5.6-正弦定理、余弦定理和解斜三角形

5.6-正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6-正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6-正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6-正弦定理、余弦定理和解斜三角形編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:5．6正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理：（2R為三角形外接圓直徑），（為三角形面積），其他形式：a：b：c=sinA：sinB：sinCCACABacb余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,(可按a,b,c,輪換得另二式)余弦定理變式：,(輪換得另二式)余弦定理向量式：如圖a=b+c,c=a–bc2=|c|2=|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2﹒a﹒b=a2+b2-2abcosC(其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c)【例1】在△ABC中，求證：eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(a2＋c2－b2,b2＋c2－a2).?變式訓(xùn)練1在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊．求證：eq\f(cosB,cosC)＝eq\f(c－bcosA,b－ccosA).【例2】在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀．?變式訓(xùn)練2在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，試確定△ABC的形狀．【當(dāng)堂訓(xùn)練】1、在三角形中,如果,那么這個三角形是 （）A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形或鈍角三角形2、在△ABC中，“”是“”的 （）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3、在△ABC中，已知B=30°,,c=150，那么這個三角形是 （）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形4、設(shè)A是△ABC中的最小角，且，則實數(shù)a的取值范圍是 （） A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)＞－1 C．－1＜a≤3 D．a(chǎn)＞05、在△ABC中，a,b,c,分別是三內(nèi)角A、B、C所對的邊，若B=2A，則b:a的取值范圍是（） A． B． C． D．6、在△ABC中，若三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列且A<B<C，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7、在中，所對的邊長分別為，設(shè)滿足條件和，求和的值．8、已知的三邊、、成等比數(shù)列，且，．（1）求； （2）求的面積．【家庭作業(yè)】一、填空題1．在中，已知，則___________2．已知等腰三角形的底邊上的高與底邊長之比為，則它的頂角的正切值是__________3．在中，若，那么三角形的形狀為_______________4．在中，，則_______________5．在中，，則6．在銳角中，若，則的取值范圍是__________7．在中，若，則________________8．在中，已知，若此三角形有兩解，則的取值范圍是__________________9．(A)在中，，則三角形的形狀為________________(B)已知，且，則在及中必為常數(shù)的有_________10．(A)在中，，則的取值范圍是__________________(B)已知三角形的三邊長分別是，則三角形的最大角等于______________二、選擇題11．在中，是（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件12．在中，若則此三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形13．在中，若，那么其三邊關(guān)系式為（）A.B.C.D.14．(A)在中，為三角形三條邊，且方程有兩個相等的實數(shù)根，則該三角形是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形(B)已知關(guān)于的方程的兩根之和等于兩根之積的一半，則是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形三、解答題15．在中，若，試判斷三角形的形狀16．在中，若，求。17．在中，若。（1）求；（2）若，求的值。18．(A)已知A碼頭在B碼頭的南偏西處，兩碼頭相距200千米，甲、乙兩船同時分別由A碼頭和B碼頭出發(fā)，乙船朝著西北方向航行，乙船的航行速度為40海里/小時，如果兩船出發(fā)后5小時相遇，求甲船的速度。（1海里=千米）（精確到海里）(B)甲船在點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東的點處，測的乙船以每小時海里的速度向正北行使。已知甲船速度是每小時海里，問：甲船如何行駛才能最快與乙船相遇19、(A)在中，若，（1）判斷三角形的形狀；（2）如果三角形面積為，求三角形周長的最小值。(B)三條線段長分別為和，其中，是否能以此三條線段構(gòu)成三角形并說明理由。參考答案例1、證明方法一左邊＝eq\f(\f(sinA,cosA),\f(sinB,cosB))＝eq\f(sinAcosB,sinBcosA)＝eq\f(a,b)·eq\f(\f(a2＋c2－b2,2ac),\f(b2＋c2－a2,2bc))＝eq\f(a2＋c2－b2,b2＋c2－a2)＝右邊，所以eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(a2＋c2－b2,b2＋c2－a2).方法二右邊＝eq\f(\f(a2＋c2－b2,2ac)·2ac,\f(b2＋c2－a2,2bc)·2bc)＝eq\f(\f(a2＋c2－b2,2ac)·a,\f(b2＋c2－a2,2bc)·b)＝eq\f(cosB,cosA)·eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(sinA,cosA)·eq\f(cosB,sinB)＝eq\f(tanA,tanB)＝左邊，所以eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(a2＋c2－b2,b2＋c2－a2).變式1證明方法一左邊＝eq\f(\f(a2＋c2－b2,2ac),\f(a2＋b2－c2,2ab))＝eq\f(b(a2＋c2－b2),c(a2＋b2－c2))右邊＝eq\f(c－b·\f(b2＋c2－a2,2bc),b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc))＝eq\f(b(a2＋c2－b2),c(a2＋b2－c2))∴等式成立．方法二右邊＝eq\f(2RsinC－2RsinB·cosA,2RsinB－2RsinC·cosA)＝eq\f(sin(A＋B)－sinBcosA,sin(A＋C)－sinCcosA)＝eq\f(sinAcosB,sinAcosC)＝左邊∴等式成立．例2、解方法一根據(jù)余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2＝a2＋c2－2accos60°，整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.∴△ABC是正三角形．方法二根據(jù)正弦定理，2b＝a＋c可轉(zhuǎn)化為2sinB＝sinA＋sinC.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴C＝120°－A，∴2sin60°＝sinA＋sin(120°－A)，整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°.∴△ABC是正三角形．變式2解由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，∴A＝eq\f(π,3).又sinA＝2sinBcosC．∴a＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,a)，∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC為等邊三角形．【當(dāng)堂訓(xùn)練】1、答案：D解析：利用正、余弦定理將角變?yōu)檫吳蠼?、答案：B解析：利用三角形內(nèi)角和與三角函數(shù)的性質(zhì)來解決3、答案：D解析：利用正弦定理4、答案：A解析：因為A是最小的角，根據(jù)A的范圍來求。5、答案：B6、答案：C解析：∵2B=A+C，∴．設(shè)，（d>0）．則，又∴．∴7、答案：,解析：解法一：由余弦定理，因此，在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B. 由已知條件，應(yīng)用正弦定理：解得從而解析：（1）由，…由、、成等比數(shù)列，知，且不是最大邊（2）由余弦定理得，【家庭作業(yè)】一、填空題1.2或12.3.等腰直角三角形4.5.6.()7.8.9.（A）等邊三角形，(B)10.（A）,(B)二、選擇題11.C12.B13.B14.（A）A(B)A三、解答題15.由，得，化簡得，，，即是等腰三角形。16.，，，17.（1）由題設(shè)得，即，解得，故；（2），即，將代入，得，解得或。18.(A)如右圖，設(shè)兩船在處相遇，由題意，（單位：千米）。