高中數(shù)學(xué)匯編-三角函數(shù)2012版高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第三章、解三角形

2012現(xiàn)出來，因此掌握最基本的三角函數(shù)的形狀和位置特征，會用五點法作出yAsin(xA0,0的簡圖，并能由已知的這類圖象求出函數(shù)的解析式、周期、1sin2xcos2x1,sinxtan21,2

1能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的性質(zhì)（,222

內(nèi)的y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用212對asinx+bcosx11象限

{α|2kπ<α<2kπ+2{α|2kπ+2<α<2kπ+{α|2kπ+<α<2kπ+

{α|2kπ+

<α<2kπ+2注：終邊在x軸上的角的集合為{α|α=kπ,k∈Z};y軸上的角的集合為 +2k∈Z終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{α|α=2（1）1

,k∈Z如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l,那么角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|l 設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為α(rad)r。又l=rα,則扇形的面積為S2lr2α三角函 正 余 正定 y叫做αx叫做α的叫做的正記切，記作α++--+--++-+-終邊相同角三角函數(shù)值(k∈式一

π)=si

cos(α+k·πα

三角函數(shù)有向線段MPAT 注：根據(jù)三角函數(shù)的定義，y=sinx在各象限的符號與此象限點的縱坐標(biāo)符號相同；y=cosx

tan 與相 關(guān)于x軸對 π- 2- 2圖與y

關(guān)于直線組

2 (- - 正

-余 正 符號看象

。 。1f(x)T那么函數(shù)f(x)T最周 y=f(x)Ty=f(ωx)周期是||，而不是函 xRxRx2R最 無最奇偶 Z

+2

（2,0x=kπ+2

x= 周 注：y=sinxy=cosxxx，對稱y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用振周頻 動期圖象的解析式()（A,ω∈+∞）

f1 ωφx

02

π

23

2ωx+φ)

- 2π然后求出x.

1tan22

1tan2 1tan223、形如asinα+bcosαa2a2a2a2a2

1cosαsin22,cos22,tan2sin22

1 1cos22

1tan22=1 2cosαsin2,cos2,tan112sin2112cos2111tan23sinα,cosαtan sin1costan2=1 sin※相關(guān)已知角αPPr，然后用三角函數(shù)的思路解析：本題求α的三角函數(shù)值，依據(jù)三角函數(shù)的定義，可在角α的終邊上任意一點x2x2

(4t)2 (4t)2

cosx4t

tany3t當(dāng)t>0時，r=5t,sinα=r= 5

5

4 3t

cosx4t

tany3t當(dāng)t<0時，r=-5t，sinα=r= 5

5

4

cos5 5

tan

3cos5 5

tan4※相關(guān)sin(cos（2）若θ是第二象限角，則cos(sin2（1）（2）sin(cosθ),cos(sin2θ)的符號（1）sincoscos<0，即 （2）∵2kπ+2<θ<2kπ+π(k∈Z),∴-1<cosθ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π,-sin(cos sin(cos(n2,nN※相關(guān)

由αn①由αn②通過分類把角寫成θ+k·3600的形式，然后判斷n所在象限由α2②標(biāo)號：自x軸正向逆時針方向把每個區(qū)域依次標(biāo)上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（如圖所示由α3②標(biāo)號：自x軸正向逆時針方向把每個區(qū)域依次標(biāo)上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（如圖所示 〖例〗若α2α23 思路分析：寫出α的范圍求出2α、2、3的范圍分類 求出2α、2、3終邊（2）∵450+k·1800<2k=2n(n∈Z)時，450+n·3600<2k=2n+1(n∈Z)時2250+n·3600<22（3）∵300+k·1200<3k=3n(k∈Z)時，300+n·3600<3k=3n+1(k∈Z)時1500+n·3600<3k=3n+2(k∈Z)時2700+n·3600<331（12分）αsinα+cosα5.（1）tanα（2）1cos2sin2tanα1（1）=,sincos 55（1）cos1sin

1o

2o，整理得25sin25sin12sin cos ∴

5 方法二：∵sinα+cosα5，∴(sinα+cosα)2512sincos即

25

2sincos∴(sinα-cosα)2=sincos120且0 7∴sinα-cosα=5sincos sin sincos cos由

5得 1

sin2cos2

sin2cos2 cos2cos2sin2

tan211tan2cos2sin2 cos2sin2

cos2 22

1

(4)23

25cos2sin2∴

1tan2

1( 3（1）其余二式的值可求。轉(zhuǎn)化的公式為(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;（2）sinα，cosαtanx的式子。C（C>0（1）（2）解答（1）設(shè)弧長為l，弓形面積為S,Rl10(cm), SS110101102sin600

50( 3)(cm2 C（2）C=2Rl=2R+φR,∴R=2 1R21(C扇 2C2

C2 C 44

44 C

，即α=2（α=-2舍去）162R+lRCl(lC),S1Rl1Cll1(Cll2

(l

C

C C2l∴

Smax時 Cl C 此 C∴當(dāng)α=216※相

Z)，，，

52( 注：若k出現(xiàn)時，要分k為奇數(shù)和偶 sin(k)cos[(k1)](kZsin[(k1)]cos(k思路分析：化簡時注意觀察題設(shè)中的角出現(xiàn)了k，需 k是奇數(shù)還是偶數(shù)。解答：當(dāng)k2n(nZ)時，原式sin(2n)cos[(2n1)]sin()cos()sin[(2n1)]cos(2n) sin()cossin(cos)sink2n1(nZ原式sin[(2n1)]cos[(2n11)]sin()cossin[(2n11)]cos[(2n1) sincos(sincossin(cos※相關(guān)

cos()2sin( 2

sin3()cos()5cos(5)3sin(7)

思路解析：化簡已知條件化簡所求三角函數(shù)式，用已知表示cos()2sin( 2sin2sin(),sin2

2cos,即tan

sin35cos(5)3sin(7 5cos(2)3sin(4 sin3

sin3

sin2tan5cos()3sin(

5sin

5tan2sin212sin212sin2(sin2cos2)103 7(sin2cos2) sin2cos2 tan21 4 7(sin2cos2 7(tan2 7(4 23〖例1〗在ΔABC中，若sin(2π-A)= 23

2cosA= 2cosA的值，再利用A+B+C=π進行計算。2 2sin23cosA

2cos

cosA解答：由已知得 ，化簡得2cos

cosA

cosB

7

2

2A、B是三角形內(nèi)角，∴A=4，B=6，C

cosA22

cosB2 7

3A、B是三角形內(nèi)角，∴A=3

，B=6綜上知，A=4，B=6，CABC 2cos(2A+2B)=cos(2π-2C)=cos2C;A sin( 2)=sin( 2)=cos2A cos( 2)=cos( 2)=sin223 23α（β0 cos(2-

22sin(3)

2cos()解答：假設(shè)存在α，β使得等式成立，即有

2cos( 2sin 3cos() 2cos

cos2 化簡得

3cos2

( 2

∴α=

或

。將α=4

cos

2cos

2.β∈（0，π，∴β=6，代入sin

sin 將α=

代入3cos

cos得

2又β∈（0π）β=6代入sin

2sin 綜上可知，存在α=4，β=6據(jù)角α所在的象限求出角α的最角※相關(guān)y=a，在三角函數(shù)的圖象了找出一個周期內(nèi)（不一定是[0，2π]）y=a上方y(tǒng)lg(2sinx1

112cos（1）2sinx1（2）第（2）小題實際就是求使12cosx0x的值，可用圖象或三角函數(shù)線（1）方法一：利用圖象。在同一坐標(biāo)系中畫出[0，2π]y=sinxy=cosx 在[0，2π]sinx=cosxx4，

{x|2kx52k,k ，MN為正弦線，OM為余弦線x5(在[0,2]內(nèi) {x|2kx52k,k

2 2

sin(x4)>0,x-4y=sinx可知2kπ<x-

<π+2kπ,解得2kπ+

<x<

+2kπ,kZ.{x|2kx52k,k

sinx（2）2kx5

2sinx1012cosx

cosx，即

，解得

k 2kx

5

2kx52k(kZ

，∴

2k,52k(kZ ※相關(guān) 形如 2kx 2k(kZ體，

求得函數(shù)的增區(qū)間，由2kx32k(kZ

2kx 2k(kZ 到y(tǒng)=-Asin(ωx-φ)，由

得到函數(shù)的減區(qū)間，由2kx32k(kZ

y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)

ysin(2x),

x[,]的單調(diào)遞減區(qū)間（2）

y3tan(x

ysin(

ysin(2x

2x

（1

3

kx5k,kZ

∈ π π ∴ π≤ 7

x511x

ysin(

12,

.

x∈[-π,π]7

5

11

]，[12，y3tan(x

y3tan(x（2）

的周期 。

y3tan(x

44kx84k,k 44k,84kk

，∴函數(shù)

y3tan(x

的單調(diào)遞減區(qū)間為 f(x)2asin(2x)

0,值為-5ab2x

的定義域為

2，函數(shù)的最大1，最

3的范圍a>0a、ba<0,利用最值求a、

2x

2

3sin(2x)解答：∵0x≤2

,

若a>0，則3ab

3333b23

3ab

331933 解得 若a<0,則 解得 3a123

，b23

a12

，b19333注：解決此類問題，首先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求出333y3cos

2cosx（1）（2）利用cosxcosxy1R，y=1+2cosx,∵-1≤cosx≤1,cosx=-1時，2- 11

3;cosx=1時，2-cosx1ymax2,4的值域為3，2]y3cos

cosx2y

12y3方法二： 2cosx解出cosx|2y3|

y

。∵-

y 即y ，也即|2y3||y1|(y1),兩邊同時平方得(2y3)2(y1)2(y1)4y即3y210y80y1∴（y-2）(3y-4)≤0,

,∴函數(shù)的值域為3sinxcosxysinx=f(y),再由|sinx|≤1y的不等式|f(y)|≤1y的取值范圍；yAsin(x)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用1yAsin(x※相關(guān)①當(dāng)畫函數(shù)

yAsin(x

在x∈ 上的圖象時，一般T4yAsin(x在某個指定區(qū)間上的圖象時，一般先求出x的范圍，然y軸平移，按“上加下減”法則。1xx伸長（0<ω<1）或縮短(ω>1)為原來的倍（y不變yy伸長（A>1）或縮短（0<A<1）A倍（x不變?！祭揭阎瘮?shù)f(xcos2x2sinxcosxsin2xff 在區(qū) 上的圖[,求函數(shù)f(x)在區(qū) （1）（2）[,出ωx+φ 2（1）f(x)cos2x2sinxcosxsin2x=cos2x-2

cos(2x+4 π

94 3 5 7 22f 22 3 3 （2）∵-2≤x≤0,∴ ≤2x+4≤4,∴當(dāng)2x+4 ，即x=-2時，f(x)有最 2值，f(x)min=-1,當(dāng)2x+4=0，即 8時，f(x)有最大值，f(x)2

,f(x2[-2，0]上的最小值為-1，最大值 22yAsin(x+b※相 yAsin(x+b

M

M

求ω，確定函數(shù)的周期T， T求ⅱ、五點法：確定

，0）第一點（即圖象上升時與x軸的交點）為x0；第二點（）x

為

）

x32

；第五點為

注：當(dāng)不能確定周期Ty軸的交點，先求 2M(求f(x)

,- x∈［12,2］時，求f(x)的值域

T思路解析：由與x軸的交點中相鄰兩交點的距離為2可得2 2，從而得T=π，即可得ω.由圖象最低點得A及的值，從而得函數(shù)f(x)的解析式，進而得f(x)的值域.

T

,-2),得A=2.由x軸上相鄰兩個交點之間的距離為2,得 2即T=π,∴ω=

=2.由點M(

,-2)在圖象上得2sin(2×

+φ)=-2,即sin(342kkZ,2k11k故

,故fx2sin(2x ,

［,7

2x+6=2,x=6時，f(x) 2x+6=6,x=2時,f(x)取得最小值-1,f(x)的值域為［-※相關(guān)y=Asin(ωx+φ)的圖象向左（右）k個單位，得到的圖象解析y=Asin[ω（x±k）+φ].②伸縮變換：把函數(shù)y=Asin(ωx+φ)Mxy=Asin[ω（M）+φ]+也就是波峰或波谷處且與x軸垂直的直線為其對稱軸y=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)于點（xj,0）(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心對稱圖形，也就x軸的交點（平衡位置點）是其對稱中心。33

,2 （2）4y=g(x)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。（1）()（2g(x)的解析式g(x)3 3解答（(x)=

2

2cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ-6 f(x)x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，因此，sin(-ωx+φ6)=sin(ωx+φ-6),-sinωxcos(φ-

)+cosωxsin(φ-

)=sinωxcos(φ-

)+cosωxsin(φ-

整理得sin xcos(φ-6)=0,因為ω>0.且x∈R,所以cos(φ-6)=0,又因為0<φ<π，故φ-6=2f(x)=2sin(ωx+

)-2cosωx.由題意得

22

，所以ω=2，故f(x)=2cos2x,因此2 2f(8)=2cos4 - 標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不為，得到f(4-

)的圖象。所以x x

xf(4-6)=2cos[2(4-6)]=2cos( 3x當(dāng)2kπ≤ 324kπ+

8≤x≤4kπ+

2g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[4kπ

8，4kπ+

4.8m,0.8m,60秒轉(zhuǎn)動一圈,OA與地面垂直,OA與地面垂直,OA為始邊,逆時針轉(zhuǎn)動角到OB,設(shè)B點h．（１）h與（２）OAtOB，h與之間的函數(shù)關(guān)系式,并求纜車到達(dá)最高（１）h與（２）把th與的函數(shù)關(guān)系即可．（１） 則以Ｏx為始邊，ＯＢ為終邊的角為-2,故點Ｂ的坐標(biāo)為（4.8cos(-2),4.8sin(-2∴h=5.6+4.8sin(-2

- ∈[0,+∞).到達(dá)最高點時，h=10.4msin30t-2)=130t-2＝2比如本例題,在讀題時把問題提供的”條件”※相關(guān)22(1sincos)(sin22

2(0（2）

1cos2002sin

sin100

tan

（1）（2）應(yīng)用公式把非10角轉(zhuǎn)化為10 2 2 4cos2222

cos2

coscos222=

<π,

所 2cos2

sin10

cos5sin522sin10 cos10

cos25sin2

2

sin5cos

2

sin102

2

2

102 2 2

2(cos10121

3sin102

3

2 2 ※相關(guān)22()(1[()()]1[()()]

0

, ) ,sin()

，求sin(

(3)()( cos(

sin(

()3 變化

解答：方法一：∵

cos3,sin()

0,

3

。

sin(3) sin()cos[()]cos[(3)( cos(3)cos()sin(3)sin( (12)3

5(4)3620 cos()sin()

,cos( ) sin(3)

5,

3 cos(3)12 sin()sin(3 [sin()cos(3)sin(3)cos ※相關(guān)0,22

，選正、余弦皆可；

0,

,21xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角α，β 2分別與單位圓交于A、B10、cosα,cosβtanα,tanβtan(α+β)tan(α+2β)求α+2β的范圍求α+2β的值。cos

2,cos25

為銳角,sin

721cos2 1cos2sin

5.因此tan7,tan11cos21cos27tan()tantan 21tantan2

172tan22tan 2411tan217

1( 2tan(2) 3173

為銳角,023,23 2已知00,且3sinsin(24tan1tan2求的值 由的關(guān)系可求出的正切值，再據(jù)已知與2構(gòu)造出,從而可求出的一2三角函數(shù)值,再據(jù)、的范圍求的范圍從而確定角

1tan2,且1tan24tan4tan22tantan 21tan2 又3sinsin(2),3sin[(sin[(即3sin(cos3cos(sinsin(coscos(sin2sin()cos4cos()sin0,0,0,sin()0,cos cos()sin0,2sin()cos即tan()2.tan()2tan1 tan又0,0,0 由1和2知4a(cos,sin),b(cos,sin),c(1, ab

2,ac

31

，求角2ab 2,acab 2,ac3（1）

（2）由abc可求出關(guān)于α、β的三角恒等式，利用方程的思想解決問題。（1）ab(cos,sin(cos,sin)coscossinsincos()

2ac(cos,sin)(1, 1cos1sin 3

又0,0 由① 4，由② 2由α、β為銳角，∴β12。從而2=coscos （2）由abc可得 sinsin

2(1)22)2得sincos1,2sincos 又2sincos2sinsin2

2tan3,tan21 3tan28tan3又tan0,tan

882882438 4 （1）1、可轉(zhuǎn)化為y=asinx+bcosx+k※相關(guān)aa2aa2

sin(x+)+k(其中cos

,sin

ba2ba2a2y=Asin(a2

f(t)

1t,g(x)cosxf(sinx)sinxf(cosx),x,17

1

12（1）將函數(shù)g(x)化簡成Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,02（2）求函數(shù)g(x)（1）g(x)cosx

1sinxsinx cosx sinx1cos1cos1cos1cos(1sincos2sin2sincosx1sinxsinx1cossinx,17,cosxcosx,sinxsin 12g(x)cosx1sinxsinx1cosxsinxcosx2 2sin(x)cos sin 由x17得5x5.令x,則55 sin在53上為減函數(shù)35]上為增函4， 2 又sin5sin5,sin3sin(xsin5(當(dāng)x17時

122即1sin(x) 2 2 2sin(x)22 2故g(x)的值域為 32※相關(guān)（（（

tan2x

tan2

2(3cos4x);1cos4x

1（1），（1） 11sin2左邊sinxcosxsinxcosx(sinxcosx)2sinxcosx cos2

sin2

sin2xcos2

1sin2

1sin2 11sin2 44cos2x42(1cos4x)2(3cos4x)右邊1(1cos4x)

1cos

1cos

1costan2

tan2

2(3cos4x)1cos4x

2(21cos4x)2(22cos22x)2(1cos22sin2

2sin2

4sin2xcos2(sin2xcos2x)2(cos2xsin2x)22sin2xcos2

2sin4xcos42sin2xcos2tan2xtan2x

tan21tan2

2(3cos4x)1cos4x(2)由2sin[msin[],即sincoscossinm[sincoscossin即(1-m)sincos(1+m)cossin兩邊同除以(1-m)coscos得tan(1+m)tan(m1),即等式成立※相關(guān)3,tan

10

5sin28sincos11cos2

3， 思路解析：化簡已知條件化簡所求式子，用已知表示所求代入已知求解tan110,3tan210tantan1解答 解得tan=-3或tan 3

5sin28sincos11cos2又3,tan1.

251cos4sin111cos 255cos8sin1111cos228sin6cos8tan65222 2〖例〗如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上一點，OA=2，B為半圓周上任意一點，以AB為一邊作等邊ΔABCB在什么位置時，四設(shè)ABC(0).在AOB中，AB2OA2OB22OAOB2212221cos54cosSABC

3(54cos).又4

1OAOBsinsin,

3(54cos)sinsin

3cos5

2sin()5 0

2 當(dāng)

,即

6時，SOACB取最大值故當(dāng)AOB5時，四邊形OACB的面積最大，其最大面積是253 1（2011·新課標(biāo)高考理科·Ｔ5）已知角x軸的正半軸重合，y2x上，則cos2= 5

D.y2xtan2sin2cos21可求得cos2的值，從而得到cos2的值B.由題意知，tan2，即sin2cos，將其代入sin2cos2

cos2

cos22cos2135

0,2（2011·山東高考理科·Ｔ6）f(xsin

(ω>0)

, （D）【思路點撥】由正弦函數(shù)圖象，先求周期，再求T T 3 3，2

33（2011· 高考文科·Ｔ15）f(xasin2xbcos2x，其中abRab0f(x)

f()

xRf ) f(7

f( f(xk,k2(kf(x的單調(diào)遞增區(qū)間是

3⑤存在經(jīng)過點（a,b）f(x的圖象不相交

【思路點撥】先將

f(x)asin2xbcos2x,a,bR,ab

’變形為

f(x)

fxRa,ba2a2

2cos2s(in)

f(x)由

f()

對一切xR恒成立知

f()6

，求得a

3b0。所以f(x)

3bsin2xbcos2x2bsin(2x6

(

故②錯誤

2

2，解

6.故④錯誤

32

.4（201·

的值

f

) 設(shè)

x

13 5

的值

（2）

然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系，求出cossin的值，再利用兩角和的余弦公式求解2f(5)2sin(15)2sin2【精講精析

f(3)

132sin13,sin13

5

得 2)=5,從 5

1(51(5)21(5

13 5

416

-sin

655（2010①cos2a=2cos2a-②cos4a=8cos4a-8cos2a+③cos6a=32cos6a-48cos4a+18cos2a-④cos8a=128cos8a-256cos6a+160cos4a-32cos2a+⑤cos10a=mcos10a-1280cos8a+1120cos6a+ncos4a+pcos2a-1．可以推測，m–n+p= 【答案】【解析】因為221,823,322512827m29512；觀察可得n400p50mnp=9626（2010（18）(cos2C已 (I)sinC(Ⅱ)當(dāng)a=22sinA=sinC時，求b及c 4，及sinC=4

解：當(dāng)a=2，2sinA=sinC時，由正弦定理sin sinC，得 4，J及0＜C＜π6cosC=±由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC6 b-666解 或6666所 66 7（2010fx1cotxsin2xmsinxsinx 4 4

3

fx

，m=0當(dāng)tana2時

在區(qū)間 4上的取值范圍fa5mf(x)(1cosx)sin2xsin2xsinxcosx1cos2xsin（1）

sin

[2sin(2x

)

x 2 42

f(x

[0,1 22f(x)(1cosx)sin2xmsin(x)sin(x

sin

f(x)1[sin2x(1m)cos2x] 當(dāng)tan2，得：

sin2a