高等數(shù)學(xué)定積分在幾何上的應(yīng)用課件

第五章定積分及其應(yīng)用第一節(jié)定積分及其計(jì)算第二節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用第三節(jié)定積分在物理上的應(yīng)用1第五章定積分及其應(yīng)用第一節(jié)定積分及其計(jì)算第二節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用

一.定積分的微元法二.定積分求平面圖形的面積本節(jié)主要內(nèi)容:三.定積分求體積四.平面曲線的弧長2第二節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用

一.定積分的一.定積分的微元法設(shè)曲邊梯形由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,曲邊梯形的面積解決步驟:1)分割2)取近似3)求和4)取極限3一.定積分的微元法設(shè)曲邊梯形由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),(1)在區(qū)間[a,b]上任取小區(qū)間[x,x+dx],相應(yīng)地小區(qū)間上面積的近似值為:

ΔA≈f(x)dxabxyo面積元素記作dA(2)將這些面積元素在[a,b]上“無限累加”得4設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),(1)在區(qū)應(yīng)用微元法解決定積分應(yīng)用問題的步驟是:

1)選取積分變量,確定它的變化區(qū)間[a,b];2)在區(qū)間[a,b]上任取一個(gè)小區(qū)間[x,x+dx],并在小區(qū)間上找出所求量F的微元dF=f(x)dx(局部近似值);3)求定積分5應(yīng)用微元法解決定積分應(yīng)用問題的步驟是:1)選取積分變量,二.定積分求平面圖形的面積(一)直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算

1.由曲線y=f(x)和直線x=a,x=b,y=0所圍成曲邊梯形曲邊梯形的面積面積微元:6二.定積分求平面圖形的面積(一)直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)2.求由兩條曲線y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x))及直線x=a,x=b所圍成平面曲邊梯形的面積面積微元:X-型72.求由兩條曲線y=f(x),y=g(x)(f(x3.求由兩條曲線x=(y),x=(y),((y)(y))及直線y=c,y=d所圍成平面曲邊梯形的面積:面積微元:Y-型83.求由兩條曲線x=(y),x=(y),((y)例1求由y2=x,y=x2

所圍成的圖形的面積選x為積分變量

x[0,1]兩曲線的交點(diǎn)(0,0),(1,1)面積微元:9例1求由y2=x,y=x2所圍成的圖形的面積選例2求由y2=2x,y=x-4所圍成的圖形的面積兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量10例2求由y2=2x,y=x-4所圍成的圖形的面積42–24–4問題若選x為積分變量呢？1142–24–4問題若選x為積分變量呢？11例3求由y=cosx,y=sinx在區(qū)間[0,]上所圍成的圖形的面積.兩曲線的交點(diǎn)12例3求由y=cosx,y=sinx在區(qū)間[0,設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為其面積的計(jì)算公式可由直角坐標(biāo)下曲邊梯形的面積公式經(jīng)過定積分的換元法得到:參數(shù)方程情形:13設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為其面積的計(jì)算公式可由直角坐標(biāo)下曲邊例4求擺線的一拱與x軸圍成的圖形的面積.14例4求擺線14橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．例5求橢圓的面積.15橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．例5在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,從O引一條射線Ox,選定一個(gè)單位長度以及計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎?,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系,O點(diǎn)叫做極點(diǎn),射線Ox叫做極軸.極坐標(biāo)系:極坐標(biāo)系是由一個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)極軸構(gòu)成,極軸的方向?yàn)樗较蛴?①極點(diǎn);②極軸;③長度單位;④角度單位和它的正方向,構(gòu)成了極坐標(biāo)系的四要素,缺一不可.16在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,從O引一條射線Ox,選定θOρM點(diǎn)的極坐標(biāo)

設(shè)M點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn),用ρ表示線段OM的長度,θ表示射線Ox到OM的角度,那么ρ叫做M點(diǎn)的極徑,θ叫做M點(diǎn)的極角,有序數(shù)對(ρ,θ)叫做M點(diǎn)的極坐標(biāo).17θOρM點(diǎn)的極坐標(biāo)設(shè)M點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn),如果ρ是正的,則在OP上取一點(diǎn)M使得OM=ρ;如果ρ是負(fù)的,則在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M使得OM=ρ.極角θ為正表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),為負(fù)表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn).θOρMP18如果ρ是正的,則在OP上取一點(diǎn)M使得OM=1919極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式:極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)公式直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)公式20極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式:極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)公式直角坐標(biāo)化(二)極坐標(biāo)系下面積的計(jì)算曲邊扇形是由曲線()及射線,(<)所圍成的圖形.1.取極角為積分變量,其變化區(qū)間為[,]以圓扇形面積近似小曲邊扇形面積,得到面積元素:3.作定積分21(二)極坐標(biāo)系下面積的計(jì)算曲邊扇形是由曲線例6計(jì)算心形線=a(1+cos)

所圍圖形的面積22例6計(jì)算心形線=a(1+cos)所圍圖形的面積220xy所圍面積.求雙紐線練習(xí)230xy所圍面積.求雙紐線練習(xí)23解由對稱性所圍面積.求雙紐線練習(xí)24解由對稱性所圍面積.求雙紐線練習(xí)24求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟:(1)作出示意圖;(弄清相對位置關(guān)系)(2)求交點(diǎn)坐標(biāo);(確定積分的上限,下限)(3)確定積分變量及被積函數(shù);(4)計(jì)算積分.25求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟:(1)作出示意圖

設(shè)立體介于平面x=a,x=b之間,立體內(nèi)垂直于x軸的截面面積為A(x).三.定積分求體積(一)平行截面面積為已知的立體體積xA(x)dV=A(x)dxx.aVb體積元素為dv=A(x)dx.

26設(shè)立體介于平面x=a,x=b之間,立體內(nèi)垂直例7設(shè)有底圓半徑為R的圓柱,被一與圓柱面交成角且過底圓直徑的平面所截,求截下的鍥形體積.oyRxy–RRytan(x,y),截面積A(x)27例7設(shè)有底圓半徑為R的圓柱,被一與圓柱面交成角且過底(二)旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體——由一個(gè)平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.圓柱圓臺圓錐28(二)旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體——由一個(gè)平面圖形繞同平xf(x)ab曲邊梯形:y=f(x),x=a,x=b(a<b),y=0繞x軸旋轉(zhuǎn)29xf(x)ab曲邊梯形:y=f(x),x=a,x=旋轉(zhuǎn)體的體積元素考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點(diǎn)x處垂直于x軸厚度為dx的切片,用圓柱體的體積[f(x)]2dx作為切片體積的近似值,旋轉(zhuǎn)體的體積

于是體積元素為

dV[f(x)]2dx.30旋轉(zhuǎn)體的體積元素用圓柱體的體積[f(x)]2d當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),31當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),31繞x軸旋轉(zhuǎn)的橢球體,它可看作上半橢圓例8求由橢圓分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為32繞x軸旋轉(zhuǎn)的橢球體,它可看作上半橢圓例8求由橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)的橢球體,它可看作右半橢圓

與y軸圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為33繞y軸旋轉(zhuǎn)的橢球體,它可看作右半橢圓與y軸圍成的圖例9

把拋物線y24ax(a0)及直線xx0(x00)所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)計(jì)算所得旋轉(zhuǎn)體的體積.旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為34例9把拋物線y24ax(a0)及直線xx例10

由yx3

x2

y0所圍成的圖形分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)計(jì)算所得兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積

繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為35例10由yx3x2y0所圍成的圖形分別四.平面曲線的弧長曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長36四.平面曲線的弧長曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長元素(弧微分曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長37曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長37例11

計(jì)算曲線上相應(yīng)于x從a到b

的一段弧的長度.38例11計(jì)算曲線上相應(yīng)于例12

計(jì)算擺線一拱的弧長.39例12計(jì)算擺線例13

求星形線的弧長.根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長40例13求星形線

1.定積分的微元法2.定積分求平面圖形的面積內(nèi)容小結(jié):41

1.定積分的微元法2.定積分求平面圖形的面積3.定積分求體積4.平面曲線的弧長(1)平行截面面積為已知的立體體積(2)旋轉(zhuǎn)體的體積元素423.定積分求體積4.平面曲線的弧長第五章定積分及其應(yīng)用第一節(jié)定積分及其計(jì)算第二節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用第三節(jié)定積分在物理上的應(yīng)用43第五章定積分及其應(yīng)用第一節(jié)定積分及其計(jì)算第二節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用

一.定積分的微元法二.定積分求平面圖形的面積本節(jié)主要內(nèi)容:三.定積分求體積四.平面曲線的弧長44第二節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用

一.定積分的一.定積分的微元法設(shè)曲邊梯形由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,曲邊梯形的面積解決步驟:1)分割2)取近似3)求和4)取極限45一.定積分的微元法設(shè)曲邊梯形由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),(1)在區(qū)間[a,b]上任取小區(qū)間[x,x+dx],相應(yīng)地小區(qū)間上面積的近似值為:

ΔA≈f(x)dxabxyo面積元素記作dA(2)將這些面積元素在[a,b]上“無限累加”得46設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),(1)在區(qū)應(yīng)用微元法解決定積分應(yīng)用問題的步驟是:

1)選取積分變量,確定它的變化區(qū)間[a,b];2)在區(qū)間[a,b]上任取一個(gè)小區(qū)間[x,x+dx],并在小區(qū)間上找出所求量F的微元dF=f(x)dx(局部近似值);3)求定積分47應(yīng)用微元法解決定積分應(yīng)用問題的步驟是:1)選取積分變量,二.定積分求平面圖形的面積(一)直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算

1.由曲線y=f(x)和直線x=a,x=b,y=0所圍成曲邊梯形曲邊梯形的面積面積微元:48二.定積分求平面圖形的面積(一)直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)2.求由兩條曲線y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x))及直線x=a,x=b所圍成平面曲邊梯形的面積面積微元:X-型492.求由兩條曲線y=f(x),y=g(x)(f(x3.求由兩條曲線x=(y),x=(y),((y)(y))及直線y=c,y=d所圍成平面曲邊梯形的面積:面積微元:Y-型503.求由兩條曲線x=(y),x=(y),((y)例1求由y2=x,y=x2

所圍成的圖形的面積選x為積分變量

x[0,1]兩曲線的交點(diǎn)(0,0),(1,1)面積微元:51例1求由y2=x,y=x2所圍成的圖形的面積選例2求由y2=2x,y=x-4所圍成的圖形的面積兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量52例2求由y2=2x,y=x-4所圍成的圖形的面積42–24–4問題若選x為積分變量呢？5342–24–4問題若選x為積分變量呢？11例3求由y=cosx,y=sinx在區(qū)間[0,]上所圍成的圖形的面積.兩曲線的交點(diǎn)54例3求由y=cosx,y=sinx在區(qū)間[0,設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為其面積的計(jì)算公式可由直角坐標(biāo)下曲邊梯形的面積公式經(jīng)過定積分的換元法得到:參數(shù)方程情形:55設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為其面積的計(jì)算公式可由直角坐標(biāo)下曲邊例4求擺線的一拱與x軸圍成的圖形的面積.56例4求擺線14橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．例5求橢圓的面積.57橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．例5在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,從O引一條射線Ox,選定一個(gè)單位長度以及計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎?,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系,O點(diǎn)叫做極點(diǎn),射線Ox叫做極軸.極坐標(biāo)系:極坐標(biāo)系是由一個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)極軸構(gòu)成,極軸的方向?yàn)樗较蛴?①極點(diǎn);②極軸;③長度單位;④角度單位和它的正方向,構(gòu)成了極坐標(biāo)系的四要素,缺一不可.58在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,從O引一條射線Ox,選定θOρM點(diǎn)的極坐標(biāo)

設(shè)M點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn),用ρ表示線段OM的長度,θ表示射線Ox到OM的角度,那么ρ叫做M點(diǎn)的極徑,θ叫做M點(diǎn)的極角,有序數(shù)對(ρ,θ)叫做M點(diǎn)的極坐標(biāo).59θOρM點(diǎn)的極坐標(biāo)設(shè)M點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn),如果ρ是正的,則在OP上取一點(diǎn)M使得OM=ρ;如果ρ是負(fù)的,則在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M使得OM=ρ.極角θ為正表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),為負(fù)表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn).θOρMP60如果ρ是正的,則在OP上取一點(diǎn)M使得OM=6119極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式:極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)公式直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)公式62極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式:極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)公式直角坐標(biāo)化(二)極坐標(biāo)系下面積的計(jì)算曲邊扇形是由曲線()及射線,(<)所圍成的圖形.1.取極角為積分變量,其變化區(qū)間為[,]以圓扇形面積近似小曲邊扇形面積,得到面積元素:3.作定積分63(二)極坐標(biāo)系下面積的計(jì)算曲邊扇形是由曲線例6計(jì)算心形線=a(1+cos)

所圍圖形的面積64例6計(jì)算心形線=a(1+cos)所圍圖形的面積220xy所圍面積.求雙紐線練習(xí)650xy所圍面積.求雙紐線練習(xí)23解由對稱性所圍面積.求雙紐線練習(xí)66解由對稱性所圍面積.求雙紐線練習(xí)24求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟:(1)作出示意圖;(弄清相對位置關(guān)系)(2)求交點(diǎn)坐標(biāo);(確定積分的上限,下限)(3)確定積分變量及被積函數(shù);(4)計(jì)算積分.67求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟:(1)作出示意圖

設(shè)立體介于平面x=a,x=b之間,立體內(nèi)垂直于x軸的截面面積為A(x).三.定積分求體積(一)平行截面面積為已知的立體體積xA(x)dV=A(x)dxx.aVb體積元素為dv=A(x)dx.

68設(shè)立體介于平面x=a,x=b之間,立體內(nèi)垂直例7設(shè)有底圓半徑為R的圓柱,被一與圓柱面交成角且過底圓直徑的平面所截,求截下的鍥形體積.oyRxy–RRytan(x,y),截面積A(x)69例7設(shè)有底圓半徑為R的圓柱,被一與圓柱面交成角且過底(二)旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體——由一個(gè)平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.圓柱圓臺圓錐70(二)旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體——由一個(gè)平面圖形繞同平xf(x)ab曲邊梯形:y=f(x),x=a,x=b(a<b),y=0繞x軸旋轉(zhuǎn)71xf(x)ab曲邊梯形:y=f(x),x=a,x=旋轉(zhuǎn)體的體積元素考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點(diǎn)x處垂直于x軸厚度為dx的切片,用圓柱體的體積[f(x)]2dx作為切片體積的近似值,旋轉(zhuǎn)體的體積

于是體積元素為

dV[f(x)]2dx.72旋轉(zhuǎn)體的體積元素用圓柱體的體積[f(x)]2d當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),73當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),31繞x軸旋轉(zhuǎn)的橢球體,它可看作上半橢圓例8求由橢圓分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為74繞x軸旋轉(zhuǎn)的橢球體,它可看作上半橢圓例8求由橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)的橢球體,它可看