拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)

221112x12121221112x12121過(guò)拋物線

：

y

（

）的焦點(diǎn)

（

，0斜率為

（

k

）的直線

l

與拋物線

交于

A

、

B點(diǎn)，若(,y)、(x,y)2

，則：（1

x1

2

，

y1

2

；（2焦點(diǎn)弦

||xp1

12p)k22

（

為直線

l

的傾斜角（3

2AF||BF

；（4

2

。證明）于直線

l

過(guò)點(diǎn)

pF(2

斜率為

，故其方程為

y(x

p2

)

，聯(lián)立拋物線方程

y

2

得ky

2

2

①所以y1

2

，

12

(y)p2124（2由拋物線定義可知

|PFx1

pp，2

，所以

||x

，又因?yàn)?/p>

p1y(x)（k以x，以x(y)p22

，由①式可知

2p1yy以|ABp(1)kk2

因直l的斜角，當(dāng)

90

時(shí)，

k

，代入

1|AB)k2

化簡(jiǎn)得

|

，當(dāng)

90

時(shí)，直線

l

垂直

軸，

x1

p，|AB|p2sin2

，所以

|

成立。（3

111xp|AF||BFppx(x)224

x1

2代入化簡(jiǎn)得

12AF|BF|p

。（4由于

S

BOF

11|AF|OF22

11ppp2|AF||)|222sin

AOAO拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)在解題過(guò)程中有著廣泛的應(yīng)用別是在解選擇題與填空題時(shí)用拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可以提高解題速度。例過(guò)拋物線

yx

的焦點(diǎn)

F

作直線交拋物線于

A

、

B

兩點(diǎn)，若

2512

，|AFBF|

，則

|AF

_____________________.解析：由性質(zhì)）知

122，因?yàn)锳FBF|ABAF||BFp

2512

，解方程組，由于

|AFBF|

，所以

56例2.過(guò)拋物線

y

的焦點(diǎn)

F

的直線交該拋物線于

、

兩點(diǎn)，且

AF

，則

解析：由性質(zhì)（3）

2AF|BF

，又因?yàn)?/p>

|AFBF

，代入，解得|BF

，

|AF|

，所以

例3.知過(guò)拋物線

y

的焦點(diǎn)

的直線交該拋物線于

A

、B

兩點(diǎn)若

FB

，k則該直線的斜率解析：由性質(zhì)（3知

2AF|BF|

，又因?yàn)?/p>

|AF2|BF，代入，解得

3AF|以AB性B以)22

，k2解得例4.知過(guò)拋物線

y

x的點(diǎn)的直線交拋物線于B兩點(diǎn)點(diǎn)O是標(biāo)原點(diǎn)，若

|AF|，AOB的積為解析：由性質(zhì)（3知

1AF|

，代入

|AF

，求得

32

，所以

91由（2知AB1)所以)2k2

，k

即

22

，又因?yàn)?/p>

22

，所以

sin

23

，由（4）知

2

另解：由性質(zhì)（3知

1，入AF，得|BF|AF|

32

，所以

S

||

知

A

點(diǎn)橫坐標(biāo)為拋線方程求得

A

點(diǎn)縱坐標(biāo)為

2

，所以

AOF

1OF2

，

23S22例5.物線

y

2

x

與過(guò)焦點(diǎn)的直線交于A、兩，則為

解析：由（1）

x12

2

，

y1

2

，所以

112

3p4例