江蘇省南通巿啟東中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．2．已知α，β是兩平面，l，m，n是三條不同的直線，則不正確命題是（）A．若m⊥α，n//α，則m⊥n B．若m//α，n//α，則m//nC．若l⊥α，l//β，則α⊥β D．若α//β，lβ，且l//α，則l//β3．如圖所示，三國時代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒（大小忽略不計，?。?，則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A．20 B．27 C．54 D．644．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．若，則的解集是（）A． B．C． D．5．已知，則的取值范圍是（）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]6．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．當(dāng)輸入的實數(shù)時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（）A． B． C． D．8．已知冪函數(shù)的圖象過點，且，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．9．下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”，例如.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）A．16 B．17 C．18 D．1910．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：12343.24.87.5若關(guān)于的線性回歸方程為，則的值為（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.511．空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離．已知平面，，兩兩互相垂直，點，點到，的距離都是3，點是上的動點，滿足到的距離與到點的距離相等，則點的軌跡上的點到的距離的最小值是（）A． B．3 C． D．12．已知等差數(shù)列的公差不為零，且，，構(gòu)成新的等差數(shù)列，為的前項和，若存在使得，則（）A．10 B．11 C．12 D．13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式中項的系數(shù)是__________14．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則的最小值為________.15．圖（1）是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-7）的會徽圖案，它是由一串直角三角形演化而成的（如圖（2）），其中，則的值是______.16．設(shè)，滿足條件，則的最大值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）如果對所有的≥0，都有≤，求的最小值；（Ⅲ）已知數(shù)列中，，且，若數(shù)列的前n項和為，求證：.18．（12分）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知的面積為.（1）求；（2）若，，求的周長.19．（12分）數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為的前n項和，求證：.20．（12分）已知為各項均為整數(shù)的等差數(shù)列，為的前項和，若為和的等比中項，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求最大的正整數(shù)，使得.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，為棱的中點，為棱上任意一點，且不與點、點重合．．（1）求證：平面平面；（2）是否存在點使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．22．（10分）如圖中，為的中點，，，.（1）求邊的長；（2）點在邊上，若是的角平分線，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

取的中點，連接、，推導(dǎo)出，設(shè)設(shè)球心為，和的中心分別為、，可得出平面，平面，利用勾股定理計算出球的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.【詳解】取的中點，連接、，由和都是正三角形，得，，則，則，由勾股定理的逆定理，得.設(shè)球心為，和的中心分別為、.由球的性質(zhì)可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，解題時要分析幾何體的結(jié)構(gòu)，找出球心的位置，并以此計算出球的半徑長，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.2、B【解析】

根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識，判斷A選項的正確性.由線面平行有關(guān)知識判斷B選項的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理，判斷C選項的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項的正確性.【詳解】A．若，則在中存在一條直線，使得，則，又，那么，故正確；B．若，則或相交或異面，故不正確；C．若，則存在，使，又，則，故正確．D．若，且，則或，又由，故正確．故選：B【點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

設(shè)大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬列方程即可求解?！驹斀狻吭O(shè)大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選：B【點睛】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。4、B【解析】

利用函數(shù)奇偶性可求得在時的解析式和，進(jìn)而構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.【詳解】為定義在上的奇函數(shù)，.當(dāng)時，，，為奇函數(shù)，，由得：或；綜上所述：若，則的解集為.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對稱區(qū)間的解析式；易錯點是忽略奇函數(shù)在處有意義時，的情況.5、D【解析】

設(shè)，可得，構(gòu)造（）22，結(jié)合，可得，根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.【詳解】設(shè)，則，，∴（）2?2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又則[0，2]．故選：D．【點睛】本題考查了向量的運算綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.6、D【解析】

由復(fù)數(shù)除法運算求出，再寫出其共軛復(fù)數(shù)，得共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)．得結(jié)論．【詳解】，，對應(yīng)點為，在第四象限．故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握復(fù)數(shù)的運算法則是解題關(guān)鍵．7、A【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運行，直至不滿足條件退出循環(huán)體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率，模擬程序運行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，代入四個選項進(jìn)行驗證即可.【詳解】解：由程序框圖可知，輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出，則不符合題意，排除；若輸出，則，符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用循環(huán)模擬或代入選項驗證的方法進(jìn)行解答.10、D【解析】

利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到代入回歸方程，可得，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù)，可得又，．解得故選：D【點睛】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質(zhì)，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為點的軌跡上的點到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點的距離得到點軌跡方程，得到，進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價于在直角坐標(biāo)系中，點，是第一象限內(nèi)的動點，滿足到軸的距離等于點到點的距離，求點的軌跡上的點到軸的距離的最小值．設(shè)，則，化簡得：，則，解得：，即點的軌跡上的點到的距離的最小值是.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中點面距離最值的求解，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動點軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.12、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式可得，再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由，，構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得：又所以時，.故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-20【解析】

根據(jù)二項式定理的通項公式，再分情況考慮即可求解．【詳解】解：展開式中項的系數(shù)：二項式由通項公式當(dāng)時，項的系數(shù)是，當(dāng)時，項的系數(shù)是，故的系數(shù)為；故答案為：【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，注意分情況考慮，屬于基礎(chǔ)題．14、40【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)，可得，因為，根據(jù)均值不等式，即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，等比數(shù)列的各項為正數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值.故答案為：.【點睛】本題主要考查了求數(shù)列值的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通項公式和靈活使用均值不等式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.15、【解析】

先求出向量和夾角的余弦值，再由公式即得.【詳解】如圖，過點作的平行線交于點，那么向量和夾角為，，，，，且是直角三角形，，同理得，，.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積，解題關(guān)鍵是找到向量和的夾角.16、【解析】

作出可行域，由得，平移直線，數(shù)形結(jié)合可求的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示由得，則是直線在軸上的截距.平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點時，最小，此時最大.解方程組，得，..故答案為：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析．【解析】

（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)g（x）＝f（x）﹣ax，先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的最小值；（Ⅲ）先求出數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，，，問題轉(zhuǎn)化為證明：，通過換元法或數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（﹣1，+∞），，當(dāng)時，f′（x）＜2，當(dāng)時，f′（x）＞2，所以函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（Ⅱ）設(shè)，則，因為x≥2，故，（?。┊?dāng)a≥1時，1﹣a≤2，g′（x）≤2，所以g（x）在[2，+∞）單調(diào)遞減，而g（2）＝2，所以對所有的x≥2，g（x）≤2，即f（x）≤ax；（ⅱ）當(dāng)1＜a＜1時，2＜1﹣a＜1，若，則g′（x）＞2，g（x）單調(diào)遞增，而g（2）＝2，所以當(dāng)時，g（x）＞2，即f（x）＞ax；（ⅲ）當(dāng)a≤1時，1﹣a≥1，g′（x）＞2，所以g（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，而g（2）＝2，所以對所有的x＞2，g（x）＞2，即f（x）＞ax；綜上，a的最小值為1．（Ⅲ）由（1﹣an+1）（1+an）＝1得，an﹣an+1＝an?an+1，由a1＝1得，an≠2，所以，數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，故，，，?，由（Ⅱ）知a＝1時，，x＞2，即，x＞2．法一：令，得，即因為，所以，故．法二：?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）當(dāng)n＝1時，令x＝1代入，即得，不等式成立（1）假設(shè)n＝k（k∈N*，k≥1）時，不等式成立，即，則n＝k+1時，，令代入，得，即：，由（1）（1）可知不等式對任何n∈N*都成立．故．考點：1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；3、數(shù)列的通項公式；4、數(shù)列的前項和；5、不等式的證明．18、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案；（2）根據(jù)兩角余弦公式可得，即可求出，再根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)余弦定理即可求出，問題得以解決．【詳解】（1）由三角形的面積公式可得，，由正弦定理可得，，；（2），，，，，則由，可得：，由，可得：，，可得：，經(jīng)檢驗符合題意，三角形的周長．（實際上可解得，符合三邊關(guān)系）．【點睛】本題考查了三角形的面積公式、兩角和的余弦公式、誘導(dǎo)公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）利用與的關(guān)系即可求解.（2）利用裂項求和法即可求解.【詳解】解析：（1）當(dāng)時，；當(dāng)，，可得，又∵當(dāng)時也成立，；（2），【點睛】本題主要考查了與的關(guān)系、裂項求和法，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）1008【解析】

（1）用基本量求出首項和公差，可得通項公式；（2）用裂項相消法求得和，然后解不等式可得．【詳解】解：（1）由題得，即解得或因為數(shù)列為各項均為整數(shù)，所以，即（2）令所以即，解得所以的最大值為1008【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，考查裂項相消法求數(shù)列的和．在等差數(shù)列和等比數(shù)列中基本量法是解題的基本方法．21、（1）證明見解析（2）存在，為中點【解析】

（1）證明面，