高數(shù)課件復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

第四復(fù)合函數(shù)先回憶一下一元復(fù)合函數(shù)的微分法則

(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函y

x的導(dǎo)數(shù)為

dydudu那么為什么還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分呢這主要是對于沒有具體給出式子的所謂抽象函如z

f(x2

y2,

它是

z

(u,v)及u

x2

y2,v

復(fù)合而成由于 沒有具體給出

在求

z一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒ǘɡ?zutvtzutvt

z

(u,t可導(dǎo)

dzzduzd d vd證:t取增量△t有增量△u,△v

z

zu

z

o(zt

zut

zvt

o(

( (u)2(u)2

0,

v0,ut

dto(o(

vt dtzuzutvt((△t＜0時,根式前加“–”dzdzzduzd dvd推廣

設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微中間變量多于兩個的情形例如

z

(u,v,w)utzvtwutzvtwt

(t),v

(t),

w

dzd

z d

dt

z

dwdtf1

zuxvyzuxvyyz

(u,v)

u

(x,

y),

v

(x,z

z

f

fx u

v

zz

又如,z

f(x,v),

v

(x,當(dāng)它們都具有可微條件時zxx zxx

fz

zxvxzxvxy

與

x xz表示固定y對x求導(dǎo) f表示固定v對x求x x: 設(shè)z

xsinx,dzd解令zxy解

ysinx,xdzd

zzd yd yxy1

xy

xcosxsinx

x xx例設(shè)

sint，而u

et

cost求全導(dǎo)數(shù)dz

zdu

z

vet

usin

coset

et

et(cos

sint)

t. 設(shè)

sinv

ux2y2

vxx

zuvxzuvxy解z解

u

zv

v2xy2

eucosvex2y2

2xy2

y)

cos(x

y)) 設(shè)

sinv

ux2y2

vxx

zuvxzuvxy解z解

u

zv

v2x2y

eucosvex2y2

2x2ysin(x

y)cos(x

y)) 設(shè)z解z解

f(x2

y21

exy)

z z (x2

y2 (exy 2x

f2 fyexyf z2yf1xexy 設(shè)函數(shù)z

f(x,u,v),

y,u)ug(x,

y均可微,

z

zxguvxguvxyzffvxyugxy解

設(shè)函數(shù)z

f(x,u,v),

y,u)ug(x,

均可微,

z

z解x 解

z

fu

gxv ug

vxy

uy例.設(shè)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求wx

xw,f1,w,f1, xyzxy

yz,v

xyz,wwx

(u,

yzf2(xyz,xyz)2

f

xy

fxz

22xy

y(x

xy2

二、全微分形式不變設(shè)函數(shù)z

f(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微dz

zdu

zdv;當(dāng)

(

y)、

(x,y)時，有dz

zdx

zdy全微分形式不變性的實質(zhì)無論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的dz

zdx

zzu

zv

zu

zvu

x

u

yzudx

udy

zvdx

vdyu

v

z

dv.且作微分運算的結(jié)果對自變量

dx,dy, 設(shè)

uxy,

vxy應(yīng)用全微分形式不變性求

解dz解

zdu

zddzdzzdxzdy比較

v(ydxx

y)

cos

xdy)exy[ysin(x

y)

cos(x

y)]dzexy[ysin(zexy[ysin(xy)cos(x

y)

cos(x

y)]d 設(shè)

uxy,

vxy應(yīng)用全微分形式不變性求

解dz解

zdu

zddzdzzdxzdy比較

v(ydxx

y)

cos

xdy)exy[ysin(x

y)

cos(x

y)]dzexy[xsin(zexy[xsin(xy)cos(x

y)

cos(x

y)]d總結(jié)：關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求求二階偏導(dǎo)數(shù)，既是重點又是難點。對求導(dǎo)公式不求強記，而要切實做到徹底理解。注意以下幾運用公式：①用圖示法表示出函數(shù)的②函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)（項數(shù)及項的構(gòu)成③弄

fu(u,v),

fv(u,v)

的結(jié)構(gòu)是求抽象的數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)fu(u,v),

fv(u,v)

仍是復(fù)合函且復(fù)合結(jié)構(gòu)與原f(u,v完全相即仍是u,v為中間變xy為自變量的因此，求它們關(guān)于x, 的偏導(dǎo)數(shù)時必須使鏈?zhǔn)椒▃

fu(u,v)v

fu(u,v)]fv(u,v)]

fvu

uu

fuvfvv在具體計算中最容易出錯的地方是fu(u,v)

再求偏導(dǎo)數(shù)這一原因就是不注

fu(u,

是與f(u,v 有相同結(jié)構(gòu)的復(fù)合函數(shù)，易被誤認(rèn)為僅是