習(xí)題1：空間幾何體全章綜合測(cè)試

單元測(cè)評(píng)(一)空間幾何體(時(shí)間：90分鐘滿分：120分)第Ⅰ卷(選擇題，共50分)一、選擇題：本大題共10小題，共50分．1．下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是() ①正方體 ②圓錐 ③三棱臺(tái) ④正四棱錐A．①② B．①③C．①④ D．②④解析：正方體的三視圖都是正方形，所以①不符合題意，排除A，B，C.答案：D2．已知某幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是()\f(1,2)cm3 \f(1,3)cm3\f(1,6)cm3 \f(1,12)cm3解析：根據(jù)三視圖可知原幾何體是三棱錐，V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)(cm3)．答案：C3．一個(gè)底面是正三角形且側(cè)棱垂直底面的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等，體積為2eq\r(3)，它的三視圖中的俯視圖如圖所示，側(cè)視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是()A．4B．2eq\r(3)C．2\r(3)解析：作出直觀圖(如圖所示)，設(shè)棱長(zhǎng)為a，由eq\f(\r(3),4)a2·a＝2eq\r(3)，解得a＝2，取AB與A1B1的中點(diǎn)分別為D，D1，則側(cè)視圖即為矩形CC1D1D，其中C1D1＝eq\r(3)，其面積為2eq\r(3)，故選B項(xiàng)．答案：B一三棱錐P－ABC，PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝1，PB＝eq\r(6)，PC＝3，則該三棱錐外接球的表面積是()A．16π B．64π\(zhòng)f(32π,3) \f(252π,3)解析：以PA，PB，PC為棱作長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐P－ABC的外接球，所以球的半徑R＝eq\f(\r(12＋\r(6)2＋32),2)＝2，所以球的表面積是S＝4πR2＝16π.答案：A5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．(5＋eq\r(5))π B．(20＋2eq\r(5))πC．(10＋eq\r(10))π D．(5＋2eq\r(5))π解析：由三視圖可知這是一個(gè)大圓柱，上面挖去一個(gè)小圓錐的幾何體，圓柱的底面積為π，圓柱的側(cè)面積為2π×2＝4π，圓錐的母線長(zhǎng)為eq\r(22＋1)＝eq\r(5)，則面積為eq\r(5)π，所以總的側(cè)面積為eq\r(5)π＋π＋4π＝(5＋eq\r(5))π，選A.答案：A6．已知一個(gè)多面體的內(nèi)切球的半徑為1，多面體的表面積為18，則此多面體的體積為()A．18 B．12C．6 D．12π解析：連接球心與多面體的各個(gè)頂點(diǎn)，把多面體分成了高為1的多個(gè)棱錐．∴S＝S1＋S2＋…＋Sn＝18.∴V＝eq\f(1,3)S×1＝eq\f(1,3)×18＝6.答案：C7．紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北．現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是()A．南 B．北C．西 D．下解析：如圖所示．答案：B8．一個(gè)水平放置的圓柱形儲(chǔ)油桶，桶內(nèi)有油部分所在圓弧占底面圓周長(zhǎng)的eq\f(1,4)，則油桶站立時(shí)油的高度與桶的高度的比值是()\f(1,4) \f(1,4)－eq\f(1,2π)\f(1,8) \f(1,2π)－eq\f(1,8)解析：設(shè)圓柱桶的底面半徑為R、高為h，油桶站立時(shí)油的高度為x，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)πR2－\f(1,2)R2))h＝πR2x，∴eq\f(x,h)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).答案：B9．一個(gè)物體的三視圖如圖所示，則該物體的體積為()A．2π \f(8,3)＋eq\f(4,3)π\(zhòng)f(14,3)π \f(40,3)π解析：該幾何體為一圓柱和球的組合體，V＝π×12×eq\f(2,3)＋eq\f(4,3)π×13＝2π.答案：A10．正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，最長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(5)，則它的表面積為()A．4(3eq\r(3)＋4) B．12(eq\r(3)＋2)C．12(2eq\r(3)＋1) D．3(eq\r(3)＋8)解析：如圖所示，S＝12×eq\f(\r(3),4)×22＋6×2×2＝12eq\r(3)＋24＝12(eq\r(3)＋2)．答案：B第Ⅱ卷(非選擇題，共70分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．11．如圖(1)、(2)所示的三視圖代表的立體圖形分別是__________．(1)(2)解析：由三視圖的特征想象原幾何體的特征分別為正六棱錐和兩個(gè)圓臺(tái)的組合體．答案：正六棱錐、兩個(gè)圓臺(tái)的組合體12．某三角形的直觀圖是斜邊為2的等腰直角三角形，如圖所示，則原三角形的面積是________．解析：原三角形是兩直角邊長(zhǎng)分別為2與2eq\r(2)的直角三角形，∴S＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)若一個(gè)長(zhǎng)方體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積分別為4cm2,6cm2,24cm2，則該長(zhǎng)方體的體積等于__________．解析：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則有ab＝24，ac＝6，bc＝4，所以(abc)2＝24×6×4.所以abc＝24(cm3)，即長(zhǎng)方體的體積為24cm3.答案：24cm314．如圖所示，扇形所含的中心角為90°，弦AB將扇形分成兩個(gè)部分，這兩部分各以AO為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)體體積V1和V2之比為__________．解析：設(shè)OA＝OB＝R，Rt△AOB繞OA旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐，其體積V1＝eq\f(π,3)R3，扇形繞OA旋轉(zhuǎn)一周形成半球面，其圍成的半球的體積V＝eq\f(2π,3)R3，∴V2＝V－V1＝eq\f(2π,3)R3－eq\f(π,3)R3＝eq\f(π,3)R3.∴V1∶V2＝1∶1.答案：1∶1三、解答題：本大題共4小題，滿分50分．15．(12分)畫出如圖所示的直三棱柱和正五棱柱的三視圖．解：如圖(1)是直三棱柱的三視圖，圖(2)是正五棱柱的三視圖．(1)(6分)(2)(12分)16．(12分)如圖，已知幾何體的三視圖(單位：cm)．(1)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積．解：(1)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示．(4分)(2)這個(gè)幾何體可看成是由正方體AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的組合體．由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝22＋4eq\r(2)(cm2)，(8分)所求幾何體的體積V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．(12分)17．(12分)有一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐容器，內(nèi)放一個(gè)半徑為R的內(nèi)切球，然后將容器注滿水，現(xiàn)把球從容器中取出，水不損耗，且取出球后水面與圓錐底面平行形成一個(gè)圓臺(tái)體，問容器中水的高度為多少．解：作出圓錐和球的軸截面(如圖所示)，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h，則r＝eq\f(R,tan30°)＝eq\r(3)R，l＝2r＝2eq\r(3)R，h＝eq\r(3)r＝3R，(4分)∴V水＝eq\f(π,3)r2h－eq\f(4π,3)R3＝eq\f(π,3)·3R2·3R－eq\f(4π,3)R3＝eq\f(5π,3)R3.(6分)球取出后，水形成一個(gè)圓臺(tái)，設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r′，高為h′，則下底面半徑r＝eq\r(3)R，(8分)h′＝(r－r′)tan60°＝eq\r(3)(eq\r(3)R－r′)，∴eq\f(5π,3)R3＝eq\f(π,3)h′(r2＋r′2＋rr′)，∴5R3＝eq\r(3)(eq\r(3)R－r′)(r′2＋eq\r(3)Rr′＋3R2)，∴5R3＝eq\r(3)(3eq\r(3)R3－r′3)，解得r′＝eq\r(3,\f(4,\r(3)))R＝eq\r(6,\f(16,3))R，(10分)∴h′＝(3－eq\r(3,12))R.(12分)18．(14分)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2