高一物理必修 2第六章 萬有引力定律之行星的運(yùn)動(dòng)

5/55/55/5高一物理必修2第六章萬有引力定律之行星的運(yùn)動(dòng)課程導(dǎo)讀一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握開普勒三定律的內(nèi)容,能寫出第三定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式并能進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。2.了解萬有引力定律得出的思路和過程。理解萬有引力定律的含義并會(huì)推導(dǎo)萬有引力定律。3.了解卡文迪許實(shí)驗(yàn)裝置及其原理,知道引力常量的數(shù)值及其意義。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：1.理解萬有引力定律的含義并會(huì)推導(dǎo)萬有引力定律。2.了解卡文迪許實(shí)驗(yàn)裝置及其原理難點(diǎn)：理解萬有引力定律的含義并會(huì)推導(dǎo)萬有引力定律。會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。三、考點(diǎn)分析：開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律的理解是行星運(yùn)動(dòng)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)天體運(yùn)動(dòng)知識(shí)的根底,在高考中占有重要位置,涉及本節(jié)內(nèi)容的高考命題的重點(diǎn)是：應(yīng)用開普勒定律分析人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng),有時(shí)和天文現(xiàn)象相聯(lián)系,命題以選擇題,填空題為主,有時(shí)涉及計(jì)算題。萬有引力定律是高中物理的重點(diǎn)知識(shí)也是高考的熱點(diǎn),高考中主要考查天體運(yùn)動(dòng)類問題。知識(shí)梳理一、開普勒天文三定律：1.所有的行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓,太陽處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。2.太陽與任何一個(gè)行星的連線〔矢徑〕在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。3.所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。即R3／T2=k二、萬有引力定律1.萬有引力定律：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的,引力的大小跟這兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比,跟它們的距離的二次方成反比。其中m1、m2是兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量,r為兩質(zhì)點(diǎn)間的距離,G是萬有引力常量,數(shù)值為：G＝6.67×10－11N·m2/kg2?！踩f有引力常量是英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許首先測(cè)量出的〕。G在數(shù)值上等于：質(zhì)量都是1kg的物體,在相距1m時(shí)的相互作用力的大小等于6.67×10－11N。2.萬有引力定律的使用條件：①萬有引力定律適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用,表達(dá)式中的r是兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離。②兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用也可以用萬有引力定律的表達(dá)式來計(jì)算,其中應(yīng)把r理解為兩個(gè)球心的距離。例如：我們可以把地球看作各層質(zhì)量均勻分布的球體,所以地面上質(zhì)量為m的物體所受地球的引力可以表示為F=GMm/R2,式中M和R分別表示地球的質(zhì)量和地球的半徑。③一般質(zhì)量很小的物體之間的引力十分微小,特別是在研究微觀粒子時(shí),萬有引力一般忽略不計(jì)。辨析：由萬有引力定律公式可知,當(dāng)時(shí),。這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？答：這個(gè)結(jié)論不對(duì)！萬有引力定律公式只適用于求兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)〔或兩個(gè)物體均可視為質(zhì)點(diǎn)〕之間的萬有引力〔假設(shè)兩個(gè)物體不能視為質(zhì)點(diǎn),那么要將它們分割成許多小塊〔質(zhì)點(diǎn)〕,然后用此式去計(jì)算每一對(duì)小塊間的引力,最后將其中一個(gè)物體所受的各個(gè)引力進(jìn)行矢量合成〕。既然,就不能將兩個(gè)物體視為質(zhì)點(diǎn)了！所以我們不能將物理問題純數(shù)學(xué)化！3.萬有引力定律的推導(dǎo)：向心力公式→用周期表示的向心力公式→吸引力提供向心力→吸引力是相互的。具體推導(dǎo)如下：4.用牛頓的萬有引力定律推導(dǎo)開普勒第三定律：通過上面的推導(dǎo)可以看出,在太陽系內(nèi)研究太陽系內(nèi)的行星運(yùn)動(dòng),其半長(zhǎng)軸的三次方跟它的運(yùn)動(dòng)周期的二次方的比值是恒定不變的,它的大小決定于太陽質(zhì)量。推理可知各個(gè)人造地球衛(wèi)星的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的運(yùn)動(dòng)周期的二次方的比值也是恒定的,其大小決定于地球的質(zhì)量。但衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)的這個(gè)恒定比值與地球繞太陽旋轉(zhuǎn)的恒定比值不同。開普勒第三定律適用于任何天體運(yùn)動(dòng),但不同系統(tǒng)內(nèi)的比值不一定相等。三、引力常量的測(cè)定及其意義1.卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)：卡文迪許的扭秤實(shí)驗(yàn),后世稱為卡文迪許實(shí)驗(yàn)。他用一根39英寸的鍍銀銅絲吊一6英尺木桿,桿的兩端各固定一個(gè)直徑為2英寸的小鉛球,另用兩顆直徑為12英寸的固定著的大鉛球吸引它們,通過小鏡反射的光點(diǎn)在刻度尺上的位置求出轉(zhuǎn)動(dòng)的角度,再利用扭轉(zhuǎn)力矩跟角度的關(guān)系,計(jì)算出兩個(gè)鉛球的引力的大小。因?yàn)橛辛巳f有引力常量,就可以利用重力加速度,來計(jì)算地球的質(zhì)量,所以卡文迪許被稱為“能稱出地球質(zhì)量的人〞。2.引力常量的意義及數(shù)值：引力常量的測(cè)出,使人們已經(jīng)知道了100多年的萬有引力第一次能進(jìn)行計(jì)算,從而使萬有引力定律有了真正的實(shí)用價(jià)值。G＝6.67×10－11N·m2/kg2萬有引力定律中各物理量使用國(guó)際單位制中的主單位。3.物體的重力與萬有引力的關(guān)系：[思考]地球上的物體在什么地方時(shí),重力和萬有引力大小最接近？在什么地方時(shí),重力和萬有引力大小相差最多？重力是萬有引力產(chǎn)生的,由于地球的自轉(zhuǎn),因而地球外表的物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要向心力。重力實(shí)際上是萬有引力的一個(gè)分力。另一個(gè)分力就是物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要的向心力,如下圖,由于緯度的變化,物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力不斷變化,因而地球外表物體的重力隨緯度的變化而變化,即重力加速度隨緯度的變化而變化,從赤道到兩極逐漸增大。通常的計(jì)算中因重力和萬有引力相差不大,而認(rèn)為兩者相等,即,常用來計(jì)算星球外表重力加速度的大小。在地球的同一緯度處,隨物體離地面高度的增大而減小,即。在赤道處,物體的萬有引力分解的兩個(gè)分力和剛好在一條直線上,那么有：,所以,因地球自轉(zhuǎn)角速度很小,,所以。典型例題知識(shí)點(diǎn)一：開普勒第三定律的理解和應(yīng)用例1.對(duì)開普勒第三定律的表達(dá)式R3／T2=k的理解,正確的選項(xiàng)是〔〕A、k與R3成正比B、k與T2成反比C、k值是與R和T無關(guān)的值D、k值與行星自身無關(guān)分析：該題主要考查學(xué)生對(duì)于開普勒第三定律的理解情況,重點(diǎn)在于對(duì)常量k的理解。解：由開普勒第三定律可知,所有圍繞統(tǒng)一中心天體運(yùn)行的行星的半長(zhǎng)軸R的三次方與周期T的二次方的比值都相等,比值k只與中心天體有關(guān),與行星及其R、T無關(guān),故A、B錯(cuò)誤,C、D正確。該題主要考查對(duì)于開普勒第三定律的理解,k是一個(gè)與行星無關(guān)的常量,但不是恒量,在不同的星系中,k的值與中心天體有關(guān)。這是同學(xué)容易混淆的一點(diǎn)。例2.有一顆名叫谷神的小行星,質(zhì)量為=,它的軌道半徑是地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道半徑的2.77倍,求它繞太陽運(yùn)動(dòng)一周所需要的時(shí)間。分析：該題要求計(jì)算行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期,由題該行星與地球都繞同一中心天體——太陽運(yùn)動(dòng),又它們繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道半徑之比,且地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期是常數(shù),很顯然由開普勒第三定律可以求得。解：假設(shè)地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為,那么谷神繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為=2.77地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)周期為=365天依據(jù)可得：對(duì)地球繞太陽運(yùn)動(dòng)有：對(duì)谷神繞太陽運(yùn)動(dòng)有：聯(lián)立上述兩式解得：將=2.77代入上式解得：所以,谷神繞太陽一周所用時(shí)間為：解題后思考：在該題的分析過程中注意,好多同學(xué)往往覺得只告訴半徑關(guān)系那么不能很快找出它和時(shí)間的關(guān)系,在審題過程中要注意隱含條件的挖掘,行星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是以地球的軌道半徑為標(biāo)準(zhǔn)給出的,那么就要抓住這一條件聯(lián)想到地球公轉(zhuǎn)周期也是一個(gè)條件。從而在行星與地球半徑比和地球公轉(zhuǎn)周期的情況下找到這個(gè)題目的解題突破口,然后運(yùn)用開普勒第三定律求解。例3.如圖表示發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)的三個(gè)階段,首先將衛(wèi)星送上近地圓軌道,其半徑為,然后在某處B加速使其軌道成為以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道,最后在軌道最高點(diǎn)A再次加速,使衛(wèi)星進(jìn)入地球同步圓軌道,其半徑為R,周期為。A、B分別為橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)。試求衛(wèi)星從B運(yùn)動(dòng)到A經(jīng)歷的時(shí)間。分析：由題意知道衛(wèi)星發(fā)射過程分三個(gè)階段,同時(shí)衛(wèi)星在不同階段的軌道是不一樣的,因而不同軌道對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)周期是不同的,由同步衛(wèi)星的根本特點(diǎn)知道其運(yùn)動(dòng)周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期,可以認(rèn)為是常數(shù)。而衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)過程中雖然軌道不同,但是它們有著相同的中心天體,因而可以考慮應(yīng)用開普勒第三定律解題。解：衛(wèi)星從B運(yùn)動(dòng)到A的時(shí)間恰為橢圓運(yùn)動(dòng)的半周期,其周期設(shè)為,同步圓軌道半徑為R,運(yùn)動(dòng)周期設(shè)為T,近地圓軌道半徑為r,那么橢圓軌道半長(zhǎng)軸為,由開普勒第三定律得：,所以解題后的思考：對(duì)于衛(wèi)星發(fā)射過程中的變軌問題,其本身就是一個(gè)復(fù)雜的過程,好多同學(xué)拿到題之后首先從心理上產(chǎn)生了畏難思想,從而不能認(rèn)真讀題去分析題目中的條件和隱含條件,因此建議大家在解題時(shí)首先要能大膽細(xì)心的去讀題,理解題意,找出題目給出的過程和我們所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,從而很快的找到解題的方法和思路。知識(shí)點(diǎn)二：開普勒第二定律的應(yīng)用例1.某行星沿橢圓軌道運(yùn)行,遠(yuǎn)日點(diǎn)離太陽的距離為a,近日點(diǎn)離太陽的距離為b,過遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)行星的速率為va,那么過近日點(diǎn)時(shí)行星的速率為〔〕Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.分析：應(yīng)用開普勒第一定律畫出行星運(yùn)動(dòng)的軌道圖,在涉及到運(yùn)動(dòng)速率問題是我們經(jīng)常應(yīng)用開普勒第二定律求解,如果取極短時(shí)間的話,那么行星運(yùn)動(dòng)可以近似認(rèn)為是一段直線,那么它所對(duì)應(yīng)的面積為三角形面積,三角形底邊長(zhǎng)度為,高為行星距離橢圓焦點(diǎn)的距離,由面積相等就可以解決問題。解：畫出橢圓軌道的示意圖,Ａ,Ｂ分別為遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn),由開普勒第二定律,太陽和行星的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等,取足夠短的時(shí)間t0,那么有：,所以,選C。解題后的思考：利用開普勒第二定律可以判斷行星運(yùn)動(dòng)近日點(diǎn)速率大于遠(yuǎn)日點(diǎn)速率,當(dāng)行星運(yùn)動(dòng)軌道上兩點(diǎn)到太陽的距離,利用掃過面積相等,可求解瞬時(shí)速度大小關(guān)系。在高中物理階段很少用開普勒第二定律進(jìn)行定量計(jì)算,應(yīng)把重點(diǎn)放在對(duì)開普勒第二定律的內(nèi)容的理解上。知識(shí)點(diǎn)三：萬有引力定律的應(yīng)用例1.一質(zhì)量為,半徑為,密度均勻的球體,在距離球心的的地方有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn),現(xiàn)從中挖去半徑為的球體,如下圖,那么剩余局部對(duì)的萬有引力為多大？分析：對(duì)于密度均勻的形狀不規(guī)那么的球體,要求解它和m間的萬有引力,由于無法知道球體的中心所在位置,所以不能知道它和m間的距離,進(jìn)而無法使用萬有引力定律。那么如果假設(shè)被挖去的局部能放回原處,那么其整體中心在球的幾何中心,從而可以求解補(bǔ)充完整后的球和m之間的萬有引力,從中再把挖去局部和m之間的萬有引力減去的話就是不規(guī)那么局部和m間的萬有引力。通過填補(bǔ)的過程,可以把不規(guī)那么形狀的引力求解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)規(guī)那么的球體與m間的引力求解,做到化難為易。解題思路：此題側(cè)重考查萬有引力大小的定量計(jì)算。可設(shè)想將球體中被挖去的半徑為的小球體放回原處,求出大球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力,再減去填補(bǔ)的小球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力,即得大球體剩余局部對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力F。解：由萬有引力定律：質(zhì)量為的球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力挖去的小球體的質(zhì)量質(zhì)量為的球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力那么剩余局部對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力F=-=-=解題后思考：該題不能直接應(yīng)用萬有引力定律公式計(jì)算,因?yàn)橥谟锌昭ǖ那蚴Ｓ嗑植考炔荒芤曌髻|(zhì)點(diǎn),也不是質(zhì)量均勻分布的球體。在此采用“填補(bǔ)法〞進(jìn)行等效計(jì)算,因?yàn)榍蛐摹⒖昭ㄖ行呐c質(zhì)點(diǎn)在同一直線上,可分別求出完整的球體及相當(dāng)于空穴大小的球體對(duì)m2的引力,然后再求二力的合力。萬有引力表達(dá)式只適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間的引力,在高中階段常見的質(zhì)點(diǎn)模型是質(zhì)量分布均勻的球體,因而利用補(bǔ)償法構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)模型,再利用萬有引力定律與力的合成知識(shí)可求“缺失〞球間的引力。例2.設(shè)地球外表重力加速度為,物體在距離地心4R〔R是地球的半徑〕處,由于地球的作用而產(chǎn)生的加速度為g,那么為A.1B.1/9C.1/4D.1/16分析：由牛頓第二定律可知,F合=ma,物體在地面處合外力等于萬有引力,因而萬有引力產(chǎn)生地球外表的重力加速度,同理,在離地心4R的地方,其加速度由合外力產(chǎn)生,通過受力分析可知,該處合外力等于它和地球之間的萬有引力。在解題時(shí)應(yīng)該注意,物體和地球間的萬有引力所對(duì)應(yīng)的距離是物體和地心之間的距離,要注意地球半徑對(duì)它的影響。解析：此題考查萬有引力定律的簡(jiǎn)單應(yīng)用,地球外表處的重力加速度和離地心高4R處的加速度均由地球?qū)ξ矬w的萬有引力產(chǎn)生,所以有地面上：①離地心處：②由①②兩式得。答案：D解題后思考：通常情況下,我們所研究的物體都在地面上或離地面的高度遠(yuǎn)小于地球的半徑處,不管這些物體是處于何種運(yùn)動(dòng)狀態(tài),我們都可以認(rèn)為萬有引力與物體在地球外表的重力相等,但有兩種情況必須加以區(qū)別：一是從細(xì)微之處分析重力與萬有引力大小的關(guān)系；二是物體離地面高度與地球半徑相比不能忽略的情況下要注意地球半徑對(duì)于間距的影響。從例題可知,物體距地面越遠(yuǎn),地球?qū)λ囊υ叫　Ｌ岱旨记砷_普勒定律的應(yīng)用經(jīng)常涉及到天體運(yùn)動(dòng)的計(jì)算和分析問題,這里對(duì)于同學(xué)們來說沒有主觀的認(rèn)識(shí),所以在理解上對(duì)抽象思維能力的要求比擬高,同學(xué)在這里可能會(huì)在一些新的情景的分析中產(chǎn)生畏難情緒,因此首先要在心理上克服那種畏難情緒,充滿信心的去面對(duì)每一個(gè)問題。對(duì)于開普勒定律,第一定律稱為軌道定律,相比照擬簡(jiǎn)單,第二定律在高中物理學(xué)習(xí)階段很少進(jìn)行定量計(jì)算,應(yīng)注意開普勒第二定律的內(nèi)容的理解。重點(diǎn)在于第三定律,高考在此時(shí)