材料-線代第一章行列式與它轉(zhuǎn)置相等

四.

行列式的性質(zhì)性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。DT1a11

a12

a1nD

a21

a22

a2n

an1

an

2

anna11

a21

an1a22

an

2

a1n

a2n

ann

a12稱為D的轉(zhuǎn)置行列式性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式的值變號(hào)。

aanna

aajnaann21jj21

a1ana1211a1anaaajnaaaannann21jj21

rrji

-1211推論：如果行列式有兩行（列）相同，則行列式為

0

。2性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式的值變號(hào)。333231a

a

aa11

a12

a13D

a

a

a21

22

23

b11

b12

b13b22

b23b31

b32

b33D

b211

2

3p1

p2

p3a1

p

a2

p

a3

p1

2

3

(1)

(

p

p p

)p1

p2

p31

p1

b2

p2

b3

p3(1)

(

p1

p2

p3)

ba11

a12

a13a32

a33a21

a22

a233r2

r3

a31

-p1

p2

p31

2

3a1

p

a2

p

a3

p1

2

3(1)

(

p

p p

)性質(zhì)3：用數(shù)k

乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用數(shù)k

乘此行列式。nn21

aa1naka1211

aanna

nn21

aa1naaaanna

k1211推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外面4性質(zhì)4：若行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式等于0

。akaan1

an2

anna11

a12

a1naa1naa

0.aaannann21

k12115性質(zhì)5：a1n

bn

anna11

a12

b1

b2

an1

an

2a11

a12

a1n

b1

c1

b2

c2

bn

cn

an1

an

2

anna11

a12

a1n

c1

c2

cn

an1

an

2

ann＋性質(zhì)6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一數(shù)k后再加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。67利用行列式性質(zhì)計(jì)算：目標(biāo)化為三角形行列式例1：計(jì)算11

12

1

1

4124

611242D

利用行列式性質(zhì)計(jì)算：目標(biāo)化為三角形行列式abb

bbab

b例2

計(jì)算

n

階行列式

D

bba

b

bbb

a8

a

(n

1)b(a

b)n1

.技巧：將第2,3,,n

列的元素都加到第1列9例3：計(jì)算abcdaa

ba

b

ca

b

c

da2a

b3a

2b

c4a

3b

2c

da3a

b6a

3b

c10a

6b

3c

dD

a4技巧：1、后一行減前一行2、拆項(xiàng)例40b11

b1n

bn1

bnn設(shè)D

c1kcnkc11cn1a1kakka11ak1a11D1

det(aij

)

ak

1akka1kb11

,

D2

det(bij

)

bn1b1n

,bnnD

D1

D2

.證明10證明關(guān)鍵

p11

pkk

;0pkkp11設(shè)為

D1

pk1對(duì)

D1

作運(yùn)算

ri

krj1對(duì)

D2

作運(yùn)算

ci

kc

j2nn

.0pnkq11設(shè)為

D2

qn111333231232221a

a

aa

a

a五.

行列式按行（列）展開對(duì)于三階行列式，容易驗(yàn)證：a11

a12

a133333

31313332a13

aa12

aa21

a23

a21

a23

a

aa11

aa22

a23

a13

22 31

a12a21a33

a11a23a32

a

a

a

a11a22a33

a12a23a31

a13a21a3212定義1：在n

階行列式中，把元素aij所在的第i

行和第j

列劃去后，余下的n－1階行列式叫做元素的

式。記為aij

Mij稱

ijiji

jA

1

M為元素

aij

的代數(shù)

式。13例：24232221a

a

a

aa11

a12

a13

a14D

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a11

a12

a14a32

a34a41

a42

a44M23

a312323A

123

M23

M

.14的代數(shù)

式乘積之和，即D

ai

1,2,,

n定理1：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)

an1

an2

anna11

a12

a1n

D

a15i

1,2,,

n定理1：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)

式乘積之和，即證明思想：（先特殊，再一般）分三種情況

，我們只對(duì)行來證明此定理。(1)

假定行列式D的第一行除

a11外都是0

。a110

0a22

a2n

an1

an

2

annD

a2111

11

a

A1617(2)設(shè)D

的第i行除了aij外都是0

。a11a1

ja1nD

0aij0an1anjannijij

iji

ji

jAa

M

(1)

(1)(3)一般情形a1anaaaannann21D

1211anna1naa11

an1

aan2n1

anna11

12

a1n

aaaa12

a

aaann21

an2

ann1n1211in

a

a

aan1

an21n1112

0

a

ann18k

i.元素的代數(shù)

式乘積之和等于零，即ak

1

Ai1

ak

2

Ai

2

akn

Ain

0,定理2：行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)證明的關(guān)鍵——構(gòu)造行列式：a11

a12

a1n

ak

1

ak

2

akn

ak

1

ak

2

akn

an1

an

2

ann第i行19關(guān)于代數(shù)式的重要性質(zhì)D

,當(dāng)

i

j,0

,當(dāng)

i

j;ijnk

1

ki

kja

A

D

D

,當(dāng)

i

j,0

,當(dāng)

i

j;ijnk

1

ik

jka

A

D

1,

當(dāng)

i

j當(dāng)i

0j.其中

ij2021利用行列式按行按列展開定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可簡(jiǎn)化行列式計(jì)算：計(jì)算行列式時(shí)，可先用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為僅含1個(gè)非零元素，再按此行（列）展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或

二階行列式。例1:

計(jì)算行列式2D

5例2:

證明范德(Vandermonde)行列式xD

xx1(1)

40.22證明：用數(shù)學(xué)歸納法21D2

1x

x211

x

x2

i

j1i(

x

x

j

),(1)

當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立。(2)

設(shè)n－1階范德行列式成立，往證n階也成立。21nxn1xn1xn1x2x2x2n211

1

1x1

x2

xnnD

rn

x1rn1rn1

x1rn2r2

x1r123

0

xx按第1列(

x2n-1階范德行列式2425

(

x2

x1

)(

x3

x1

)(

xn

x1

)

(

xi

x

j

)ni

j2

(

xi

x

j

).n

i

j1證畢。例3：1

1

1

11

2

0

0D

1

0

3

0

1

0

0

nnn323

121c

1

c1

n

11

1

1i

2

ic

1

c02000030

n!(1

000n)261ini

2五（加）.

利用性質(zhì)及展開定理計(jì)算行列式的例題：例1：1

4

1

42

1

4

34

2

3

113

0

9

2r1

4r2r3

2r2按第二列展開1

(1)2

2

7

17

80

53

9

2c

c5

2

3

7

0

17

82

1

4

30

0

5

53

0

9

2

7

25

80

0

53

11

2按第二行展開3

11275

(1)2

3

7

25

5(77

75)

10例2：D

x

aaaaax

aaaaax

aaaaax

an28c1

c2

c1aa

a1x

aa

a[

x

(n

2)a]

1ax

a

a

1aa

x

ar2

r1

r3

r1rn

r1[

x

(n

2)a]01

a

a

ax

2a

0

0290

0

x

2a

0

0

0

0

x

2a

[

x

(n

2)a](

x

2a)n1例3：設(shè)n階行列式1

2

3

n1

2

0

00

3

0

1

0

0

nDn

1求第一行各元素的代數(shù)

式之和A11

A12

A1n

.30解

第一行各元素的代數(shù)式之和可以表示成1

1

1

11

2

0

00

3

0

1

0

0

nA11

A12

A1n

1.1

n! 1

nj2j31例4：D

abn

aaaba

anann

br2

rr3

rrn

r

an

0

0

0

0