2.4 圓與方程-(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)) (教師版)

圓與方程1圓的定義平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑.2圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程x-a2+y-b2=(2)一般方程x(3)求圓方程的方法(i)待定系數(shù)法先設(shè)后求.確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；(ii)直接法直接把圓心和半徑求出.要注意多利用圓的幾何性質(zhì)，如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置.3點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r，a.點(diǎn)在圓內(nèi)?d<r；b.點(diǎn)在圓上?d=r；c.點(diǎn)在圓外?d>r.(2)給定點(diǎn)M(x0,M在圓C內(nèi)?x0M在圓C上?xM在圓C外?x(3)某點(diǎn)M到圓⊙O上點(diǎn)N的距離若點(diǎn)M在圓內(nèi)，則MNmin=M若點(diǎn)M在圓外，則MNmin=M4直線、圓的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系(2)根據(jù)d與r的關(guān)系判斷(d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑.)相離?沒(méi)有公共點(diǎn)?d>r;相切?只有一個(gè)公共點(diǎn)?d=r;相交?有兩個(gè)公共點(diǎn)?d<r.(3)聯(lián)立方程求判別式的方法聯(lián)立直線方程與圓的方程Ax+By+C=0x當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與圓有2當(dāng)Δ=0時(shí)，直線與圓只有1當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與圓沒(méi)有交點(diǎn)，直線與圓相離(4)圓上一點(diǎn)到圓外一直線的距離若直線l與圓⊙O相離，圓上一點(diǎn)P到直線l的距離為PE，d為圓心O到直線l的距離，r為圓半徑，則PEmin=P5弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)公式：AB=2r2-d2(r是圓的半徑，d利用垂徑定理及勾股定理可以得到.【題型一】求圓的方程【典題1】若圓C過(guò)點(diǎn)(0,-1),(0,5)，且圓心到直線x-y-2=0的距離為22，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】方法一幾何法∵圓C過(guò)點(diǎn)0,-1,0,5，∴圓心的縱坐標(biāo)為2，(則設(shè)圓心為(a,2)，則a-42=22，∴a=0∴當(dāng)a=0時(shí)，r=3；當(dāng)a=8時(shí)，r=64+9∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y-2方法二待定系數(shù)法設(shè)圓的方程為x-a2則a2+-1-b2=r2∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y-2【典題2】已知A(-1,0)，B(3,2)，C(0,-2)，則過(guò)這三點(diǎn)的圓方程為.【解析】方法一待定系數(shù)法設(shè)圓的一般方程為x2+y2又由圓過(guò)A(-1,0)，B(3,2)，C(0,-2)三點(diǎn)，則有&1-D+F=0&13+3D+2E+F=0&4-2E+F=0，解得D=-3，E=0則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y方法二幾何法圓心是直線AB、AC的垂直平分線的交點(diǎn)，(易得直線AB、AC的垂直平分線分別為y=-2x+3，由y=-2x+3y=12x-3半徑r=OC=32-02故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x－【點(diǎn)撥】求三角形外接圓的方程，可用待定系數(shù)法，也可以用三邊的中垂線求解.待定系數(shù)法的想法簡(jiǎn)單但計(jì)算量較大.鞏固練習(xí)1(★)已知圓x2+y2+ax+by+1=0關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱(chēng)的圓的方程為x2+y2【答案】-4【解析】圓x2+y2=1設(shè)(0,0)關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(m,n)，則m2+n則點(diǎn)(0,0)關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)，所以圓x2+y2=1化為一般式為x2所以a=b=－2，即2(★)圓心在直線y=x上，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在x軸上截得弦長(zhǎng)為2的圓的方程為. 【答案】x-12+y-1【解析】畫(huà)出圓A滿足題中的條件，有兩個(gè)位置，當(dāng)圓心A在第一象限時(shí)，過(guò)A作AC⊥x軸，又|OB|=2，根據(jù)垂徑定理得到點(diǎn)C為弦OB的中點(diǎn)，則|OC|=1，由點(diǎn)A在直線y=x上，得到圓心A的坐標(biāo)為(1,1)，且半徑|OA|=2則圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x－當(dāng)圓心A'在第三象限時(shí)，過(guò)A'作A'C'⊥x軸，又|OB'|=2，根據(jù)垂徑定理得到點(diǎn)C'為弦OB'的中點(diǎn)，則|OC'|=1，由點(diǎn)A'在直線y=x上，得到圓心A'的坐標(biāo)為(－1,－則圓A'的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x+12綜上，滿足題意的圓的方程為：x－123(★)過(guò)點(diǎn)A(1,1)，B(-3,5)，且圓心在直線2x+y+2=0上的圓的半徑是.【答案】x+22【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x－因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)A(1,1),B(－3,5)，且圓心在直線則有(1-a)2+(1-b所以圓的半徑是10．【題型二】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【典題1】若點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5cosθ,4sinθ)，圓C的方程為x2+y2=25，則點(diǎn)P與圓A．點(diǎn)P在圓C內(nèi) B．點(diǎn)P在圓C上 C．點(diǎn)P在圓C內(nèi)或圓C上 D．點(diǎn)P在圓C上或圓C外【解析】∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5cosθ,4sinθ)，∴5cosθ∴點(diǎn)P與圓C的位置關(guān)系是點(diǎn)P在圓C內(nèi)或圓C上，故選：C．【點(diǎn)撥】判定點(diǎn)P到圓?O的位置，方法有兩種，①求OP，與半徑r比較大??；②把點(diǎn)Px0,y0代入圓的方程x-a【典題2】若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+4x-2y-4=0【解析】方法1幾何法x2+y它表示一個(gè)圓心M(-2,1)，半徑r=3的圓⊙M，而x表示圓上的點(diǎn)N(x,y)與原點(diǎn)O(0,0)之間的距離，(則本題就是求原點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最大值)結(jié)合圖形知，ON即x2+y方法2三角代換法x2+y設(shè)x=3sinα-2，y=3cosα+1，則x而-5≤2sinα+cosα≤5∴14-6(2sinα+cosα)的最小值為14+6【點(diǎn)撥】方法1是從幾何的角度入手，確定方程為圓的方程，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式確定x2+y2是線段ON的長(zhǎng)度，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值問(wèn)題.方法2是三角代換法，圓x-a2鞏固練習(xí)1(★)若點(diǎn)M(m,m-1)在圓C：x2+y2-2x+4y+1=0【答案】-1,1【解析】∵點(diǎn)M(m,m－1)在圓C：∴m即m2<1，則∴m的取值范圍是(－2(★)在圓x－22+y+32=2【答案】(3,-2)【解析】∵0－22+∴圓上與點(diǎn)(0,－5)距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，在圓心與點(diǎn)(0,－5)連線上，且與點(diǎn)由于直線通過(guò)點(diǎn)(2,－3)和與圓的方程聯(lián)立，可得x-22+∴交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,－2)和(1,－4)3(★★)在平面內(nèi)，一只螞蟻從點(diǎn)A(－2,－3)出發(fā)，爬到y(tǒng)軸后又爬到圓x+32+(y-2)2=2【答案】42【解析】由圓x+32+y-2A(－2,－3)關(guān)于它爬到的最短路程是最短距離為A'4(★★)已知點(diǎn)P(x,y)在圓x2+y2=1上，則(x-1【答案】2+1【解析】(x-1)2+(y-1)2∵點(diǎn)P(x,y)在圓x2∴(x-1)25(★★)已知點(diǎn)P(3,a)，若圓O：x2+y2=4上存在點(diǎn)A，使得線段PA的中點(diǎn)也在圓O上，則a【答案】[-33【解析】設(shè)A(x0,y0)，解得(x-32)2+(y-又線段PA的中點(diǎn)也在圓O上，∴兩圓有公共點(diǎn)，∴1≤(解得：-336(★★)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)【答案】-【解析】過(guò)M作⊙O切線交⊙O于R，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有∠OMR≥∠OMN．∴若圓O上存在點(diǎn)N，使∠OMN=30°，則∠OMR≥30°．∵|OR|=1，∴|OM|＞即OM2=x02+1≤4

7(★★)如果圓x-a2+y-a2=8上總存在到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)，那實(shí)數(shù)a【答案】-3,-1【解析】圓x-a2+y-a2=8半徑r=22，圓心若由圓x-a2+y-a∴22∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或-3≤a≤-1．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3，8(★★★)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P0,1在圓C：x2+y2+2mx-2y+m2-4m+1=0內(nèi)，若存在過(guò)點(diǎn)P的直線交圓C于A、B兩點(diǎn)，且△PBC的面積是△PAC的面積的2【答案】4【解析】點(diǎn)P(0,1)在圓C：x2∴1－解得0<m<4；又圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程是x+m2+y∵△PBC的面積是△PAC的面積的2倍，∴PB=2PA，設(shè)直線l的方程為：y=kx+1．圓心C到直線l的距離d=|-km-1+1|∴4m-d2=3∴9-4m=當(dāng)m=49時(shí)，四點(diǎn)共線沒(méi)有三角形，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(49【題型三】直線與圓的位置關(guān)系【典題1】若圓C：x2+y2-2x+2y=2與直線x-y+a=0有公共點(diǎn)，則【解析】方法一化圓C的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，得x-12則圓心坐標(biāo)為C(1,-1)，半徑r=2，若直線與圓C有公共點(diǎn)，則圓心(1,-1)到直線的距離d小于等于半徑r，則d=|1+1+a|2≤2方法二由x-y+a=0x2+其判別式?=4a直線與圓有公共點(diǎn)，則?≥0，解得-22【點(diǎn)撥】判定直線與圓的位置共線有兩種方法，①判定圓心到直線的距離與半徑的大小半徑；②聯(lián)立方程，看判別式.【典題2】求過(guò)點(diǎn)P(-1,4)，圓x-22+y-32【解析】方法1當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線斜率不存在時(shí)，方程為x=-1故可設(shè)切線l為y=依題意得圓(2,3)到直線l的距離等于半徑1，故|3k+1|1+k2故所求直線l的方程為y=4或3x+4y-13=0．方法2設(shè)所求直線的方程為Ax+1+By-4=0(其中A,B

∵直線l與圓相切，∴圓心(2,3)到直線l的距離等于半徑1，故|3A-B|

整理，得A(4A-3B)=0，即A=0(這時(shí)B≠0)或A=34故所求直線l的方程為y=4或3x+4y-13=0．【點(diǎn)撥】①方法1中，設(shè)過(guò)某一點(diǎn)(x0,y0②方法2利用了直線系方程，過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的直線系方程為【典題3】已知兩點(diǎn)A(-1,0)、B(0,2)，若點(diǎn)P是圓x-12+y2【解析】(S△ABP以AB為底，求其最值，即求點(diǎn)P到直線AB由兩點(diǎn)A(-1,0)、B(0,2)∴|AB|=(-1直線AB的方程為：x-1+y由圓x-12+y2=1則圓心C到直線AB的距離d=|2-0+2|∵點(diǎn)P是圓x-12∴點(diǎn)P到直線AB的最大距離dmax=d+r；點(diǎn)P到直線AB的最小距離∴△ABP面積的最大值和最小值之和等于12【點(diǎn)撥】圓上一點(diǎn)P到圓外一直線l距離d與圓心O到直線l的距離d1和圓的半徑r即dmin=d【典題4】已知圓C：(x-3)2+(y-3)2=3，過(guò)直線3x-y-6=0上的一點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA，PB【解析】根據(jù)題意，如圖：連接AC、BC圓C的圓心(3,3)，半徑cos∠(圓的切線長(zhǎng)定理)當(dāng)PC最小時(shí)，cos∠而PC的最小值為點(diǎn)C到直線3x-y-6=0的距離d=則cos∠APB的最小值為1-6【點(diǎn)撥】①本題利用了平幾和三角恒等變換的知識(shí)把cos∠APB的最值轉(zhuǎn)化為“②求某變量的最值，可轉(zhuǎn)化為另一變量的最值，這也是一種函數(shù)思想，在解析幾何中就要對(duì)題目中的動(dòng)點(diǎn)變化有足夠的清晰理解.【典題5】直線l：x-2y+2=0，動(dòng)直線l1：ax-y=0，動(dòng)直線l2：x+ay+2a-4=0．設(shè)直線l與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，動(dòng)直線l1與l2交于點(diǎn)P，則△PAB【解析】由x-2y+2=0，取y=0，得x=-2，則A(-2,0)；取x=0，得y=1，則B(0,1)，∴|AB|=5(線段AB為定值，則S△PAB的大小取決于點(diǎn)P到直線AB的距離h方法1函數(shù)法由ax-y=0x+ay+2a-4=0得P則求點(diǎn)P到直線l的距離h=(函數(shù)法，求其函數(shù)最值便可)易得fa=5aa2+1則15≤2∴△PAB的面積最大值為12方法2參數(shù)法由ax-y=0x+ay+2a-4=0得x=4-2aa2+1y=由a=yx代入x=4-2aa2+1得x=4-2?y整理得x-22(點(diǎn)P的軌跡是圓，接著求點(diǎn)P到直線l距離的最大值，問(wèn)題回到“圓上點(diǎn)到圓外直線的距離”模型)∵圓心(2,-1)到直線l的距離d=|2+2+2|∴P到直線l的距離的最大值為d+r=6∴△PAB的面積最大值為12方法3幾何法直線l1：ax-y=0過(guò)定點(diǎn)O(0,0)直線l2：x+ay+2a-4=0過(guò)定點(diǎn)M(4,-2)∵a×1+(-1)×a=0，∴直線l1與直線l∴動(dòng)直線l1與l2交于點(diǎn)P在以(動(dòng)點(diǎn)P軌跡是圓，求出其方程，如方法2便可)∵OM的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)，|OM|=4∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x-22如方法2得△PAB的面積最大值112【點(diǎn)撥】①方法1的函數(shù)法是最直接的想法，但運(yùn)算量較大些；②本題的求解動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法是參數(shù)法和幾何法；③幾何法中，我們要清楚動(dòng)點(diǎn)是由什么因素確定，再思考這些因素有木有什么特點(diǎn).本題動(dòng)點(diǎn)P是兩動(dòng)直線的交點(diǎn)，則我們要考慮兩直線有什么特征，一般可往“定點(diǎn)”、“直線位置關(guān)系”的角度思考.其中關(guān)于圓的結(jié)論可以了解下：(1)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的夾角∠APB=π2，則動(dòng)點(diǎn)(2)若平面四邊形ABCD中有∠A+∠C=π，則四點(diǎn)共圓.鞏固練習(xí)1(★)點(diǎn)M(x0,y0)在圓xA．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【答案】B【解析】∵點(diǎn)M(x0,y0∴圓心(0,0)到直線x0x+y∴直線x02(★)已知過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線l與圓x-12+y2=5相切，則直線A．1 B．12 C．2 D．【答案】D【解析】設(shè)直線方程為：y=k(x－2)+2，由已知圓的圓心為(1,0)，半徑為因?yàn)橹本€與圓相切，則圓心到直線的距離為|k(1-2)+2|1+k2故選：D．3(★★)【多選題】已知點(diǎn)P在圓x-52+y-52=16上，點(diǎn)A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10 B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2 C．當(dāng)∠PBA最小時(shí)，|PB|=32 D．當(dāng)∠PBA最大時(shí)，【答案】ACD【解析】∵A(4,0),B(0,2)，∴過(guò)A、B的直線方程為x4圓x-52圓心到直線x+2y－4=0的距離∴點(diǎn)P到直線AB的距離的范圍為[1155-4，∵1155<5，∴點(diǎn)P到直線AB的距離小于10，但不一定大于2，故A正確，B錯(cuò)誤；如圖，當(dāng)過(guò)B的直線與圓相切時(shí)，滿足∠PBA最小或最大(P點(diǎn)位于P1時(shí)∠PBA最小，位于P2時(shí)∠PBA此時(shí)|BC|=(5-0∴|PB|=|BC|2故選：ACD．4(★★)已知圓C：x2+y2-2y=0，P為直線l：x-y-2=0上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線PT(T為切點(diǎn))【答案】142【解析】圓C：x2+y-1設(shè)圓心C到直線l：x－y－故當(dāng)圓心C到直線l上點(diǎn)的距離最小時(shí)，即圓心到直線的距離d，此時(shí)|PT|最小，因?yàn)閐=|-1-2|2=故|PT|最小值是1425(★★)過(guò)直線x+y-22=0上的點(diǎn)P作圓x2+y2=1的兩條切線，若兩切線的夾角為60°，則點(diǎn)【答案】(【解析】根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示：直線PA和PB為過(guò)點(diǎn)P的兩條切線，且∠APB=60°，設(shè)P的坐標(biāo)為(a,b)，連接OP,OA,OB，∴OA⊥AP，OB⊥BP，PO平分∠APB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，又圓x2+y2=1，即圓心坐標(biāo)為(0,0)∴OP=2AO=2BO=2，∴a2+b又P在直線x+y－22=0上，∴a+b聯(lián)立①②解得：a=b=2，則P的坐標(biāo)為(2，2)6(★★)直線x+y+a=0與半圓y=-1-x2有兩個(gè)交點(diǎn),則a的值是【答案】[1,2【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：當(dāng)直線在第三象限與半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離d=r，即|a|2=1，解得：a=2或a=－當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線x+y+a=0與圓有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，把A(－1,0)代入x+y+a=0中得：－1+a=0則直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a的范圍是[1,2故答案為：[1,2)7(★★)若圓x2+y2-2x-2y=0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：y=kx的距離為22，則【答案】2-3,2+【解析】由圓x2+y則圓心為(1,1)，半徑為2，圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：y=kx的距離為22則圓心到直線的距離應(yīng)不大于等于22∴|1-k|1+k2≤由tan15°=tan(45°－tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°8(★★★)已知P(x,y)是圓x-12+y-22=r2(r>0)上任意一點(diǎn)，若|3x-4y|+|3x-4y+16|是定值，則實(shí)數(shù)【答案】0<r≤1【解析】由題意可知此圓夾在兩直線3x－4y=0和3x－所以|3×1-4×2|32+9(★★★)已知⊙C：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：x+2y+2=0，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作⊙C的切線MA，MB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)四邊形MACB的面積取最小值時(shí)，直線AB的方程為【答案】x+2y+1=0【解析】⊙C：x2+y則圓心C(1,1)，半徑r=2．因?yàn)樗倪呅蜯ACB的面積S=2S要使四邊形MACB面積最小，則需|CM|最小，此時(shí)CM與直線l垂直，直線CM的方程為y-1=2(x-聯(lián)立y=2x-1x+2y+2=0，解得M(0,－則以CM為直徑的圓的方程為x-與⊙C的方程作差可得直線AB的方程為x+2y+1=0．10(★★★)若P為直線x-y+4=0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)P引圓C：x2+y2-4x=0的兩條切線PM,PN(切點(diǎn)為M,N)【答案】【解析】如圖，由x2+y所以圓C的圓心為C(2,0)，半徑r=2，如圖所示，要使|MN|的長(zhǎng)度最小，即要∠MCN最小，則∠MCP最小，因?yàn)閠an∠MCP=|PM|r=因?yàn)閨PM|=|PC所以當(dāng)|PC|最小時(shí)，|MN|最小，因?yàn)閨PC|min=61+1又cos∠MCP=2cos則|MN|【題型四】弦長(zhǎng)問(wèn)題【典題1】已知圓的方程為x-12+y-12=9，P(2,2)是該圓內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦與最短弦分別是AC和【解析】∵圓的方程為x-12+∴圓心坐標(biāo)為M(1,1)，半徑r=3．∵P(2,2)是該圓內(nèi)一點(diǎn)，∴經(jīng)過(guò)P點(diǎn)最長(zhǎng)弦是圓的直徑，且最短的弦是與該直徑垂直的弦．結(jié)合題意，AC是經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的直徑，BD是與AC垂直的弦．∵PM∴由垂徑定理，得|BD|=2r因此，四邊形ABCD的面積是S=1【點(diǎn)撥】過(guò)圓?O內(nèi)一點(diǎn)P的最短弦是與OP垂直的弦【典題2】設(shè)O為原點(diǎn)，直線y=kx+2與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn)，那△ABO面積最大值為【解析】∵原點(diǎn)O到l的距離為d=21+∴弦長(zhǎng)AB=2∴S當(dāng)k=0時(shí)，