奧數(shù).行程.相遇和追及公式

-.z.相遇和追及問題一．行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系。根本公式：路程＝速度×?xí)r間速度＝路程÷時(shí)間時(shí)間＝路程÷速度關(guān)鍵問題：確定行程過程中的位置二．相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，則相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇時(shí)間+乙的速度×相遇時(shí)間＝〔甲的速度+乙的速度〕×相遇時(shí)間＝速度和×相遇時(shí)間.相向運(yùn)動(dòng)相遇問題的速度和×相遇時(shí)間＝總路程，即數(shù)量關(guān)系總路程÷速度和＝相遇時(shí)間總路程÷相遇時(shí)間＝速度和三．追及有兩個(gè)人同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了"追及問題〞.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在*一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算兩人走的路程之差〔追及路程〕.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在一樣的時(shí)間〔追及時(shí)間〕：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及時(shí)間-乙的速度×追及時(shí)間＝〔甲的速度-乙的速度〕×追及時(shí)間＝速度差×追及時(shí)間.一般地追擊問題的追及路程＝速度差×追及時(shí)間，即數(shù)量關(guān)系速度差＝追及路程÷追及時(shí)間追及時(shí)間＝追及路程÷速度差【分段提速】環(huán)路周長(zhǎng)(路程差〕÷速度差＝相遇時(shí)間環(huán)路上【同向運(yùn)動(dòng)】追擊問題環(huán)路周長(zhǎng)÷相遇時(shí)間＝速度差數(shù)量關(guān)系速度差×相遇時(shí)間＝環(huán)路周長(zhǎng)速度和×相遇時(shí)間＝環(huán)路周長(zhǎng)路程差÷速度差＝一樣走過的時(shí)間往返平均速度＝往返總路程÷往返總時(shí)間平均速度＝總路程÷總時(shí)間1、"環(huán)形跑道〞，也是稱為封閉回路，它可以是圓形的、長(zhǎng)方形的、三角形的，也可以是由長(zhǎng)方形和兩個(gè)半圓組成的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)形狀。解題時(shí)，我們可以運(yùn)動(dòng)"轉(zhuǎn)化法〞把線路"拉直〞或"截?cái)啜?，從布把物體在"環(huán)形路道〞上的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的物體在直線上的運(yùn)動(dòng)。2、在行程問題中，與環(huán)形有關(guān)的行程問題的解決方法與一般行程問題的方法類似，但有兩點(diǎn)值得注意：一是兩人同地背向運(yùn)動(dòng)，從第一次相遇到下一次相遇共行一個(gè)全程；而是同地、同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，甲追上乙時(shí)甲比乙多行一個(gè)行程。環(huán)形跑道問題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次．這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。環(huán)線型同一出發(fā)點(diǎn)直徑兩端同向：路程差nSnS+0.5S相對(duì)(反向)：路程和nSnS-0.5S比例知識(shí)精講：比例的知識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)最后一個(gè)重要內(nèi)容，從*種意義上講仿佛扮演著一個(gè)小學(xué)"壓軸知識(shí)點(diǎn)〞的角色。從一個(gè)工具性的知識(shí)點(diǎn)而言，比例在解很多應(yīng)用題時(shí)有著"得天獨(dú)厚〞的優(yōu)勢(shì)，往往表達(dá)在方法的靈活性和思維的巧妙性上，使得一道看似很難的題目變得簡(jiǎn)單明了。比例的技巧不僅可用于解行程問題，對(duì)于工程問題、分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題也有廣泛的應(yīng)用。我們常常會(huì)應(yīng)用比例的工具分析2個(gè)物體在*一段一樣路線上的運(yùn)動(dòng)情況，我們將甲、乙的速度、時(shí)間、路程分別用來表示，大體可分為以下兩種情況：當(dāng)2個(gè)物體運(yùn)行速度在所討論的路線上保持不變時(shí)，經(jīng)過同一段時(shí)間后，他們走過的路程之比就等于他們的速度之比。一樣時(shí)間內(nèi)，速度倍數(shù)＝路程倍數(shù)。，這里因?yàn)闀r(shí)間一樣，即,所以由得到，，甲乙在同一段時(shí)間t內(nèi)的路程之比等于速度比當(dāng)2個(gè)物體運(yùn)行速度在所討論的路線上保持不變時(shí)，走過一樣的路程時(shí)，2個(gè)物體所用的時(shí)間之比等于他們速度的反比。路程一定時(shí)，時(shí)間和速度成反比，這里因?yàn)槁烦桃粯?，即，由得，，甲乙在同一段路程s上的時(shí)間之比等于速度比的反比。屢次相遇問題：一、由簡(jiǎn)單行程問題拓展出的屢次相遇問題所有行程問題都是圍繞"路程＝速度×?xí)r間〞這一條根本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個(gè)公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解．二、屢次相遇與全程的關(guān)系1.兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個(gè)全程；第2次相遇，共走3個(gè)全程；第3次相遇，共走5個(gè)全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程；注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。2.同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個(gè)全程；第2次相遇，共走4個(gè)全程；第3次相遇，共走6個(gè)全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N個(gè)全程；3、多人屢次相遇追及的解題關(guān)鍵屢次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個(gè)全程多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差三、解屢次相遇問題的工具——柳卡柳卡圖，不用根本公式解決，快速的解法是直接畫時(shí)間-距離圖，再畫上密密麻麻的穿插線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的表達(dá)運(yùn)動(dòng)過程中"相遇的次數(shù)〞，"相遇的地點(diǎn)〞，以及"由相遇的地點(diǎn)求出全程〞，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少。如果不畫圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來說不容易。本講中的行程問題是特殊場(chǎng)地行程問題之一。是多人〔一般至少兩人〕屢次相遇或追及的過程解決多人屢次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對(duì)題目中所描述的每一個(gè)行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)展分析。一、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：路程和=相遇時(shí)間×速度和路程差=追及時(shí)間×速度差行程問題常用的解題方法及分類：⑴公式法即根據(jù)常用的行程問題的公式進(jìn)展求解，這種方法看似簡(jiǎn)單，其實(shí)也有很多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時(shí)條件不是直接給出的，這就需要對(duì)公式非常熟悉，可以推知需要的條件；⑵圖示法在一些復(fù)雜的行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為輔助工具．示意圖包括線段圖和折線圖．圖示法即畫出行程的大概過程，重點(diǎn)在折返、相遇、追及的地點(diǎn)．另外在屢次相遇、追及問題中，畫圖分析往往也是最有效的解題方法；⑶比例法行程問題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時(shí)，用比例法可求得具體數(shù)值．更重要的是，在一些較復(fù)雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時(shí)間等)往往是不確定的，在沒有具體數(shù)值的情況下，只能用比例解題；⑷分段法在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用．這時(shí)通常把不勻速的運(yùn)動(dòng)分為勻速的幾段，在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來；⑸方程法在關(guān)系復(fù)雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時(shí)，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常?？梢皂樌蠼猓谐虇栴}是小升初考試和小學(xué)四大杯賽四大題型之一(計(jì)算、數(shù)論、幾何、行程)。具體題型變化多樣，形成10多種題型，都有各自相對(duì)獨(dú)特的解題方法。現(xiàn)根據(jù)四大杯賽的真題研究和主流教材將小題型總結(jié)如下，希望各位看過之后給予更加明確的分類。一、一般相遇追及問題。包括一人或者二人時(shí)(同時(shí)、異時(shí))、地(同地、異地)、向(同向、相向)的時(shí)間和距離等條件混合出現(xiàn)的行程問題。在杯賽中大量出現(xiàn)，約占80%左右。建議熟練應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)解法，即s=v×t結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)畫圖(根本功)解答。二、復(fù)雜相遇追及問題。(1)多人相遇追及問題。比一般相遇追及問題多了一個(gè)運(yùn)動(dòng)對(duì)象，即一般我們能碰到的是三人相遇追及問題。解題思路完全一樣，只是相對(duì)復(fù)雜點(diǎn)，關(guān)鍵是標(biāo)準(zhǔn)畫圖的能力能否清楚說明三者的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。(2)屢次相遇追及問題。即兩個(gè)人在一段路程中同時(shí)同地或者同時(shí)異地反復(fù)相遇和追及，俗稱反復(fù)折騰型問題。分為標(biāo)準(zhǔn)型(如兩地距離和兩者速度，求n次相遇或者追及點(diǎn)距特定地點(diǎn)的距離或者在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的相遇或追及次數(shù))和純周期問題(少見，如兩者速度，求一個(gè)周期后，即兩者都回到初始點(diǎn)時(shí)相遇、追及的次數(shù))。標(biāo)準(zhǔn)型解法固定，不能從路程入手，將會(huì)很繁，最好一開場(chǎng)就用求單位相遇、追及時(shí)間的方法，再求距離和次數(shù)就容易得多。如果用折線示意圖只能大概有個(gè)感性認(rèn)識(shí)，無法具體得出答案，除非是非考試時(shí)間仔細(xì)畫標(biāo)準(zhǔn)尺寸圖。一般用到的時(shí)間公式是(只列舉甲、乙從兩端同時(shí)出發(fā)的情況，從同一端出發(fā)的情況少見，所以不贅述)：?jiǎn)纬滔嘤鰰r(shí)間：t單程相遇=s/(v甲+v乙)單程追及時(shí)間：t單程追及=s/(v甲-v乙)第n次相遇時(shí)間：Tn=t單程相遇×(2n-1)第m次追及時(shí)間：Tm=t單程追及×(2m-1)限定時(shí)間內(nèi)的相遇次數(shù)：N相遇次數(shù)=[(Tn+t單程相遇)/2t單程相遇]限定時(shí)間內(nèi)的追及次數(shù)：M追及次數(shù)=[(Tm+t單程追及)/2t單程追及]注：[]是取整符號(hào)之后再選取甲或者乙來研究有關(guān)路程的關(guān)系，其中涉及到周期問題需要注意，不要把運(yùn)動(dòng)方向搞錯(cuò)了。三、火車問題。特點(diǎn)無非是涉及到車長(zhǎng)，火車過橋時(shí)間是指從車頭上橋起到車尾離橋所用的時(shí)間，因此火車的路程是橋長(zhǎng)與車身長(zhǎng)度之和?；疖嚺c人錯(cuò)身時(shí)，忽略人本身的長(zhǎng)度，兩者路程和為火車本身長(zhǎng)度；火車與火車錯(cuò)身時(shí)，兩者路程和則為兩車身長(zhǎng)度之和。題型分為：(1)火車vs點(diǎn)(靜止的，如電線桿和運(yùn)動(dòng)的，如人)s火車=(v火車±v人)×t經(jīng)過(2)火車vs線段(靜止的，如橋和運(yùn)動(dòng)的，如火車)s火車+s橋=v火車×t經(jīng)過和s火車1+s火車2=(v火車1±v火車2)×t經(jīng)過合并(1)和(2)來理解即s和=v相對(duì)×t經(jīng)過把電線桿、人的水平長(zhǎng)度想象為0即可?；疖噯栴}足見根本公式的應(yīng)用廣度，只要略記公式，火車問題一般不是問題。(3)坐在火車?yán)?。本身所在火車的車長(zhǎng)就形同虛設(shè)了，注意的是相對(duì)速度的計(jì)算。電線桿、橋、隧道的速度為0?；疖嚺c火車上的人錯(cuò)身時(shí)，只要認(rèn)為人具備所在火車的速度，而忽略本身的長(zhǎng)度，則他所看到的錯(cuò)車的相應(yīng)路程仍只是對(duì)面火車的長(zhǎng)度.對(duì)于火車過橋、火車和人相遇、火車追及人、以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類型的題目，在分析題目的時(shí)候一定得結(jié)合著圖來進(jìn)展四、流水行船問題。理解了相對(duì)速度，流水行船問題也就不難了。理解記住1個(gè)公式(順?biāo)?靜水船速+水流速度)就可以順勢(shì)理解和推導(dǎo)出其他公式(逆水船速=靜水船速-水流速度，靜水船速=(順?biāo)?逆水船速)÷2，水流速度=(順?biāo)?逆水船速)÷2)，對(duì)于流水問題也就夠了。技巧性結(jié)論如下：(1)相遇追及。水流速度對(duì)于相遇追及的時(shí)間沒有影響，即對(duì)無論是同向還是相向的兩船的速度差不構(gòu)成"威脅〞，大膽使用為善。當(dāng)甲、乙兩船〔甲在上游、乙在下游〕在江河里相向開出：甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=〔甲船速+水速〕＋〔乙船速-水速〕=甲船船速+乙船船速同樣道理，如果兩只船，同向運(yùn)動(dòng)，一只船追上另一只船所用的時(shí)間，與水速無關(guān).甲船順?biāo)俣?乙船順?biāo)俣?〔甲船速+水速〕-〔乙船速+水速〕=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=〔甲船速-水速〕-〔乙船速-水速〕=甲船速-乙船速.說明：兩船在水中的相遇與追及問題同靜水中的及兩車在陸地上的相遇與追及問題一樣，與水速?zèng)]有關(guān)系.流水落物。漂流物速度=水流速度，t1=t2(t1：從落物到發(fā)現(xiàn)的時(shí)間段，t2：從發(fā)現(xiàn)到拾到的時(shí)間段)與船速、水速、順行逆行無關(guān)。此結(jié)論所帶來的時(shí)間等式常常非常容易的解決流水落物問題，其本身也非常容易記憶。五、間隔發(fā)車問題。空間理解稍顯困難，證明過程對(duì)快速解題沒有幫助。一旦掌握了3個(gè)根本公式，一般問題都可以迎刃而解。(1)在班車?yán)?。即柳卡問題。不用根本公式解決，快速的解法是直接畫時(shí)間-距離圖，再畫上密密麻麻的穿插線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。(2)在班車外。一般間隔發(fā)車問題，聯(lián)立3個(gè)根本公式：汽車間距=(汽車速度+行人速度)×相遇事件時(shí)間間隔------1汽車間距=(汽車速度-行人速度)×追及事件時(shí)間間隔------2汽車間距=汽車速度×汽車發(fā)車時(shí)間間隔------31、2合并理解，即汽車間距=相對(duì)速度×?xí)r間間隔分為2個(gè)小題型：一般間隔發(fā)車問題。用3個(gè)公式迅速作答;2.求到達(dá)目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫圖-盡可能多的列3個(gè)好使公式-結(jié)合s全程=v×t-結(jié)合植樹問題數(shù)數(shù)。六、平均速度問題。相對(duì)容易的題型。大公式要牢牢記住：總路程=平均速度×總時(shí)間。用s=v×t寫出相應(yīng)的比要比直接寫比例式好理解并且標(biāo)準(zhǔn)，形成行程問題的統(tǒng)一解決方案。七、環(huán)形問題。是一類有挑戰(zhàn)性和難度的題型，分為"同一路徑〞、"不同路徑〞、"真實(shí)相遇〞、"能否看到〞等小題型。其中涉及到周期問題、幾何位置問題(審題不仔細(xì)容易漏掉多種位置可能)、不等式問題(針對(duì)"能否看到〞問題，即問甲能否在線段的拐角處看到乙)。仍舊屬于就題論題范疇。八、時(shí)鐘問題。時(shí)鐘問題可以看做是一個(gè)特殊的圓形軌道上2人追及問題，不過這里的兩個(gè)"人〞分別是時(shí)鐘的分針和時(shí)針。時(shí)鐘問題有別于其他行程問題是因?yàn)樗乃俣群涂偮烦痰亩攘糠绞讲辉偈浅Ｒ?guī)的米每秒或者千米每小時(shí)，而是2個(gè)指針"每分鐘走多少角度〞或者"每分鐘走多少小格〞。時(shí)鐘問題是環(huán)形問題的特定引申。根本關(guān)系式：v分針=12v時(shí)針(1)總結(jié)記憶：時(shí)針每分鐘走1/12格，0.5°;分針每分鐘走1格，6°。時(shí)針和分針"半〞天共重合11次，成直線共11次，成直角共22次(都在什么位置需要自己拿表畫圖總結(jié))。(2)根本解題思路：路程差思路。即格或角(分針)=格或角(時(shí)針)+格或角(差)格：*=*/12+(開場(chǎng)時(shí)落后時(shí)針的格+終止時(shí)超過時(shí)針的格)角：6*=*/2+(開場(chǎng)時(shí)落后時(shí)針的角度+終止時(shí)超過時(shí)針的角度)可以解決大局部時(shí)針問題的題型，包括重合、成直角、成直線、成任意角度、在哪兩個(gè)格中間，和哪一個(gè)時(shí)刻形成多少角度。(3)壞鐘問題。所用到的解決方法已經(jīng)不是行程問題了，變成比例問題了，有相應(yīng)的比例公式。九、自動(dòng)扶梯問題。仍然用根本關(guān)系式s扶梯級(jí)數(shù)=(v人速度±v扶梯速度)×t上或下解決最漂亮。這里的路程單位全部是"級(jí)〞，唯一要注意的是t上或下要表示成實(shí)際走的級(jí)數(shù)/人的速度?？梢訮K掉絕大局部自動(dòng)扶梯問題。十、十字路口問題。即在不同方向上的行程問題。沒有特殊的解題技巧，只要老老實(shí)實(shí)把圖畫對(duì)，再通過幾何分析就可以解決。十一、校車問題。就是這樣一類題：隊(duì)伍多，校車少，校車來回接送，隊(duì)伍不斷步行和坐車，最終同時(shí)到達(dá)目的地(即到達(dá)目的地的最短時(shí)間，不要求證明)分4種小題型：根據(jù)校車速度(來回不同)、班級(jí)速度(不同班不同速)、班數(shù)是否變化分類。(1)車速不變-班速不變-班數(shù)2個(gè)(最常見)(2)車速不變-班速不變-班數(shù)多個(gè)(3)車速不變-班速變-班數(shù)2個(gè)(4)車速變-班速不變-班數(shù)2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)解法：畫圖-列3個(gè)式子：總時(shí)間=一個(gè)隊(duì)伍坐車的時(shí)間+這個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間;2、班車走的總路程;3、一個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間=班車同時(shí)出發(fā)后回來接它的時(shí)間。最后會(huì)得到幾個(gè)路程段的比值，再根據(jù)所求代數(shù)即可。十二、保證往返類。簡(jiǎn)單例題：A、B兩人要到沙漠中探險(xiǎn)，他們每天向沙漠深處走20千米，每人最多可以攜帶一個(gè)人24天的食物和水。如果不準(zhǔn)將局部食物存放于途中，其中一個(gè)人最遠(yuǎn)可深入沙漠多少千米(要求兩人返回出發(fā)點(diǎn))"這類問題其實(shí)屬于智能應(yīng)用題類。建議推導(dǎo)后記憶結(jié)論，以便考試快速作答。每人可以帶夠t天的食物，最遠(yuǎn)可以走的時(shí)間T(1)返回類。(保證一個(gè)人走的最遠(yuǎn)，所有人都要活著回來)1、兩人：如果中途不放食物：T=2/3t;如果中途放食物：T=3/4t。2、多人：沒搞明白，建議高手補(bǔ)充。(2)穿沙漠類(保證一個(gè)人穿過沙漠不回來了，其他人都要活著回來)共有n人(包括穿沙漠者)即多人助1人穿沙漠類。1、中途不放食物：T≤[2n/(n+1)]×t。T是穿沙漠需要的天數(shù)。2、中途放食物：T=(1+1/3+1/5+1/7+…+1/(2n-1))×t還有幾類不甚常見的雜題，沒有典型性和代表性，在此不贅述。在研究追及和相遇問題時(shí)，一般都隱含以下兩種條件：(1)在整個(gè)被研究的運(yùn)動(dòng)過程中，2個(gè)物體所運(yùn)行的時(shí)間一樣(2)在整個(gè)運(yùn)行過程中，2個(gè)物體所走的是同一路徑。牛吃草問題概念及公式牛吃草問題又稱為消長(zhǎng)問題或牛頓牧場(chǎng)，是17世紀(jì)英國