二次函數(shù)應(yīng)用(拱橋問(wèn)題)

-.z.二次函數(shù)綜合應(yīng)用題〔拱橋問(wèn)題〕適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中三年級(jí)適用區(qū)域全國(guó)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)〔分鐘〕60知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)解析式確實(shí)定、二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.掌握二次函數(shù)解析式求法。2學(xué)會(huì)用二次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，掌握數(shù)學(xué)建模的思想，進(jìn)一步熟悉，點(diǎn)坐標(biāo)和線段之間的轉(zhuǎn)化。3.進(jìn)一步體驗(yàn)應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又效勞于生活，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)1.從實(shí)際問(wèn)題中抽象出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并能理解坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)和線段之間關(guān)系；

2.根據(jù)情景建立適宜的直角坐標(biāo)系，并將有關(guān)線段轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)教學(xué)難點(diǎn)如何根據(jù)情景建立適宜的直角坐標(biāo)系，并判斷直角坐標(biāo)系建立的優(yōu)劣。教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)平時(shí)的時(shí)候我們能夠看到小船可以從橋的下面通過(guò)，但是當(dāng)夏天雨季到來(lái)，水平面上升，這時(shí)小船還能從橋的下面通過(guò)嗎？對(duì)于這樣的問(wèn)題我們可以利用我們所學(xué)的二次函數(shù)來(lái)解決。這節(jié)我們就看二次函數(shù)解決拱橋問(wèn)題。二、知識(shí)講解考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1：二次函數(shù)解析式的形式1、一般式：y=a*2+b*+c〔a≠0〕2、頂點(diǎn)式：y=a(*-h)2+k〔a≠0〕頂點(diǎn)坐標(biāo)〔h，k〕直線*=h為對(duì)稱軸，k為頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，也是二次函數(shù)的最值3、雙根式：y=a(*-)(*-)〔a≠0〕(,是拋物線與*軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))并不是什么時(shí)候都能用雙根式，當(dāng)拋物線與*軸有交點(diǎn)時(shí)才行4、頂點(diǎn)在原點(diǎn)：5、過(guò)原點(diǎn)：6、頂點(diǎn)在y軸：考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2：建立平面直角坐標(biāo)系在給定的直角坐標(biāo)系,中會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置2、能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,描述物體的位置。三、例題精析【例題1】【題干】有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)，橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面4m．〔1〕在如下圖的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的表達(dá)式；〔2〕在正常水位的根底上，當(dāng)水位上升h〔m〕時(shí)，橋下水面的寬度為d〔m〕，求出將d表示為h的函數(shù)表達(dá)式；〔3〕設(shè)正常水位時(shí)橋下的水深為2m，為保證過(guò)往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于18m，求水深超過(guò)多少米時(shí)就會(huì)影響過(guò)往船只在橋下的順利航行．【答案】〔1〕設(shè)拋物線的解析式為y＝a*2，且過(guò)點(diǎn)〔10，－4〕∴故〔2〕設(shè)水位上升hm時(shí)，水面與拋物線交于點(diǎn)〔〕則∴〔3〕當(dāng)d＝18時(shí)，∴當(dāng)水深超過(guò)2.76m時(shí)會(huì)影響過(guò)往船只在橋下順利航行?！窘馕觥宽旤c(diǎn)式：y=a〔*-h〕+k〔a，h，k是常數(shù)，a≠0〕，其中〔h，k〕為頂點(diǎn)坐標(biāo)．【例題2】【題干】如圖，有一座拋物線形的拱橋，橋下面處在目前的水位時(shí)，水面寬AB=10m，如果水位上升2m，就將到達(dá)戒備線CD，這時(shí)水面的寬為8m.假設(shè)洪水到來(lái)，水位以每小時(shí)0.1m速度上升，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)會(huì)到達(dá)拱頂"【答案】解：以AB所在的直線為*軸,AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的頂點(diǎn)E在y軸上,且B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔5，0〕、〔4，2〕設(shè)拋物線為y=a*2+k.

由B、D兩點(diǎn)在拋物線上，有解這個(gè)方程組，得所以，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為〔0，〕則OE=÷0.1=〔h〕所以，假設(shè)洪水到來(lái)，水位以每小時(shí)0.1m速度上升，經(jīng)過(guò)小時(shí)會(huì)到達(dá)拱頂.【解析】以AB所在的直線為*軸,AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，求出解析式【例題3】【題干】如圖是拋物線拱橋，水位在AB位置時(shí)，水面寬，水位上升3m，到達(dá)戒備線CD，這時(shí)水面寬．假設(shè)洪水到來(lái)時(shí)，水位以每小時(shí)0.25m的速度上升，求水過(guò)戒備線后幾小時(shí)淹到拱橋頂？OO*C*yDBAEF【答案】解：根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為：y＝a*2＋h又知B(2，0)，D(2，3)∴解得：∴y＝－*2＋6∴E(0，6)即OE＝6EF＝OE－OF＝3t＝＝＝12(小時(shí))答：水過(guò)戒備線后12小時(shí)淹到拱橋頂．【解析】建立直角坐標(biāo)系，求出解析式四、課堂運(yùn)用【根底】1、心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的承受能力y與提出概念所用的時(shí)間*(單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系：y＝－0.1*2＋2.6*＋43(0≤*≤30)．y值越大，表示承受能力越強(qiáng)．(1)*在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的承受能力逐步增加？*在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的承受能力逐步降低？〔2〕第10分鐘時(shí)，學(xué)生的承受能力是多少？〔3〕第幾分鐘時(shí)，學(xué)生的承受能力最強(qiáng)？【穩(wěn)固】1、有一座拋物線形拱橋，拋物線可用y=表示．在正常水位時(shí)水面AB的寬為20m，如果水位上升3m時(shí)，水面CD的寬是10m．(1)在正常水位時(shí)，有一艘寬8m、高2.5m的小船，它能通過(guò)這座橋嗎"(2)現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需經(jīng)過(guò)此橋開(kāi)往乙地，甲地距此橋280km(橋長(zhǎng)忽略不計(jì))．貨車正以每小時(shí)40km的速度開(kāi)往乙地，當(dāng)行駛1小時(shí)時(shí)，突然接到緊急通過(guò):前方連降暴雨，造成水位以每小時(shí)0.25m的速度持續(xù)上漲(貨車接到通知時(shí)水位在CD處，當(dāng)水位到達(dá)橋拱最高點(diǎn)O時(shí)，制止車輛通行)．試問(wèn):如果貨車按原來(lái)的速度行駛，能否平安通過(guò)此橋"假設(shè)能，請(qǐng)說(shuō)明理由．假設(shè)不能，要使貨車平安通過(guò)此橋，速度應(yīng)超過(guò)每小時(shí)多少千米"【拔高】1、一個(gè)涵洞成拋物線形，它的截面如圖(3)所示，現(xiàn)測(cè)得，當(dāng)水面寬AB＝1.6m時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為2.4m。這時(shí)，離開(kāi)水面1.5m處，涵洞寬ED是多少"是否會(huì)超過(guò)1m"．五、課程小結(jié)用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)問(wèn)題，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題；〔2〕根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題；〔3〕找到兩個(gè)變量之間的關(guān)系；掌握數(shù)形結(jié)合思想；〔4〕從拱橋問(wèn)題中體會(huì)到函數(shù)模型對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題的價(jià)值．感受數(shù)學(xué)在生活實(shí)際中使用六、課后作業(yè)【根底】如圖，拋物線y=*2+b*+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，并與*軸交于點(diǎn)A〔2，0〕．求此拋物線的解析式。【穩(wěn)固】如下圖，有一座拱橋圓弧形，它的跨度為60米，拱高為18米，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，就要采取緊急措施，假設(shè)拱頂離水面只有4米，即PN=4米時(shí)，是否采取緊急措施"【拔高】1、有一座拋物線型拱橋，其水面寬AB為18米，拱頂O離水面AB的距離OM為