part2-路面的力和變形-經(jīng)典路面力學(xué)分析演示教學(xué)課件

Part2路面的力和變形——經(jīng)典路面力學(xué)分析1Part2路面的力和變形——經(jīng)典路面力學(xué)分析1Part2.

力和變形——經(jīng)典路面力學(xué)分析ξ1.路面力學(xué)分析的發(fā)展路基路面力學(xué)分析需求剛性路面柔性路面1929洛夫圓形均布荷載下解（均勻體）1884赫茲的液體支承板理論1924奧爾德的板角懸臂梁理論1925威斯特卡德的理論解1885布辛尼斯克半空間體理論1938霍格、舍赫捷爾無限大板理論解1945波密斯特層狀體系理論1954福斯脫圓形均布荷載計算諾模圖（均勻體）1948~1959科崗等人使層狀解析理論不斷完善1957~1962希夫曼等人發(fā)展了數(shù)值解法一系列彈性體系計算程序1960s后粘彈體系理論和數(shù)值解法很多有限尺寸板修正理論解彈性層狀體系數(shù)值解2Part2.力和變形——經(jīng)典路面力學(xué)分析ξ1.路面力學(xué)分析ξ2.軸對稱空間問題的一般解路面分析便于簡化為軸對稱空間問題荷載結(jié)構(gòu)還可進一步簡化為平面對稱問題分析目的：解算荷載作用下的應(yīng)力分量和位移分量解決方法彈性空間體結(jié)構(gòu)分析引入軸對稱簡化為柱坐標(biāo)解算空間問題方程得到應(yīng)力分量和位移分量表達式3ξ2.軸對稱空間問題的一般解31.軸對稱空間問題的方程空間問題共有15個未知函數(shù)：6個應(yīng)變分量：3個位移分量：6個應(yīng)力分量：15個函數(shù)應(yīng)該滿足15個基本方程（用15個方程求解）：3個平衡微分方程（應(yīng)力之間的關(guān)系）：6個幾何方程（應(yīng)變和變形之間的關(guān)系）：6個物理方程（應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系）：或

直角坐標(biāo)情況，轉(zhuǎn)換柱坐標(biāo)：x=rcosθ

，y=rsinθ

，z=z41.軸對稱空間問題的方程空間問題共有15個未知函數(shù)：6個應(yīng)變空間軸對稱問題彈性層狀體系空間軸對稱，在柱坐標(biāo)中，微分單元體上，應(yīng)力分量有三個法向應(yīng)力（）和三對剪應(yīng)力當(dāng)層狀體系表面作用軸對稱荷載時，各應(yīng)力、形變和位移分量也對稱于對稱軸，即它們僅是r

和θ的函數(shù)。因而,，三對剪應(yīng)力只剩下一對。由此可將柱坐標(biāo)下的方程組化簡1.軸對稱空間問題的方程5空間軸對稱問題1.軸對稱空間問題的方程56個應(yīng)變分量：3個位移分量：6個應(yīng)力分量：15個函數(shù)應(yīng)該滿足15個基本方程，空間軸對稱問題化簡為10個2個平衡微分方程：4個幾何方程：

4個物理方程：

或

柱坐標(biāo)空間軸對稱情況①②③66個應(yīng)變分量：3個位移分量：6個應(yīng)力分量：15個函數(shù)應(yīng)該滿足平衡微分方程中3個未知量，卻只有兩個方程，是一個超靜定問題為進一步求解，引入變形協(xié)調(diào)方程/相容方程，表征變形連續(xù)性:拉普拉斯算子P40，3-2由幾何方程消去u和w，得變形協(xié)調(diào)方程：再將物理方程代入上式，得變形協(xié)調(diào)方程的應(yīng)力表示式：第一應(yīng)力不變量7平衡微分方程中3個未知量，卻只有兩個方程，是一個超靜定問題為引入洛夫應(yīng)力函數(shù)，洛夫應(yīng)力函數(shù)表達為:根據(jù)前述方程已經(jīng)可以解得各種分量，但這種解法相當(dāng)困難，采用洛夫（1925）提出的應(yīng)力函數(shù)可以簡化計算將洛夫應(yīng)力函數(shù)表達式代入平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程，除了平衡微分方程的第一個公式恒等于0外，其他的方程都轉(zhuǎn)化為重調(diào)和方程：如果應(yīng)力函數(shù)是重調(diào)和方程的解，則能滿足平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程。因此，只要根據(jù)重調(diào)和方程求得應(yīng)力函數(shù)，就能計算各應(yīng)力分量。解重調(diào)和方程可以采用分離變量法或漢克爾積分變換法，習(xí)慣上采用較為簡單的后者路面力學(xué)計算P40，式3-3式3-38引入洛夫應(yīng)力函數(shù)2.應(yīng)用漢克爾積分變換求解重調(diào)和方程（1）形如下式的微分方程稱為貝塞爾方程，其解含有貝塞爾函數(shù)（Jn，n=0,1,2…）：（含有拉普拉斯算子的方程常能展開成貝塞爾方程，重調(diào)和方程變化成貝塞爾方程之后求解，應(yīng)將應(yīng)力函數(shù)表達成貝塞爾函數(shù)）（2）按照傅里葉定理，在任意區(qū)間滿足收斂的函數(shù)可以展開成傅里葉級數(shù),在無限區(qū)間時可寫成無窮積分的形式：（3）若函數(shù)f(r)能按照貝塞爾函數(shù)的積分形式展開如下（適合于二維傅里葉積分在一定條件下按極坐標(biāo)展開）：則變換式成立：兩式互為反演，互稱為對方的漢克爾積分變換式。且0階可以推廣到n階傅里葉級數(shù)的指數(shù)表達式。P30，式2-111,P32，式2-11492.應(yīng)用漢克爾積分變換求解重調(diào)和方程（1）形如下式的微分方程2.應(yīng)用漢克爾積分變換求解重調(diào)和方程（5）推廣到帶有拉普拉斯算子的形式：（4）推廣到洛夫應(yīng)力函數(shù)的漢克爾積分變換式為：其中ξ為引入積分參變量P35，式2-136,2-137102.應(yīng)用漢克爾積分變換求解重調(diào)和方程（5）推廣到帶有拉普拉斯積分變換法求解問題的步驟：1）.對方程的兩邊做積分變換將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?）.對定解條件做相應(yīng)的積分變換，導(dǎo)出新方程變?yōu)槎ń鈼l件3）.對常微分方程，求原定解條件解的變換式4）.對解的變換式取相應(yīng)的逆變換，得到原定解問題的解2.應(yīng)用漢克爾積分變換求解重調(diào)和方程經(jīng)過上述的準(zhǔn)備工作，已經(jīng)可以將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠贪匆话惴椒ń膺@個常微分方程(四階齊次線性貝塞爾方程)，其通解形式為：根據(jù)漢克爾積分變換反演：式中ξ是引入的參變量，Aξ

、Bξ

、Cξ

、Dξ都是ξ的函數(shù)，值由邊界和層間結(jié)合條件來確定P433-11a11積分變換法求解問題的步驟：2.應(yīng)用漢克爾積分變換求解重調(diào)和方3.軸對稱空間問題的精確解當(dāng)然也可以按照應(yīng)力函數(shù)的微分關(guān)系求得應(yīng)力、應(yīng)變、位移的一般表達式（將應(yīng)力函數(shù)微分關(guān)系式代入前述洛夫應(yīng)力函數(shù)的定義式，位移分量通過幾何方程積分得到）：又代入應(yīng)力、應(yīng)變一般表達式P45，3-17123.軸對稱空間問題的精確解當(dāng)然也可以按照應(yīng)力函數(shù)的微分關(guān)系求3.軸對稱空間問題的精確解式中：上述6式為應(yīng)力與位移分量的一般表達式，它適用于任何類型的軸對稱空間問題。今后對解決某一軸對稱的具體問題，只要根據(jù)其邊界條件和層間結(jié)合條件求得A、B、C、D，就能獲得該課題的全部精確解。P46,3-18133.軸對稱空間問題的精確解式中：上述6式為應(yīng)力與位移分量的一4.應(yīng)力和位移分量的數(shù)值解貝塞爾函數(shù)是數(shù)學(xué)上的一類特殊函數(shù)的總稱，整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)可以展開成級數(shù)（其具有波動衰減特性——收斂，則可近似計算）或用無窮積分表示。當(dāng)宗量（x）的大小確定，函數(shù)的階數(shù)確定時，可采用一系列的近似公式計算。如《路面力學(xué)計算》P16-24：144.應(yīng)力和位移分量的數(shù)值解貝塞爾函數(shù)是數(shù)學(xué)上的一類特殊函數(shù)的ξ3.軸對稱空間問題解在彈性半無限空間體的推廣1.彈性半空間體問題及推廣軸對稱空間彈性體問題，假定在點o附近有組很小的面力，它的分布不明確，但等效于集中力P，在o點處力的平衡方程為：15ξ3.軸對稱空間問題解在彈性半無限空間體的推廣1.彈性半空間2.集中荷載作用下Boussinesq解藍色、綠色和紅色是最關(guān)心的三個解P53，4-4P50，ab兩個邊界條件，引入力的平衡條件c，引入洛夫位移函數(shù)d。代入3-18，求得ABCD四個待定系數(shù)，得到式4-4：162.集中荷載作用下Boussinesq解藍色、綠色和紅色2.集中荷載作用下Boussinesq解K-集中力作用下的應(yīng)力分布系數(shù)集中荷載下任意位置處的豎向應(yīng)力：集中荷載下水平邊界（表面）的變形：172.集中荷載作用下Boussinesq解K-集中力作用下3.任意斜向軸對稱荷載作用下的解P55，abcd四個邊界條件代入式3-18，消去待定系數(shù)ABCD得到式4-8(P56):

公式4-8可以推廣到圓形均布、半球形、碗形等其他與實際輪載作用更接近的軸對稱荷載，見路面力學(xué)分析教材第四章P57-58183.任意斜向軸對稱荷載作用下的解P55，abcd四個邊界條件4.圓形均布荷載下的力和變形彈性半空間體上為圓形均布荷載時，可按集中荷載的解，由積分法求出應(yīng)力與位移分量，也可直接由任意斜向軸對稱荷載公式推出194.圓形均布荷載下的力和變形彈性半空間體上為圓形均布荷載時，4圓形均布荷載下的力和變形1柔性板軸對稱解204圓形均布荷載下的力和變形1柔性板軸對稱解204圓形均布荷載下的力和變形2剛性板軸對稱解214圓形均布荷載下的力和變形2剛性板軸對稱解215.半空間問題解的實際應(yīng)用如果路面與土基的模量比接近1，例如很薄的瀝青面層和很薄的粒料基層，應(yīng)用該理論可以確定土基的應(yīng)力、應(yīng)變和撓度如果路面與土基的模量比相差較大，則可以采用平均模量法或路面當(dāng)量厚度法將其換算為一層，從而可以求算變形。但求得應(yīng)力（尤其是我們關(guān)心的層底幅向應(yīng)力）不準(zhǔn)確當(dāng)為雙輪荷載時，可按柔性板分別計算后疊加得到應(yīng)力、應(yīng)變和撓度。（注意：課件中給出公式都為r≤a的情況，疊加計算需要采用r≥a的解，具體可參考朱照宏-路面力學(xué)計算）225.半空間問題解的實際應(yīng)用如果路面與土基的模量比接近1，例如ξ4.軸對稱空間問題解在層狀體系的推廣1.基本假定各層材料均質(zhì)，連續(xù)、各向同性、完全彈性路基路面體系的位移微小路面各層有確定的厚度，在水平方向假定是無限大的。土基在水平和深度方向都是無限大的。不考慮路面自重對應(yīng)力的影響路面和土基水平方向無限遠處，應(yīng)力、應(yīng)變和位移等于零。土基無限深處，應(yīng)力、應(yīng)變和位移等于零。層間接觸情況，或者完全連續(xù)或者完全滑動23ξ4.軸對稱空間問題解在層狀體系的推廣1.基本假定232.任意斜向荷載作用下雙層體系的解為建立邊界條件引入脫離體結(jié)構(gòu)（1代表上層，0代表下層）242.任意斜向荷載作用下雙層體系的解為建立邊界條件引入脫離體結(jié)邊界條件2.任意斜向荷載作用下雙層體系的解上層表面層間結(jié)合處由邊界條件，按P126介紹的方法求出待定系數(shù)ABCD，再將待定系數(shù)代入3-18可得到上層應(yīng)力與位移分量表達式。P127給出了兩個位移分量表達式（式7-1和7-2）。由層間邊界條件和已經(jīng)求得的ABCD，取得p（r）和g（r）的表達式，將其代入4-8，得到下層內(nèi)任一點的解析表達式。P128給出垂直應(yīng)力σz表達式（式7-3）。25邊界條件2.任意斜向荷載作用下雙層體系的解上層表面層間結(jié)合處2.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系圓形垂直荷載的漢克爾積分變換式（P57-58，式4-10）：代入任意斜向荷載作用下ABCD表達式（P127），得到式7-4：262.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系圓形垂直荷載的漢克爾積分變2.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系再將7-4代入3-18，令ξh=x得上層應(yīng)力與位移分量表達式（7-5）：272.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系再將7-4代入3-18，令將荷載的漢克爾積分變換式代入未知反力積分變換式，得7-6：2.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系將7-6代入4-8，得到圓形垂直荷載下層應(yīng)力和位移分量表達式7-7：28將荷載的漢克爾積分變換式代入未知反力積分變換式，得7-6：22.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系按P58，4-11，若荷載為圓形垂直均布。則m=1貝塞爾函數(shù)為1階：得到雙層連續(xù)體系圓形均布荷載下的解。其中垂直位移分量列于本科教材（程）P382的式14-15本科教材（程）P382的式14-15雙層滑動體系的解在P134-136，7-8和7-9，此處不再贅述。在此我們還可以看出，雙層均布荷載下的解與荷載作用半徑與層厚之比（貝塞爾函數(shù)中的a/h），以及相鄰層間模量比（m變量）相關(guān)。這和我們在本科生階段反復(fù)強調(diào)的結(jié)構(gòu)組合原則相關(guān)。292.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系按P58，4-11，若荷載3.圓形垂直荷載作用下雙層體系的數(shù)值解取各種應(yīng)力分量和位移分量的系數(shù)表達式：7-11c(連續(xù)結(jié)構(gòu)上層豎向應(yīng)力)7-12c（連續(xù)結(jié)構(gòu)下層豎向應(yīng)力）計算雙層體系在圓形軸對稱垂直荷載作用下的應(yīng)力和位移值?？刹捎眯疗丈╯impson）公式或高斯積分公式等數(shù)值積分方法。但是計算工作量很大，用人工計算十分困難，故一般可以用電子計算機來完成這些計算工作。同時通常也進行一定程度的簡化。貝塞爾函數(shù)可以按上節(jié)所述展開303.圓形垂直荷載作用下雙層體系的數(shù)值解取各種應(yīng)力分量和位移分3.圓形垂直荷載作用下雙層體系的數(shù)值解上述的計算工作仍然難以完成，可將計算結(jié)果繪制成諾模圖求解（如本科教材p383,14-16）：更多情況下可直接使用應(yīng)用程序求解。典型殼牌BISAR3.0

黃仰賢KENLAYER，我國APDS/HPDS等313.圓形垂直荷載作用下雙層體系的數(shù)值解上述的計算工作仍然難以BISAR對應(yīng)殼牌瀝青路面設(shè)計法,用于分析力和變形BISAR1.0發(fā)布于1978年1995年發(fā)布DOS版本的BISAR2.01998年發(fā)布windows版本的BISAR3.0BISAR3.0只能用于windowsNT4.0以前版本（98、2000、me等）ξ5.路面力學(xué)分析應(yīng)用軟件32BISARξ5.路面力學(xué)分析應(yīng)用軟件32主菜單33主菜單33子菜單34子菜單34輸出35輸出35KENPAVE美黃仰賢教授開發(fā)80年代末發(fā)布DOS版本基于FORTRAN,開放式版本，代碼可修改KENPAVE包含KENLAYER和KENSLABS，分別用于解決瀝青路面和水泥路面可解決彈性分析、粘彈分析、損傷分析、非線性問題等不同情況。ξ5.路面力學(xué)分析應(yīng)用軟件主菜單36KENPAVEξ5.路面力學(xué)分析應(yīng)用軟件主菜單36子菜單37子菜單37輸出38輸出38mePADSbasedontheSouthAfricaMechanisticPavementDesignMethoddevelopedbyCSIR(CouncilforScientificandIndustrialResearch)Elasticgraphical

interfacesξ5.路面力學(xué)分析應(yīng)用軟件39mePADSξ5.路面力學(xué)分析應(yīng)用軟件39結(jié)構(gòu)輸入40結(jié)構(gòu)輸入40荷載輸入LoadandEvaluationPoints

41荷載輸入LoadandEvaluationPoints輸出（具有十幾種的輸出）PavementandLayerBearingCapacities

42輸出（具有十幾種的輸出）PavementandLayerContourplotofVertical(ZZ)Stresses

輸出（具有十幾種的輸出）43ContourplotofVertical(ZZ)ProfilePlotofXXStress

輸出（具有十幾種的輸出）44ProfilePlotofXXStress輸出（具理論分析結(jié)果準(zhǔn)確嗎？45理論分析結(jié)果準(zhǔn)確嗎？45作業(yè)寫出雙層體系彈性結(jié)構(gòu)層底拉應(yīng)力、下層頂面壓應(yīng)力和豎向變形的解析解和一種數(shù)值解。基于分析軟件，分析典型結(jié)構(gòu)不同位置的應(yīng)力和變形。柔性基層瀝青路面4cmAC-13C+8cmAC-20C+18cmATB+33cm級配碎石+Subgrade(Soil)半剛性基層瀝青路面4cmAC-13C+6cmAC-20C+8cmAC-25F+38cm水泥穩(wěn)定碎石+Subgrade(Soil）條件：BZZ-100，雙圓，層間連續(xù)，AC-13彈性模量3.5GPa，AC-20彈性模量3.0GPa，AC-20彈性模量2.5GPa，ATB彈性模量2.5GPa，級配碎石彈性模量300MPa，水泥穩(wěn)定碎石彈性模量4.0GP，土基彈性模量40MPa。求解：路面各層最大拉應(yīng)力及最大拉應(yīng)力點路面各層平均壓應(yīng)變表面彎沉路基頂面壓應(yīng)力、壓應(yīng)變與彎沉作業(yè)形式：荷載、結(jié)構(gòu)圖示、材料條件、計算點、條件輸入方法介紹輸出結(jié)果二種結(jié)構(gòu)的輸出結(jié)果46作業(yè)寫出雙層體系彈性結(jié)構(gòu)層底拉應(yīng)力、下層頂面壓應(yīng)力和豎向變形Part2路面的力和變形——經(jīng)典路面力學(xué)分析47Part2路面的力和變形——經(jīng)典路面力學(xué)分析1Part2.

力和變形——經(jīng)典路面力學(xué)分析ξ1.路面力學(xué)分析的發(fā)展路基路面力學(xué)分析需求剛性路面柔性路面1929洛夫圓形均布荷載下解（均勻體）1884赫茲的液體支承板理論1924奧爾德的板角懸臂梁理論1925威斯特卡德的理論解1885布辛尼斯克半空間體理論1938霍格、舍赫捷爾無限大板理論解1945波密斯特層狀體系理論1954福斯脫圓形均布荷載計算諾模圖（均勻體）1948~1959科崗等人使層狀解析理論不斷完善1957~1962希夫曼等人發(fā)展了數(shù)值解法一系列彈性體系計算程序1960s后粘彈體系理論和數(shù)值解法很多有限尺寸板修正理論解彈性層狀體系數(shù)值解48Part2.力和變形——經(jīng)典路面力學(xué)分析ξ1.路面力學(xué)分析ξ2.軸對稱空間問題的一般解路面分析便于簡化為軸對稱空間問題荷載結(jié)構(gòu)還可進一步簡化為平面對稱問題分析目的：解算荷載作用下的應(yīng)力分量和位移分量解決方法彈性空間體結(jié)構(gòu)分析引入軸對稱簡化為柱坐標(biāo)解算空間問題方程得到應(yīng)力分量和位移分量表達式49ξ2.軸對稱空間問題的一般解31.軸對稱空間問題的方程空間問題共有15個未知函數(shù)：6個應(yīng)變分量：3個位移分量：6個應(yīng)力分量：15個函數(shù)應(yīng)該滿足15個基本方程（用15個方程求解）：3個平衡微分方程（應(yīng)力之間的關(guān)系）：6個幾何方程（應(yīng)變和變形之間的關(guān)系）：6個物理方程（應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系）：或

直角坐標(biāo)情況，轉(zhuǎn)換柱坐標(biāo)：x=rcosθ

，y=rsinθ

，z=z501.軸對稱空間問題的方程空間問題共有15個未知函數(shù)：6個應(yīng)變空間軸對稱問題彈性層狀體系空間軸對稱，在柱坐標(biāo)中，微分單元體上，應(yīng)力分量有三個法向應(yīng)力（）和三對剪應(yīng)力當(dāng)層狀體系表面作用軸對稱荷載時，各應(yīng)力、形變和位移分量也對稱于對稱軸，即它們僅是r

和θ的函數(shù)。因而,，三對剪應(yīng)力只剩下一對。由此可將柱坐標(biāo)下的方程組化簡1.軸對稱空間問題的方程51空間軸對稱問題1.軸對稱空間問題的方程56個應(yīng)變分量：3個位移分量：6個應(yīng)力分量：15個函數(shù)應(yīng)該滿足15個基本方程，空間軸對稱問題化簡為10個2個平衡微分方程：4個幾何方程：

4個物理方程：

或

柱坐標(biāo)空間軸對稱情況①②③526個應(yīng)變分量：3個位移分量：6個應(yīng)力分量：15個函數(shù)應(yīng)該滿足平衡微分方程中3個未知量，卻只有兩個方程，是一個超靜定問題為進一步求解，引入變形協(xié)調(diào)方程/相容方程，表征變形連續(xù)性:拉普拉斯算子P40，3-2由幾何方程消去u和w，得變形協(xié)調(diào)方程：再將物理方程代入上式，得變形協(xié)調(diào)方程的應(yīng)力表示式：第一應(yīng)力不變量53平衡微分方程中3個未知量，卻只有兩個方程，是一個超靜定問題為引入洛夫應(yīng)力函數(shù)，洛夫應(yīng)力函數(shù)表達為:根據(jù)前述方程已經(jīng)可以解得各種分量，但這種解法相當(dāng)困難，采用洛夫（1925）提出的應(yīng)力函數(shù)可以簡化計算將洛夫應(yīng)力函數(shù)表達式代入平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程，除了平衡微分方程的第一個公式恒等于0外，其他的方程都轉(zhuǎn)化為重調(diào)和方程：如果應(yīng)力函數(shù)是重調(diào)和方程的解，則能滿足平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程。因此，只要根據(jù)重調(diào)和方程求得應(yīng)力函數(shù)，就能計算各應(yīng)力分量。解重調(diào)和方程可以采用分離變量法或漢克爾積分變換法，習(xí)慣上采用較為簡單的后者路面力學(xué)計算P40，式3-3式3-354引入洛夫應(yīng)力函數(shù)2.應(yīng)用漢克爾積分變換求解重調(diào)和方程（1）形如下式的微分方程稱為貝塞爾方程，其解含有貝塞爾函數(shù)（Jn，n=0,1,2…）：（含有拉普拉斯算子的方程常能展開成貝塞爾方程，重調(diào)和方程變化成貝塞爾方程之后求解，應(yīng)將應(yīng)力函數(shù)表達成貝塞爾函數(shù)）（2）按照傅里葉定理，在任意區(qū)間滿足收斂的函數(shù)可以展開成傅里葉級數(shù),在無限區(qū)間時可寫成無窮積分的形式：（3）若函數(shù)f(r)能按照貝塞爾函數(shù)的積分形式展開如下（適合于二維傅里葉積分在一定條件下按極坐標(biāo)展開）：則變換式成立：兩式互為反演，互稱為對方的漢克爾積分變換式。且0階可以推廣到n階傅里葉級數(shù)的指數(shù)表達式。P30，式2-111,P32，式2-114552.應(yīng)用漢克爾積分變換求解重調(diào)和方程（1）形如下式的微分方程2.應(yīng)用漢克爾積分變換求解重調(diào)和方程（5）推廣到帶有拉普拉斯算子的形式：（4）推廣到洛夫應(yīng)力函數(shù)的漢克爾積分變換式為：其中ξ為引入積分參變量P35，式2-136,2-137562.應(yīng)用漢克爾積分變換求解重調(diào)和方程（5）推廣到帶有拉普拉斯積分變換法求解問題的步驟：1）.對方程的兩邊做積分變換將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?）.對定解條件做相應(yīng)的積分變換，導(dǎo)出新方程變?yōu)槎ń鈼l件3）.對常微分方程，求原定解條件解的變換式4）.對解的變換式取相應(yīng)的逆變換，得到原定解問題的解2.應(yīng)用漢克爾積分變換求解重調(diào)和方程經(jīng)過上述的準(zhǔn)備工作，已經(jīng)可以將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠贪匆话惴椒ń膺@個常微分方程(四階齊次線性貝塞爾方程)，其通解形式為：根據(jù)漢克爾積分變換反演：式中ξ是引入的參變量，Aξ

、Bξ

、Cξ

、Dξ都是ξ的函數(shù)，值由邊界和層間結(jié)合條件來確定P433-11a57積分變換法求解問題的步驟：2.應(yīng)用漢克爾積分變換求解重調(diào)和方3.軸對稱空間問題的精確解當(dāng)然也可以按照應(yīng)力函數(shù)的微分關(guān)系求得應(yīng)力、應(yīng)變、位移的一般表達式（將應(yīng)力函數(shù)微分關(guān)系式代入前述洛夫應(yīng)力函數(shù)的定義式，位移分量通過幾何方程積分得到）：又代入應(yīng)力、應(yīng)變一般表達式P45，3-17583.軸對稱空間問題的精確解當(dāng)然也可以按照應(yīng)力函數(shù)的微分關(guān)系求3.軸對稱空間問題的精確解式中：上述6式為應(yīng)力與位移分量的一般表達式，它適用于任何類型的軸對稱空間問題。今后對解決某一軸對稱的具體問題，只要根據(jù)其邊界條件和層間結(jié)合條件求得A、B、C、D，就能獲得該課題的全部精確解。P46,3-18593.軸對稱空間問題的精確解式中：上述6式為應(yīng)力與位移分量的一4.應(yīng)力和位移分量的數(shù)值解貝塞爾函數(shù)是數(shù)學(xué)上的一類特殊函數(shù)的總稱，整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)可以展開成級數(shù)（其具有波動衰減特性——收斂，則可近似計算）或用無窮積分表示。當(dāng)宗量（x）的大小確定，函數(shù)的階數(shù)確定時，可采用一系列的近似公式計算。如《路面力學(xué)計算》P16-24：604.應(yīng)力和位移分量的數(shù)值解貝塞爾函數(shù)是數(shù)學(xué)上的一類特殊函數(shù)的ξ3.軸對稱空間問題解在彈性半無限空間體的推廣1.彈性半空間體問題及推廣軸對稱空間彈性體問題，假定在點o附近有組很小的面力，它的分布不明確，但等效于集中力P，在o點處力的平衡方程為：61ξ3.軸對稱空間問題解在彈性半無限空間體的推廣1.彈性半空間2.集中荷載作用下Boussinesq解藍色、綠色和紅色是最關(guān)心的三個解P53，4-4P50，ab兩個邊界條件，引入力的平衡條件c，引入洛夫位移函數(shù)d。代入3-18，求得ABCD四個待定系數(shù)，得到式4-4：622.集中荷載作用下Boussinesq解藍色、綠色和紅色2.集中荷載作用下Boussinesq解K-集中力作用下的應(yīng)力分布系數(shù)集中荷載下任意位置處的豎向應(yīng)力：集中荷載下水平邊界（表面）的變形：632.集中荷載作用下Boussinesq解K-集中力作用下3.任意斜向軸對稱荷載作用下的解P55，abcd四個邊界條件代入式3-18，消去待定系數(shù)ABCD得到式4-8(P56):

公式4-8可以推廣到圓形均布、半球形、碗形等其他與實際輪載作用更接近的軸對稱荷載，見路面力學(xué)分析教材第四章P57-58643.任意斜向軸對稱荷載作用下的解P55，abcd四個邊界條件4.圓形均布荷載下的力和變形彈性半空間體上為圓形均布荷載時，可按集中荷載的解，由積分法求出應(yīng)力與位移分量，也可直接由任意斜向軸對稱荷載公式推出654.圓形均布荷載下的力和變形彈性半空間體上為圓形均布荷載時，4圓形均布荷載下的力和變形1柔性板軸對稱解664圓形均布荷載下的力和變形1柔性板軸對稱解204圓形均布荷載下的力和變形2剛性板軸對稱解674圓形均布荷載下的力和變形2剛性板軸對稱解215.半空間問題解的實際應(yīng)用如果路面與土基的模量比接近1，例如很薄的瀝青面層和很薄的粒料基層，應(yīng)用該理論可以確定土基的應(yīng)力、應(yīng)變和撓度如果路面與土基的模量比相差較大，則可以采用平均模量法或路面當(dāng)量厚度法將其換算為一層，從而可以求算變形。但求得應(yīng)力（尤其是我們關(guān)心的層底幅向應(yīng)力）不準(zhǔn)確當(dāng)為雙輪荷載時，可按柔性板分別計算后疊加得到應(yīng)力、應(yīng)變和撓度。（注意：課件中給出公式都為r≤a的情況，疊加計算需要采用r≥a的解，具體可參考朱照宏-路面力學(xué)計算）685.半空間問題解的實際應(yīng)用如果路面與土基的模量比接近1，例如ξ4.軸對稱空間問題解在層狀體系的推廣1.基本假定各層材料均質(zhì)，連續(xù)、各向同性、完全彈性路基路面體系的位移微小路面各層有確定的厚度，在水平方向假定是無限大的。土基在水平和深度方向都是無限大的。不考慮路面自重對應(yīng)力的影響路面和土基水平方向無限遠處，應(yīng)力、應(yīng)變和位移等于零。土基無限深處，應(yīng)力、應(yīng)變和位移等于零。層間接觸情況，或者完全連續(xù)或者完全滑動69ξ4.軸對稱空間問題解在層狀體系的推廣1.基本假定232.任意斜向荷載作用下雙層體系的解為建立邊界條件引入脫離體結(jié)構(gòu)（1代表上層，0代表下層）702.任意斜向荷載作用下雙層體系的解為建立邊界條件引入脫離體結(jié)邊界條件2.任意斜向荷載作用下雙層體系的解上層表面層間結(jié)合處由邊界條件，按P126介紹的方法求出待定系數(shù)ABCD，再將待定系數(shù)代入3-18可得到上層應(yīng)力與位移分量表達式。P127給出了兩個位移分量表達式（式7-1和7-2）。由層間邊界條件和已經(jīng)求得的ABCD，取得p（r）和g（r）的表達式，將其代入4-8，得到下層內(nèi)任一點的解析表達式。P128給出垂直應(yīng)力σz表達式（式7-3）。71邊界條件2.任意斜向荷載作用下雙層體系的解上層表面層間結(jié)合處2.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系圓形垂直荷載的漢克爾積分變換式（P57-58，式4-10）：代入任意斜向荷載作用下ABCD表達式（P127），得到式7-4：722.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系圓形垂直荷載的漢克爾積分變2.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系再將7-4代入3-18，令ξh=x得上層應(yīng)力與位移分量表達式（7-5）：732.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系再將7-4代入3-18，令將荷載的漢克爾積分變換式代入未知反力積分變換式，得7-6：2.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系將7-6代入4-8，得到圓形垂直荷載下層應(yīng)力和位移分量表達式7-7：74將荷載的漢克爾積分變換式代入未知反力積分變換式，得7-6：22.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系按P58，4-11，若荷載為圓形垂直均布。則m=1貝塞爾函數(shù)為1階：得到雙層連續(xù)體系圓形均布荷載下的解。其中垂直位移分量列于本科教材（程）P382的式14-15本科教材（程）P382的式14-15雙層滑動體系的解在P134-136，7-8和7-9，此處不再贅述。在此我們還可以看出，雙層均布荷載下的解與荷載作用半徑與層厚之比（貝塞爾函數(shù)中的a/h），以及相鄰層間模量比（m變量）相關(guān)。這和我們在本科生階段反復(fù)強調(diào)的結(jié)構(gòu)組合原則相關(guān)。752.圓形垂直荷載作用下雙層連續(xù)體系按P58，4-11，若荷載3.圓形垂直荷載作用下雙層體系的數(shù)值解取各種應(yīng)力分量和位移分量的系數(shù)表達式：7-11c(連續(xù)結(jié)構(gòu)上層豎向應(yīng)力)7-12c（連續(xù)結(jié)構(gòu)下層豎向應(yīng)力）計算雙層體系在圓形軸對稱垂直荷載作用下的應(yīng)力和位移值。可采用辛普森（simpson）公式或高斯積分公式等數(shù)值積分方法。但是計算工作量很大，用人工計算十分困難，故一般可以用電子計算機來完成這些計算工作。同時通常也進行一定程度的簡化。貝塞爾函數(shù)可以按上節(jié)所述展開763.圓形垂直荷載作用下雙層體系的數(shù)值解取各種應(yīng)力分量和位移分3.圓形垂直荷載作用下雙層體系的數(shù)值解上述的計算工作仍然難以完成，可將計算結(jié)果繪制成諾模圖求解（如本科教材p383,14-16）：更多情況下可直接使用應(yīng)用程序求解。典型殼牌BISAR3.0

黃仰賢KENLAYER，我國APDS/HPDS等773.圓形垂直荷載作用下雙層體系的數(shù)值解上述的計算工作仍然難以BISAR對應(yīng)殼牌瀝青路面設(shè)計法,用于分析力和變形BISAR1.0發(fā)布于1978年1995