極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限(共28張PPT)

極限存在準(zhǔn)那么兩個(gè)重要極限第一頁(yè)，共28頁(yè)。一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理1

的充分必要條件是：

對(duì)任意數(shù)列{xn}，xn≠x0，

當(dāng)xn→x0(n→∞)時(shí)，

都有

定理1經(jīng)常被用于證明某些極限不存在.第二頁(yè)，共28頁(yè)。例1.

證明不存在.證:

取兩個(gè)趨于0的數(shù)列及顯然當(dāng)n→∞時(shí)，xn→0,由定理1知不存在.第三頁(yè)，共28頁(yè)。定理2(兩邊夾法那么)如果函數(shù)g(x),f(x),h(x)滿足：二、極限存在準(zhǔn)那么第四頁(yè)，共28頁(yè)。例2.

證明證:利用兩邊夾法那么.且由g(n)h(n)第五頁(yè)，共28頁(yè)。定理3〔收斂準(zhǔn)那么Ⅰ〕定理4〔收斂準(zhǔn)那么Ⅱ〕單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限．

單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限．第六頁(yè)，共28頁(yè)。單調(diào)遞增〔遞減〕且有上界〔下界〕數(shù)列必有極限(證明略)第七頁(yè)，共28頁(yè)。例3數(shù)列滿足：

證明數(shù)列

收斂．

證

先用數(shù)學(xué)歸納法證明

〔1〕當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立．

〔2〕當(dāng)n=k時(shí)，xk<2,那么由數(shù)學(xué)歸納法知xn≤2.再證明該數(shù)列單調(diào)遞增．

第八頁(yè)，共28頁(yè)。由定理2知數(shù)列收斂．

令那么第九頁(yè)，共28頁(yè)。故極限存在，備用題

1.設(shè)

,且求解：設(shè)那么由遞推公式有∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故利用極限存在準(zhǔn)那么第十頁(yè)，共28頁(yè)。圓扇形AOB的面積證:

當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積三、兩個(gè)重要極限第十一頁(yè)，共28頁(yè)。為了方便地求函數(shù)的極限，可記住以下結(jié)果：時(shí)，第十二頁(yè)，共28頁(yè)。∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，的值無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，第二十六頁(yè)，共28頁(yè)。定理1經(jīng)常被用于證明某些極限不存在.第二十四頁(yè)，共28頁(yè)。單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限．的值無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)第二十七頁(yè)，共28頁(yè)。定理3〔收斂準(zhǔn)那么Ⅰ〕單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限．再證明該數(shù)列單調(diào)遞增．∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，第二十一頁(yè)，共28頁(yè)。填空題(1～4)證:利用兩邊夾法那么.例4.

求解:

第十三頁(yè)，共28頁(yè)。例5.

求解:

令那么因此類(lèi)似可證1-1第十四頁(yè)，共28頁(yè)。例6.

求解:

原式=第十五頁(yè)，共28頁(yè)。2.我們可以通過(guò)列出函數(shù)

的局部取值列表來(lái)觀察該函數(shù)值的變化趨勢(shì)．

xy102.5941002.70510002.7169100002.718151000002.71827……xy-102.88-1002.732-10002.720-100002.7183-1000002.71828……的值無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)

第十六頁(yè)，共28頁(yè)。由此可得:令z=1/x,那么x→∞時(shí)，z→0，第十七頁(yè)，共28頁(yè)。為了方便地求函數(shù)的極限，可記住下面結(jié)果：第十八頁(yè)，共28頁(yè)。例6.

求解:

令那么說(shuō)明：假設(shè)利用那么原式第十九頁(yè)，共28頁(yè)。解:

原式=例7.

求第二十頁(yè)，共28頁(yè)。例8

求

解

第二十一頁(yè)，共28頁(yè)。的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用(1)利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在;

法1

找一個(gè)數(shù)列且使法2

找兩個(gè)趨于及使不存在.第二十二頁(yè)，共28頁(yè)。(2)函數(shù)極限存在的兩邊夾法那么;(3)單調(diào)遞增〔遞減〕且有上界〔下界〕數(shù)列必有極

限第二十三頁(yè)，共28頁(yè)。2.兩個(gè)重要極限第二十四頁(yè)，共28頁(yè)。思考與練習(xí)填空題

(1～4)第二十五頁(yè)，共2