習(xí)題1：不等關(guān)系

不等關(guān)系與不等式基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．若a>b>0，c<d<0，則一定有()A．eq\f(a,c)>eq\f(b,d) B．eq\f(a,c)<eq\f(b,d)C．eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D．eq\f(a,d)<eq\f(b,c)[答案]D[解析]本題考查不等式的性質(zhì)，eq\f(a,c)－eq\f(b,d)＝eq\f(ad－bc,cd)，cd>0，而ad－bc的符號(hào)不能確定，所以選項(xiàng)A、B不一定成立.eq\f(a,d)－eq\f(b,c)＝eq\f(ac－bd,dc)，dc>0，由不等式的性質(zhì)可知ac<bd，所以選項(xiàng)D成立．2．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>aC．－a>a2>a>－a2 D．a(chǎn)2>－a>a>－a2[答案]B[解析]因?yàn)閍2＋a<0，所以a2<－a，a<－a2，又由于a≠0，∴－a2<a2，即a<－a2<a2<－A．故選B．3．設(shè)a，b∈R，若a－|b|>0，則下列不等式中正確的是()A．b－a>0 B．a(chǎn)3＋b3<0C．a(chǎn)2－b2<0 D．b＋a>0[答案]D[解析]利用賦值法：令a＝1，b＝0排除A，B，C，選D．4．若a>b>c，a＋2b＋3c＝0，則()A．a(chǎn)b>ac B．a(chǎn)c>bcC．a(chǎn)b>bc D．a(chǎn)|b|>c|b|[答案]A[解析]∵a>b>c且a＋2b＋3c＝0，∴a>0，c<0.又∵b>c且a>0，∴ab>aC．選A．5．若－1<α<β<1，則下面各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1[答案]A[解析]由題意得－1<α<1，－1<－β<1，α－β<0，故－2<α－β<2且α－β<0，故－2<α－β<0，因此選A．6．如果a＞0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么()A．M＞N B．M＜NC．M＝N D．M、N的大小無(wú)法確定[答案]A[解析]當(dāng)a＞1時(shí)a3＋1＞a2＋1，y＝logax單增，∴l(xiāng)oga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．當(dāng)0＜a＜1時(shí)a3＋1＜a2＋1，y＝logax單減．∴l(xiāng)oga(a3＋1)＞loga(a2＋1)，或?qū)取值檢驗(yàn)．選A．二、填空題7．如果a>b，那么下列不等式：①a3>b3；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③3a>3b；④lga>lgB．其中恒成立的是________．[答案]①③[解析]①a3－b3＝(a－b)(a2＋b2＋ab)＝(a－b)[(a＋eq\f(b,2))2＋eq\f(3,4)b2]>0；③∵y＝3x是增函數(shù)，a>b，∴3a>3b當(dāng)a>0，b<0時(shí)，②④不成立．8．設(shè)m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，則m、n的大小關(guān)系是________．[答案]m≥n[解析]m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.三、解答題9．有糧食和石油兩種物質(zhì)，可用輪船與飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸，每天每艘輪船和每架飛機(jī)的運(yùn)輸效果如下表：方式效果種類輪船運(yùn)輸量(t)飛機(jī)運(yùn)輸量(t)糧食300150石油250100現(xiàn)在要在一天內(nèi)運(yùn)輸2000t糧食和1500t石油．寫(xiě)出安排輪船艘數(shù)和飛機(jī)架數(shù)所滿足的所有不等關(guān)系的不等式．[解析]設(shè)需安排x艘輪船和y架飛機(jī)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x＋150y≥2000,250x＋100y≥1500,x≥0,y≥0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋3y≥40,5x＋2y≥30,x≥0,y≥0)).10．(1)已知a>b，e>f，c>0.求證：f－ac<e－bC．(2)若bc－ad≥0，bd>0.求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).[證明](1)∵a>b，c>0，∴ac>bc，∴－ac<－bc，∵f<e，∴f－ac<e－bC．(2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，又∵bd>0，∴eq\f(a,b)≤eq\f(c,d)，∴eq\f(a,b)＋1≤eq\f(c,d)＋1，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).能力拓展一、選擇題1．下列不等式：①x2＋3>2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)；③a2＋b2≥2(a－b－1)中正確的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]對(duì)于①，x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0恒成立，對(duì)于②，a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a、b∈R，∴(a－b)2≥0，而a＋b>0，或a＋b＝0，或a＋b<0，故②不正確，對(duì)于③，a2＋b2－2a＋2b＋2＝a2－2a＋1＋b2＋2b＋1＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴③正確，故選C．2．已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，有下列命題：()①若ab＜0，bc－ad＞0，則eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0；②若ab＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，則bc－ad＞0；③若bc－ad＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，則ab＞0.其中正確命題的個(gè)數(shù)是A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]①∵ab＜0，∴eq\f(1,ab)＜0，又∵bc－ab＞0，∴eq\f(1,ab)·(bc－ad)＜0即eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＜0，∴①錯(cuò)；②∵ab＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，∴ab(eq\f(c,a)－eq\f(d,b))＞0，即：bc－ab＞0，∴②正確；③∵eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，∴eq\f(bc－ad,ab)＞0，又∵bc－ad＞0，∴ab＞0，∴③正確．選C．3．下列各式中，對(duì)任何實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)式子是()A．lg(x2＋1)≥lg2x B．x2＋1>2xC．eq\f(1,x2＋1)≤1 D．x＋eq\f(1,x)≥2[答案]C[解析]A中x>0；B中x＝1時(shí)，x2＋1＝2x；C中任意x，x2＋1≥1，故eq\f(1,x2＋1)≤1；D中當(dāng)x<0時(shí)，x＋eq\f(1,x)≤0.4．若a>b，c>d，則下列不等式中成立的一個(gè)是()A．a(chǎn)＋d>b＋c B．a(chǎn)c>bdC．eq\f(a,c)>eq\f(b,d) D．d－a<c－b[答案]D[解析]eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(∵a>b?－a<－b,c>d?d<c))?d－a<c－B．∴選D．二、填空題5．若1<a<3，－4<b<2，則a－|b|的取值范圍是________．[答案](－3,3)[解析]∵0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又1<a<3，∴－3<a－|b|<3.6．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，則4a－2b的取值范圍是________．[答案][－2,10][解析]令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)B．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝－2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a＋b≤4，,－3≤3a－b≤6.))∴－2≤4a－2b≤10.三、解答題7．某礦山車隊(duì)有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，有9名駕駛員．此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫(xiě)出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．[解析]設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛．根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：(1)甲型卡車和乙型卡車的總和不能超過(guò)駕駛員人數(shù)．(2)車隊(duì)每天至少要運(yùn)360t礦石．(3)甲型車不能超過(guò)4輛，乙型車不能超過(guò)7輛．要同時(shí)滿足上述三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來(lái)表示：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9,10×6x＋6×8y≥360,0≤x≤4,0≤y≤7))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9,5x＋4y≥30,0≤x≤4,0≤y≤7)).8．已知0<a＋b<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<a－b<eq\f(π,3)，求2a和3a－eq\f(b,3)的取值范圍．[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a＋b<\f(π,2),－\f(π,2)<a－b<\f(π,3)))，兩式相加得－eq\f(π,2)<2a<eq\f(5π,6).設(shè)3a－eq\f(b,3)＝m(a＋b)＋n(a－b)＝a(m＋n)＋b(m－n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3,m－n＝－\f(1,3)))，解得m＝eq\f(4,3)，n＝eq\f(5,3).∴3a－eq\f(b,3)＝eq\f(4,3)(a＋b)＋eq\f(5,3)(a－b)．