，而對遠(yuǎn)處的影響可以忽略不計。彈性力學(xué)的一些普遍原理圣維南原理把物體一小部分85表2平面問題基本方程名稱基本方程表達(dá)式基本方程平衡微分方程幾何方程物理方程平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題基本未知量注：表2平面問題基本方程名稱基