北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章《函數(shù)應(yīng)用》§2《實(shí)際問題中的函數(shù)模型》課件

§2實(shí)際問題中的函數(shù)模型2.1實(shí)際問題的函數(shù)刻畫§2實(shí)際問題中的函數(shù)模型1課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要工具.2.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.3.比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”、“直線上升”、“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí)含義.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)常見函數(shù)的變化異同，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)2新知探究澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”：1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子的數(shù)量在不到100年內(nèi)達(dá)到75億只，喂養(yǎng)牛羊的牧草幾乎被兔子們吃光，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣.兔子為什么會(huì)如此快地從幾只增長到75億只呢？原來在理想的環(huán)境中，種群數(shù)量呈指數(shù)增長；在有限制的環(huán)境中，種群數(shù)量的增長為對數(shù)增長.新知探究澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”：1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳3問題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時(shí)增長快慢有什么規(guī)律？提示都是增函數(shù)，而y＝ax(a>1)時(shí)增長速度越來越快；y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上增長速度非常緩慢.問題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時(shí)增長快慢有什么規(guī)律？41.在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，當(dāng)面對的實(shí)際問題中存在幾個(gè)變量，并且它們之間具有依賴關(guān)系時(shí)，我們往往用函數(shù)對其進(jìn)行刻畫，函數(shù)刻畫的方法可以使用圖象，但常見的還是使用解析式.1.在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，當(dāng)面對的實(shí)際問題52.常見的函數(shù)模型2.常見的函數(shù)模型6北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章《函數(shù)應(yīng)用》§2《實(shí)際問題中的函數(shù)模型》課件7拓展深化[微判斷]判斷下列說法的正誤.1.某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲利.(

)2.某種產(chǎn)品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價(jià)120元，則每天可售出20件，如果售出件數(shù)是定價(jià)的一次函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)解析式為y＝－4x＋200.(

)××拓展深化××83.在函數(shù)建模中，散點(diǎn)圖可以幫助我們選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.(

)提示1.100×(1＋10%)×0.9－100＝－1.√3.在函數(shù)建模中，散點(diǎn)圖可以幫助我們選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.(9[微訓(xùn)練]1.某人從2015年1月1日到銀行存入a元，若年利率為x，按復(fù)利計(jì)算，則2020年1月1日到期時(shí)可取款________元(

)

A.a(1＋x)5

B.a(1＋x)6

C.a＋(1＋x)5

D.a(1＋x5)

答案A[微訓(xùn)練]102.某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入運(yùn)營，據(jù)市場分析，每輛客車營運(yùn)的利潤y與營運(yùn)年數(shù)x(x∈N)為二次函數(shù)關(guān)系，則客車有營運(yùn)利潤的時(shí)間不超過(

)A.4年

B.5年

C.6年

D.7年答案D2.某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入運(yùn)營，據(jù)市場分析，113.某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，若這種動(dòng)物第一年繁殖數(shù)量為100只，則到15年繁殖數(shù)量為________只.

解析f(1)＝100，∴a＝100， ∴f(15)＝100log216＝400.

答案4003.某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alo12題型一實(shí)際問題的函數(shù)刻畫【例1】

18世紀(jì)70年代，德國科學(xué)家提丟斯發(fā)現(xiàn)金星、地球、火星、木星、土星離太陽的平均距離(天文單位)如下表：他研究行星排列規(guī)律后預(yù)測在火星與木星之間應(yīng)該有一顆大的行星，后來果然發(fā)現(xiàn)了谷神星，但不算大行星，它可能是一顆大行星爆炸后的產(chǎn)物，請你推測谷神星的位置，在土星外面是什么星？它與太陽的距離大約是多少？行星1(金星)2(地球)3(火星)4(

)5(木星)6(土星)7(

)距離0.71.01.6

5.210.0

題型一實(shí)際問題的函數(shù)刻畫他研究行星排列規(guī)律后預(yù)測在火星與木13解由數(shù)值對應(yīng)表作散點(diǎn)圖如圖.由圖采用指數(shù)型函數(shù)作模型，設(shè)f(x)＝a·bx＋c.解由數(shù)值對應(yīng)表作散點(diǎn)圖如圖.由圖采用指數(shù)型函數(shù)作模型，設(shè)f14(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，∴符合對應(yīng)表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6，所以谷神星大約在離太陽2.8天文單位處.在土星外面是天王星，它與太陽距離大約是19.6天文單位.(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，∴符合對應(yīng)表值，∴15規(guī)律方法建立模擬函數(shù)解應(yīng)用題的一般步驟為：(1)作圖：根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖；(2)選擇函數(shù)模型：根據(jù)散點(diǎn)圖，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象形狀，找出比較接近的函數(shù)模型；(3)求出函數(shù)模型：選出幾組數(shù)據(jù)代入，求出函數(shù)解析式；(4)利用所求得的函數(shù)模型解決問題.規(guī)律方法建立模擬函數(shù)解應(yīng)用題的一般步驟為：16【訓(xùn)練1】某個(gè)體經(jīng)營者把開始六個(gè)月試銷A，B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表：投資A種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.250.490.7611.261.51【訓(xùn)練1】某個(gè)體經(jīng)營者把開始六個(gè)月試銷A，B兩種商品的逐月17解由圖表可知A種商品符合二次函數(shù)模型，B種商品符合一次函數(shù)模型.設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝－a(x－4)2＋2(a>0)；一次函數(shù)的解析式為y＝bx.把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a>0)，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15.故前六個(gè)月所獲純利潤關(guān)于月投資A種商品的金額的函數(shù)關(guān)系可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示.經(jīng)檢驗(yàn)，前六個(gè)月符合所求函數(shù)關(guān)系式.該經(jīng)營者準(zhǔn)備下月投入12萬元經(jīng)營這兩種商品，但不知投資A、B兩種商品各多少才最合算.請你幫助制訂一個(gè)資金投入方案，使得該經(jīng)營者能獲得最大利潤，并按你的方案求出該經(jīng)營者下月可獲得的最大純利潤(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字).解由圖表可知A種商品符合二次函數(shù)模型，B種商品符合一次函數(shù)18把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，故前六個(gè)月所獲純利潤關(guān)于月投資B種商品的金額的函數(shù)關(guān)系可近似地用y＝0.25x表示.經(jīng)檢驗(yàn)，前六個(gè)月符合所求函數(shù)關(guān)系式.令下月投入A，B兩種商品的資金分別為xA萬元、xB萬元，總利潤為W萬元，得W＝y(tǒng)A＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，其中xA＋xB＝12.把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，19即投資A商品3.2萬元，投資B商品8.8萬元時(shí)，下月可獲得的最大純利潤4.1萬元.即投資A商品3.2萬元，投資B商品8.8萬元時(shí)，下月可獲得的20題型二由函數(shù)圖象解決應(yīng)用題【例2】甲、乙兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模(產(chǎn)量)進(jìn)行調(diào)查，提供了兩個(gè)方面的信息如圖所示.

甲調(diào)查表明：每個(gè)甲魚池平均產(chǎn)量從第1年1萬只甲魚上升到第6年2萬只.

乙調(diào)查表明：甲魚池個(gè)數(shù)由第一年30個(gè)減少到第6年10個(gè)，請你根據(jù)提供的信息說明：題型二由函數(shù)圖象解決應(yīng)用題21解(1)由圖可知，直線y甲＝kx＋b，經(jīng)過(1，1)和(6，2).直線y乙＝mx＋n，經(jīng)過(1，30)和(6，10)，可求得k＝0.2，b＝0.8，m＝－4，n＝34，∴y甲＝0.2x＋0.8，y乙＝－4x＋34.故第2年甲魚池的個(gè)數(shù)為26個(gè)，全縣出產(chǎn)甲魚的總數(shù)為26×1.2＝31.2(萬只).(1)第2年甲魚池的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)甲魚總數(shù)；(2)到第6年這個(gè)縣的甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模比第1年是擴(kuò)大了還是縮小了？說明理由；(3)第幾年的養(yǎng)殖規(guī)模最大？最大養(yǎng)殖量是多少？解(1)由圖可知，直線y甲＝kx＋b，經(jīng)過(1，1)和(622(2)規(guī)模縮小，原因是：第一年出產(chǎn)甲魚總數(shù)30萬只，而第6年出產(chǎn)甲魚總數(shù)為20萬只.(3)設(shè)第x年規(guī)模最大，即求＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值.y甲·y乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(萬只)最大.即第二年規(guī)模最大，甲魚產(chǎn)量為31.2萬只.(2)規(guī)?？s小，原因是：第一年出產(chǎn)甲魚總數(shù)30萬只，而第6年23規(guī)律方法在用函數(shù)刻畫實(shí)際問題的過程中，除了用函數(shù)解析式刻畫外，函數(shù)圖象也能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當(dāng)注意提高讀圖的能力.規(guī)律方法在用函數(shù)刻畫實(shí)際問題的過程中，除了用函數(shù)解析式刻畫24【訓(xùn)練2】某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元)與時(shí)間t(t∈N＋)(天)的函數(shù)關(guān)系用如圖的兩條線段表示，該商品在30天內(nèi)日銷售量Q(件)與時(shí)間t(t∈N＋)(天)之間的關(guān)系如下表：t/天5102030Q/件35302010【訓(xùn)練2】某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元)與時(shí)間t25(1)根據(jù)提供的圖象(如圖)，寫出該商品每件的銷售價(jià)格P與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，寫出日銷量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式；(3)求該商品日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天(日銷售金額＝每件的銷售價(jià)格×日銷售量).(1)根據(jù)提供的圖象(如圖)，寫出該商品每件的銷售價(jià)格P與時(shí)26解

(1)由已知可得：(2)日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式為Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋)，(3)由題意解(1)由已知可得：(2)日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)關(guān)系27當(dāng)0<t<25，t＝10時(shí)，ymax＝900，當(dāng)25≤t≤30，t＝25時(shí)，ymax＝(25－70)2－900＝1125.綜上，在第25天時(shí)，該商品日銷售金額的最大值為1125元.當(dāng)0<t<25，t＝10時(shí)，ymax＝900，28題型三利用其他函數(shù)模型解應(yīng)用題【例3】牧場中羊群的最大畜養(yǎng)量為m(只)，為保證羊群的生長空間，實(shí)際畜養(yǎng)量不能達(dá)到最大畜養(yǎng)量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知羊群的年增長量y(只)和實(shí)際畜養(yǎng)量x(只)與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0). (1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域； (2)求羊群年增長量的最大值.題型三利用其他函數(shù)模型解應(yīng)用題29北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章《函數(shù)應(yīng)用》§2《實(shí)際問題中的函數(shù)模型》課件30規(guī)律方法關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，需認(rèn)真讀題，縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，明確問題的實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括，將實(shí)際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.規(guī)律方法關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，需認(rèn)真讀題，縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，明31北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章《函數(shù)應(yīng)用》§2《實(shí)際問題中的函數(shù)模型》課件32解(1)不是.對于函數(shù)模型y＝lg

x＋kx＋5(k為常數(shù))，但x＝50時(shí)，f(50)＝lg50＋6>7.5＝50×15%，即獎(jiǎng)金不超過年產(chǎn)值的15%不成立

，故該函數(shù)模型不符合要求.解(1)不是.但x＝50時(shí)，f(50)＝lg50＋6>733a為正整數(shù)，函數(shù)在[50，500]遞增，f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344.要使f(x)≤0.15x對x∈[50，500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x對x∈[50，500]恒成立，所以a≥315.綜上所述，315≤a≤344，所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為315.a為正整數(shù)，函數(shù)在[50，500]遞增，f(x)min＝f(34一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.函數(shù)模型的應(yīng)用主要包括三個(gè)方面： (1)利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題， (2)建立確定性的函數(shù)模型解決實(shí)際問題， (3)建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題.一、素養(yǎng)落地35二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況.注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程.在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為(

)A.6升 B.8升 C.10升 D.12升加油時(shí)間加油量(升)加油時(shí)的累計(jì)里程(千米)2018年5月1日12350002018年5月15日4835600二、素養(yǎng)訓(xùn)練注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程.36解析由表知：汽車行駛路程為35600－35000＝600(千米)，耗油量為48升，∴每100千米耗油量8升.答案B解析由表知：汽車行駛路程為35600－35000＝60372.如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型為(

)A.一次函數(shù)模型 B.二次函數(shù)模型C.指數(shù)函數(shù)模型 D.對數(shù)函數(shù)模型解析

隨著自變量每增加1，函數(shù)值增加2，函數(shù)值的增量是均勻的，故函數(shù)模型為一次函數(shù)模型.故選A.答案

Ax45678910y151719212325272.如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能383.國家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法是不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11.2%納稅.已知某人出版一本書共納稅420元，則這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為________元.令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3800，令0.112x＝420，得x＝3750(舍去).故這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)3800元.答案38003.國家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法是不超過800元的不納稅；超過8394.某商店進(jìn)貨單價(jià)為45元，若按50元一個(gè)銷售，能賣出50個(gè)；若銷售單價(jià)每漲1元銷售量就減少2個(gè)，為了獲得最大利潤，此商品最佳售價(jià)應(yīng)為每個(gè)________元.解析設(shè)漲價(jià)x元時(shí)，獲得利潤為y元，y＝(5＋x)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250，∴x＝10時(shí)，y取最大值，此時(shí)售價(jià)為60元.答案604.某商店進(jìn)貨單價(jià)為45元，若按50元一個(gè)銷售，能賣出50個(gè)402.2用函數(shù)模型解決實(shí)際問題2.2用函數(shù)模型解決實(shí)際問題41課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題.2.能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)模型的作用，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題.通過本節(jié)42新知探究隨著經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的發(fā)展，汽車已逐步成為人們外出的代步工具.下面是某地一汽車銷售公司對近三年的汽車銷售量的統(tǒng)計(jì)表：年份201520162017銷量/萬輛81830新知探究隨著經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的發(fā)展，汽車已逐步成為人們外出的代步工43問題1.在實(shí)際生產(chǎn)生活中，對已收集到的樣本數(shù)據(jù)常采用什么方式獲取信息？2.如果我們分別將2015，2016，2017，2018年定義為第一、二、三、四年，現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)模型：二次函數(shù)型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)函數(shù)型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b≠1，b>0)，哪個(gè)模型能更好地反映該公司年銷量y與第x年的關(guān)系？3.依照目前的形勢分析，你能預(yù)測一下2019年該公司預(yù)銷售多少輛汽車嗎？結(jié)合以上三年的銷量及人們生活的需要，2018年初，該汽車銷售公司的經(jīng)理提出全年預(yù)售43萬輛汽車的遠(yuǎn)大目標(biāo)，經(jīng)過全體員工的共同努力，2018年實(shí)際銷售44萬輛，圓滿完成銷售目標(biāo).問題1.在實(shí)際生產(chǎn)生活中，對已收集到的樣本數(shù)據(jù)常采用什么方44提示1.建立函數(shù)模型.2.f(x)＝ax2＋bx＋c能更好地反映該公司年銷量y與年份x的關(guān)系.3.60萬.提示1.建立函數(shù)模型.451.數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是針對或參照某種事物的主要特征、主要關(guān)系，用形式化的數(shù)學(xué)語言，抽象概括地、簡化近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其中，函數(shù)模型是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)模型之一.1.數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是針對或參照某種事物的主要特征、主要關(guān)系462.解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟利用函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問題時(shí)，一般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原.這些步驟用框圖表示如圖：2.解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟利用函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問題47×√√×√√484.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，…，現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是y＝2x.(

)

提示1.冪函數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)不確定，增長幅度不能比較.4.分裂一次由2個(gè)變成2×2＝22(個(gè))，分裂兩次后4×2＝23(個(gè))，…，所以分裂x次后y＝2x＋1(個(gè)).×4.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，…，現(xiàn)49[微訓(xùn)練]1.一家旅社有100間相同的客房，經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營實(shí)踐，旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價(jià)格與住房率之間有如下關(guān)系：要使收入每天達(dá)到最高，則每間應(yīng)定價(jià)為(

)A.20元 B.18元C.16元 D.14元每間每天定價(jià)20元18元16元14元住房率65%75%85%95%[微訓(xùn)練]要使收入每天達(dá)到最高，則每間應(yīng)定價(jià)為()每間每50解析每天的收入在四種情況下分別為20×65%×100＝1300(元)，18×75%×100＝1350(元)，16×85%×100＝1360(元)，14×95%×100＝1330(元).答案C解析每天的收入在四種情況下分別為20×65%×100＝151解析若4x＝60，則x＝15>10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若1.5x＝60，則x＝40<100，不合題意.故擬錄用25人.答案C解析若4x＝60，則x＝15>10，不合題意；若2x＋1052題型一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型【例1】商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數(shù)是羊毛衫標(biāo)價(jià)的一次函數(shù)，標(biāo)價(jià)越高，購買人數(shù)越少.把購買人數(shù)為零時(shí)的最低標(biāo)價(jià)稱為“無效價(jià)格”，已知無效價(jià)格為每件300元.現(xiàn)在這種羊毛衫的成本價(jià)是100元/件，商場以高于成本價(jià)的價(jià)格(標(biāo)價(jià))出售.問： (1)商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元？ (2)通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結(jié)果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件多少元？題型一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型53解(1)設(shè)購買人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤為y元，則x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300).∴利潤y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100，300])，∵k<0，∴x＝200時(shí)，ymax＝－10000k，即商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件200元.(2)由題意得k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商場要獲取最大利潤的75%，每件標(biāo)價(jià)為250元或150元.解(1)設(shè)購買人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤為y54規(guī)律方法利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)(1)方法：根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法及利用函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題.(2)注意：取得最值時(shí)的自變量與實(shí)際意義是否相符.規(guī)律方法利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)55【訓(xùn)練1】為了發(fā)展電信事業(yè)，方便用戶，電信公司對移動(dòng)電話采用不同的收費(fèi)方式，其中所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天)的通話時(shí)間x(分)與通話費(fèi)用y(元)的關(guān)系如圖所示.(1)分別求出通話費(fèi)用y1，y2與通話時(shí)間x之間的函數(shù)解析式；(2)請幫助用戶計(jì)算在一個(gè)月內(nèi)使用哪種卡便宜.【訓(xùn)練1】為了發(fā)展電信事業(yè)，方便用戶，電信公司對移動(dòng)電話采56北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章《函數(shù)應(yīng)用》§2《實(shí)際問題中的函數(shù)模型》課件57北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章《函數(shù)應(yīng)用》§2《實(shí)際問題中的函數(shù)模型》課件58解(1)由已知，由價(jià)格乘以銷售量可得：解(1)由已知，由價(jià)格乘以銷售量可得：59(2)由(1)知①當(dāng)0≤t≤10時(shí)，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為t＝5，該函數(shù)在t∈[0，5]上遞增，在t∈(5，10]上遞減，∴ymax＝1225(當(dāng)t＝5時(shí)取得)，ymin＝1200(當(dāng)t＝0或10時(shí)取得)；②當(dāng)10<t≤20時(shí)，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，圖象開口向上，對稱軸為t＝45，該函數(shù)在t∈(10，20]上遞減，∴ymax＝1200(當(dāng)t＝10時(shí)取得)，ymin＝600(當(dāng)t＝20時(shí)取得).由①②知ymax＝1225(當(dāng)t＝5時(shí)取得)，ymin＝600(當(dāng)t＝20時(shí)取得).(2)由(1)知①當(dāng)0≤t≤10時(shí)，y＝－t2＋10t＋160規(guī)律方法應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?yīng)每一段自變量取值范圍的并集.(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.規(guī)律方法應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)61北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章《函數(shù)應(yīng)用》§2《實(shí)際問題中的函數(shù)模型》課件62解(1)當(dāng)0<x<40時(shí)，L(x)＝5×100x－10x2－100x－2500＝－10x2＋400x－2500；當(dāng)x≥40時(shí)，解(1)當(dāng)0<x<40時(shí)，63(2)當(dāng)0<x<40時(shí)，L(x)＝－10(x－20)2＋1500，∴當(dāng)x＝20時(shí)，L(x)max＝L(20)＝1500；∴當(dāng)x＝100時(shí)，即2018年生產(chǎn)100百輛時(shí)，該企業(yè)獲得利潤最大，且最大利潤為1800萬元.(2)當(dāng)0<x<40時(shí)，L(x)＝－10(x－20)2＋164題型三指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)模型【例3】已知某城市2017年底的人口總數(shù)為200萬，假設(shè)此后該城市人口的年增長率為1%(不考慮其他因素). (1)若經(jīng)過x年該市人口總數(shù)為y萬，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)如果該城市人口總數(shù)達(dá)到210萬，那么至少需要經(jīng)過多少年(精確到1年)?解(1)y＝200(1＋1%)x，x∈N＋.(2)令y≥210，即200(1＋1%)x≥210，解得x≥log1.011.05≈5.答：至少需要經(jīng)過5年該城市人口總數(shù)達(dá)到210萬.題型三指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)模型解(1)y＝200(1＋65規(guī)律方法指數(shù)型函數(shù)模型：y＝max＋b(a>0且a≠1，m≠0)，在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示.對數(shù)型函數(shù)模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，對數(shù)型函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式，然后利用對數(shù)的運(yùn)算求解.規(guī)律方法指數(shù)型函數(shù)模型：y＝max＋b(a>0且a≠1，m66即至少要過濾8次才能達(dá)到市場要求.即至少要過濾8次才能達(dá)到市場要求.67一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).2.在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，要充分使用數(shù)學(xué)語言，如引入字母，列表，畫圖等使實(shí)際問題數(shù)學(xué)符號(hào)化.3.根據(jù)收集數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，通過建立函數(shù)模型，從而解決問題.一、素養(yǎng)落地68二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.某商場在銷售空調(diào)旺季的4天內(nèi)的利潤如下表所示.現(xiàn)構(gòu)建一個(gè)銷售這種空調(diào)的函數(shù)模型，應(yīng)是下列函數(shù)中的(

)A.y＝log2x B.y＝2x C.y＝x2 D.y＝2x解析逐個(gè)檢驗(yàn)可得答案為B.答案B時(shí)間1234利潤(千元)23.988.0115.99二、素養(yǎng)訓(xùn)練現(xiàn)構(gòu)建一個(gè)銷售這種空調(diào)的函數(shù)模型，應(yīng)是下列函數(shù)中692.一輛勻速行駛的汽車90min行駛的路程為180km，則這輛汽車行駛的路程y(km)與時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式是(

)

A.y＝2t

B.y＝120t

C.y＝2t(t≥0) D.y＝120t(t≥0)

解析

90min＝1.5h，所以汽車的速度為180÷1.5＝120km/h，則路程y(km)與時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝120t(t≥0).

答案D2.一輛勻速行駛的汽車90min行駛的路程為180km，703.某商人將彩電先按原價(jià)提高40%，然后在廣告上寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠”結(jié)果是每臺(tái)彩電比原價(jià)多賺了270元，則每臺(tái)彩電的原價(jià)為________元.

解析設(shè)彩電的原價(jià)為a，∵a(1＋0.4)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2250. ∴每臺(tái)彩電的原價(jià)為2250元.

答案

22503.某商人將彩電先按原價(jià)提高40%，然后在廣告上寫上“大酬賓714.2008年我國人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%，則________年我國人口將超過20億(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451).答案20374.2008年我國人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長率控72『1.上課認(rèn)真聽講，理解透徹』這都是老師家長說爛了的東西，確實(shí)重要。與其他科目不同的是，數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)知識(shí)與邏輯的遷移與轉(zhuǎn)化。所以，對于數(shù)學(xué)知識(shí)根本不需要去死記硬背，能理解，會(huì)推導(dǎo)即可。如何學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)？『1.上課認(rèn)真聽講，理解透徹』如何學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)？73『2.積極解決難題與錯(cuò)題』在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，肯定會(huì)遇到我們毫無頭緒或一知半解的題目。千萬不要嫌麻煩，多向老師、同學(xué)請教，向老師請教也能給老師留下好印象。不要放過每道不會(huì)的題，要學(xué)會(huì)在問題中尋找知識(shí)?！?.積極解決難題與錯(cuò)題』74『3.認(rèn)真反思錯(cuò)題』并不是簡單的想想自己為什么錯(cuò)，留下沒有思路、計(jì)算錯(cuò)誤、邏輯不清的字眼，應(yīng)該仔細(xì)分析思路結(jié)果與已知條件的關(guān)系（敲重點(diǎn)?。τ趲缀屋o助線（一個(gè)大難點(diǎn)吧），要建立起常規(guī)思路。比如說，已知中點(diǎn)有哪些可能性來應(yīng)用，是用三線合一連接，是用斜中半連接，還是倍長中線延長，亦或是建立平行得中位線等等。從多條件的共同指向和所求問題聯(lián)合思考。下一次怎么做？能得到什么啟示？這是更重要的?！?.認(rèn)真反思錯(cuò)題』75『4.堅(jiān)持練習(xí)題目』“練習(xí)”并不一定是“刷題”。有針對性、有效率地練習(xí)，才是最有效的。題最好堅(jiān)持每天，或者兩天一次做，抽一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)間，堅(jiān)持按一定頻率做少量題，也是對你很有幫助的。做題并不是刻意地要去押到題或者短時(shí)間內(nèi)突擊提高，更多的是學(xué)習(xí)思路，打開思維?！?.堅(jiān)持練習(xí)題目』76『5.善于總結(jié)巧記』跟3比較類似，總結(jié)其實(shí)就是從問題中找規(guī)律。此外，一些方法、技巧，在總結(jié)的基礎(chǔ)上，可以通過編口訣（自己懂的語言就好）、調(diào)動(dòng)想象與情感等方式來記憶。個(gè)人認(rèn)為數(shù)學(xué)在理解的基礎(chǔ)上記方法和技巧還是很重要的（方法其實(shí)與1類似）。同時(shí)技巧也是在不斷嘗試中習(xí)得的?！?.善于總結(jié)巧記』77§2實(shí)際問題中的函數(shù)模型2.1實(shí)際問題的函數(shù)刻畫§2實(shí)際問題中的函數(shù)模型78課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要工具.2.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.3.比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”、“直線上升”、“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí)含義.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)常見函數(shù)的變化異同，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)79新知探究澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”：1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子的數(shù)量在不到100年內(nèi)達(dá)到75億只，喂養(yǎng)牛羊的牧草幾乎被兔子們吃光，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣.兔子為什么會(huì)如此快地從幾只增長到75億只呢？原來在理想的環(huán)境中，種群數(shù)量呈指數(shù)增長；在有限制的環(huán)境中，種群數(shù)量的增長為對數(shù)增長.新知探究澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”：1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳80問題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時(shí)增長快慢有什么規(guī)律？提示都是增函數(shù)，而y＝ax(a>1)時(shí)增長速度越來越快；y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上增長速度非常緩慢.問題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時(shí)增長快慢有什么規(guī)律？811.在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，當(dāng)面對的實(shí)際問題中存在幾個(gè)變量，并且它們之間具有依賴關(guān)系時(shí)，我們往往用函數(shù)對其進(jìn)行刻畫，函數(shù)刻畫的方法可以使用圖象，但常見的還是使用解析式.1.在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，當(dāng)面對的實(shí)際問題822.常見的函數(shù)模型2.常見的函數(shù)模型83北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章《函數(shù)應(yīng)用》§2《實(shí)際問題中的函數(shù)模型》課件84拓展深化[微判斷]判斷下列說法的正誤.1.某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲利.(

)2.某種產(chǎn)品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價(jià)120元，則每天可售出20件，如果售出件數(shù)是定價(jià)的一次函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)解析式為y＝－4x＋200.(

)××拓展深化××853.在函數(shù)建模中，散點(diǎn)圖可以幫助我們選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.(

)提示1.100×(1＋10%)×0.9－100＝－1.√3.在函數(shù)建模中，散點(diǎn)圖可以幫助我們選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.(86[微訓(xùn)練]1.某人從2015年1月1日到銀行存入a元，若年利率為x，按復(fù)利計(jì)算，則2020年1月1日到期時(shí)可取款________元(

)

A.a(1＋x)5

B.a(1＋x)6

C.a＋(1＋x)5

D.a(1＋x5)

答案A[微訓(xùn)練]872.某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入運(yùn)營，據(jù)市場分析，每輛客車營運(yùn)的利潤y與營運(yùn)年數(shù)x(x∈N)為二次函數(shù)關(guān)系，則客車有營運(yùn)利潤的時(shí)間不超過(

)A.4年

B.5年

C.6年

D.7年答案D2.某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入運(yùn)營，據(jù)市場分析，883.某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，若這種動(dòng)物第一年繁殖數(shù)量為100只，則到15年繁殖數(shù)量為________只.

解析f(1)＝100，∴a＝100， ∴f(15)＝100log216＝400.

答案4003.某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alo89題型一實(shí)際問題的函數(shù)刻畫【例1】

18世紀(jì)70年代，德國科學(xué)家提丟斯發(fā)現(xiàn)金星、地球、火星、木星、土星離太陽的平均距離(天文單位)如下表：他研究行星排列規(guī)律后預(yù)測在火星與木星之間應(yīng)該有一顆大的行星，后來果然發(fā)現(xiàn)了谷神星，但不算大行星，它可能是一顆大行星爆炸后的產(chǎn)物，請你推測谷神星的位置，在土星外面是什么星？它與太陽的距離大約是多少？行星1(金星)2(地球)3(火星)4(

)5(木星)6(土星)7(

)距離0.71.01.6

5.210.0

題型一實(shí)際問題的函數(shù)刻畫他研究行星排列規(guī)律后預(yù)測在火星與木90解由數(shù)值對應(yīng)表作散點(diǎn)圖如圖.由圖采用指數(shù)型函數(shù)作模型，設(shè)f(x)＝a·bx＋c.解由數(shù)值對應(yīng)表作散點(diǎn)圖如圖.由圖采用指數(shù)型函數(shù)作模型，設(shè)f91(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，∴符合對應(yīng)表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6，所以谷神星大約在離太陽2.8天文單位處.在土星外面是天王星，它與太陽距離大約是19.6天文單位.(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，∴符合對應(yīng)表值，∴92規(guī)律方法建立模擬函數(shù)解應(yīng)用題的一般步驟為：(1)作圖：根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖；(2)選擇函數(shù)模型：根據(jù)散點(diǎn)圖，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象形狀，找出比較接近的函數(shù)模型；(3)求出函數(shù)模型：選出幾組數(shù)據(jù)代入，求出函數(shù)解析式；(4)利用所求得的函數(shù)模型解決問題.規(guī)律方法建立模擬函數(shù)解應(yīng)用題的一般步驟為：93【訓(xùn)練1】某個(gè)體經(jīng)營者把開始六個(gè)月試銷A，B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表：投資A種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.250.490.7611.261.51【訓(xùn)練1】某個(gè)體經(jīng)營者把開始六個(gè)月試銷A，B兩種商品的逐月94解由圖表可知A種商品符合二次函數(shù)模型，B種商品符合一次函數(shù)模型.設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝－a(x－4)2＋2(a>0)；一次函數(shù)的解析式為y＝bx.把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a>0)，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15.故前六個(gè)月所獲純利潤關(guān)于月投資A種商品的金額的函數(shù)關(guān)系可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示.經(jīng)檢驗(yàn)，前六個(gè)月符合所求函數(shù)關(guān)系式.該經(jīng)營者準(zhǔn)備下月投入12萬元經(jīng)營這兩種商品，但不知投資A、B兩種商品各多少才最合算.請你幫助制訂一個(gè)資金投入方案，使得該經(jīng)營者能獲得最大利潤，并按你的方案求出該經(jīng)營者下月可獲得的最大純利潤(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字).解由圖表可知A種商品符合二次函數(shù)模型，B種商品符合一次函數(shù)95把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，故前六個(gè)月所獲純利潤關(guān)于月投資B種商品的金額的函數(shù)關(guān)系可近似地用y＝0.25x表示.經(jīng)檢驗(yàn)，前六個(gè)月符合所求函數(shù)關(guān)系式.令下月投入A，B兩種商品的資金分別為xA萬元、xB萬元，總利潤為W萬元，得W＝y(tǒng)A＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，其中xA＋xB＝12.把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，96即投資A商品3.2萬元，投資B商品8.8萬元時(shí)，下月可獲得的最大純利潤4.1萬元.即投資A商品3.2萬元，投資B商品8.8萬元時(shí)，下月可獲得的97題型二由函數(shù)圖象解決應(yīng)用題【例2】甲、乙兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模(產(chǎn)量)進(jìn)行調(diào)查，提供了兩個(gè)方面的信息如圖所示.

甲調(diào)查表明：每個(gè)甲魚池平均產(chǎn)量從第1年1萬只甲魚上升到第6年2萬只.

乙調(diào)查表明：甲魚池個(gè)數(shù)由第一年30個(gè)減少到第6年10個(gè)，請你根據(jù)提供的信息說明：題型二由函數(shù)圖象解決應(yīng)用題98解(1)由圖可知，直線y甲＝kx＋b，經(jīng)過(1，1)和(6，2).直線y乙＝mx＋n，經(jīng)過(1，30)和(6，10)，可求得k＝0.2，b＝0.8，m＝－4，n＝34，∴y甲＝0.2x＋0.8，y乙＝－4x＋34.故第2年甲魚池的個(gè)數(shù)為26個(gè)，全縣出產(chǎn)甲魚的總數(shù)為26×1.2＝31.2(萬只).(1)第2年甲魚池的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)甲魚總數(shù)；(2)到第6年這個(gè)縣的甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模比第1年是擴(kuò)大了還是縮小了？說明理由；(3)第幾年的養(yǎng)殖規(guī)模最大？最大養(yǎng)殖量是多少？解(1)由圖可知，直線y甲＝kx＋b，經(jīng)過(1，1)和(699(2)規(guī)模縮小，原因是：第一年出產(chǎn)甲魚總數(shù)30萬只，而第6年出產(chǎn)甲魚總數(shù)為20萬只.(3)設(shè)第x年規(guī)模最大，即求＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值.y甲·y乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(萬只)最大.即第二年規(guī)模最大，甲魚產(chǎn)量為31.2萬只.(2)規(guī)?？s小，原因是：第一年出產(chǎn)甲魚總數(shù)30萬只，而第6年100規(guī)律方法在用函數(shù)刻畫實(shí)際問題的過程中，除了用函數(shù)解析式刻畫外，函數(shù)圖象也能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當(dāng)注意提高讀圖的能力.規(guī)律方法在用函數(shù)刻畫實(shí)際問題的過程中，除了用函數(shù)解析式刻畫101【訓(xùn)練2】某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元)與時(shí)間t(t∈N＋)(天)的函數(shù)關(guān)系用如圖的兩條線段表示，該商品在30天內(nèi)日銷售量Q(件)與時(shí)間t(t∈N＋)(天)之間的關(guān)系如下表：t/天5102030Q/件35302010【訓(xùn)練2】某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元)與時(shí)間t102(1)根據(jù)提供的圖象(如圖)，寫出該商品每件的銷售價(jià)格P與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，寫出日銷量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式；(3)求該商品日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天(日銷售金額＝每件的銷售價(jià)格×日銷售量).(1)根據(jù)提供的圖象(如圖)，寫出該商品每件的銷售價(jià)格P與時(shí)103解

(1)由已知可得：(2)日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式為Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋)，(3)由題意解(1)由已知可得：(2)日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)關(guān)系104當(dāng)0<t<25，t＝10時(shí)，ymax＝900，當(dāng)25≤t≤30，t＝25時(shí)，ymax＝(25－70)2－900＝1125.綜上，在第25天時(shí)，該商品日銷售金額的最大值為1125元.當(dāng)0<t<25，t＝10時(shí)，ymax＝900，105題型三利用其他函數(shù)模型解應(yīng)用題【例3】牧場中羊群的最大畜養(yǎng)量為m(只)，為保證羊群的生長空間，實(shí)際畜養(yǎng)量不能達(dá)到最大畜養(yǎng)量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知羊群的年增長量y(只)和實(shí)際畜養(yǎng)量x(只)與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0). (1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域； (2)求羊群年增長量的最大值.題型三利用其他函數(shù)模型解應(yīng)用題106北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章《函數(shù)應(yīng)用》§2《實(shí)際問題中的函數(shù)模型》課件107規(guī)律方法關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，需認(rèn)真讀題，縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，明確問題的實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括，將實(shí)際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.規(guī)律方法關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，需認(rèn)真讀題，縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，明108北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章《函數(shù)應(yīng)用》§2《實(shí)際問題中的函數(shù)模型》課件109解(1)不是.對于函數(shù)模型y＝lg

x＋kx＋5(k為常數(shù))，但x＝50時(shí)，f(50)＝lg50＋6>7.5＝50×15%，即獎(jiǎng)金不超過年產(chǎn)值的15%不成立

，故該函數(shù)模型不符合要求.解(1)不是.但x＝50時(shí)，f(50)＝lg50＋6>7110a為正整數(shù)，函數(shù)在[50，500]遞增，f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344.要使f(x)≤0.15x對x∈[50，500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x對x∈[50，500]恒成立，所以a≥315.綜上所述，315≤a≤344，所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為315.a為正整數(shù)，函數(shù)在[50，500]遞增，f(x)min＝f(111一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.函數(shù)模型的應(yīng)用主要包括三個(gè)方面： (1)利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題， (2)建立確定性的函數(shù)模型解決實(shí)際問題， (3)建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題.一、素養(yǎng)落地112二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況.注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程.在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為(

)A.6升 B.8升 C.10升 D.12升加油時(shí)間加油量(升)加油時(shí)的累計(jì)里程(千米)2018年5月1日12350002018年5月15日4835600二、素養(yǎng)訓(xùn)練注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程.113解析由表知：汽車行駛路程為35600－35000＝600(千米)，耗油量為48升，∴每100千米耗油量8升.答案B解析由表知：汽車行駛路程為35600－35000＝601142.如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型為(

)A.一次函數(shù)模型 B.二次函數(shù)模型C.指數(shù)函數(shù)模型 D.對數(shù)函數(shù)模型解析

隨著自變量每增加1，函數(shù)值增加2，函數(shù)值的增量是均勻的，故函數(shù)模型為一次函數(shù)模型.故選A.答案

Ax45678910y151719212325272.如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能1153.國家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法是不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11.2%納稅.已知某人出版一本書共納稅420元，則這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為________元.令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3800，令0.112x＝420，得x＝3750(舍去).故這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)3800元.答案38003.國家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法是不超過800元的不納稅；超過81164.某商店進(jìn)貨單價(jià)為45元，若按50元一個(gè)銷售，能賣出50個(gè)；若銷售單價(jià)每漲1元銷售量就減少2個(gè)，為了獲得最大利潤，此商品最佳售價(jià)應(yīng)為每個(gè)________元.解析設(shè)漲價(jià)x元時(shí)，獲得利潤為y元，y＝(5＋x)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250，∴x＝10時(shí)，y取最大值，此時(shí)售價(jià)為60元.答案604.某商店進(jìn)貨單價(jià)為45元，若按50元一個(gè)銷售，能賣出50個(gè)1172.2用函數(shù)模型解決實(shí)際問題2.2用函數(shù)模型解決實(shí)際問題118課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題.2.能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)模型的作用，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題.通過本節(jié)119新知探究隨著經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的發(fā)展，汽車已逐步成為人們外出的代步工具.下面是某地一汽車銷售公司對近三年的汽車銷售量的統(tǒng)計(jì)表：年份201520162017銷量/萬輛81830新知探究隨著經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的發(fā)展，汽車已逐步成為人們外出的代步工120問題1.在實(shí)際生產(chǎn)生活中，對已收集到的樣本數(shù)據(jù)常采用什么方式獲取信息？2.如果我們分別將2015，2016，2017，2018年定義為第一、二、三、四年，現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)模型：二次函數(shù)型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)函數(shù)型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b≠1，b>0)，哪個(gè)模型能更好地反映該公司年銷量y與第x年的關(guān)系？3.依照目前的形勢分析，你能預(yù)測一下2019年該公司預(yù)銷售多少輛汽車嗎？結(jié)合以上三年的銷量及人們生活的需要，2018年初，該汽車銷售公司的經(jīng)理提出全年預(yù)售43萬輛汽車的遠(yuǎn)大目標(biāo)，經(jīng)過全體員工的共同努力，2018年實(shí)際銷售44萬輛，圓滿完成銷售目標(biāo).問題1.在實(shí)際生產(chǎn)生活中，對已收集到的樣本數(shù)據(jù)常采用什么方121提示1.建立函數(shù)模型.2.f(x)＝ax2＋bx＋c能更好地反映該公司年銷量y與年份x的關(guān)系.3.60萬.提示1.建立函數(shù)模型.1221.數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是針對或參照某種事物的主要特征、主要關(guān)系，用形式化的數(shù)學(xué)語言，抽象概括地、簡化近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其中，函數(shù)模型是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)模型之一.1.數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是針對或參照某種事物的主要特征、主要關(guān)系1232.解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟利用函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問題時(shí)，一般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原.這些步驟用框圖表示如圖：2.解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟利用函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問題124×√√×√√1254.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，…，現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是y＝2x.(

)

提示1.冪函數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)不確定，增長幅度不能比較.4.分裂一次由2個(gè)變成2×2＝22(個(gè))，分裂兩次后4×2＝23(個(gè))，…，所以分裂x次后y＝2x＋1(個(gè)).×4.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，…，現(xiàn)126[微訓(xùn)練]1.一家旅社有100間相同的客房，經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營實(shí)踐，旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價(jià)格與住房率之間有如下關(guān)系：要使收入每天達(dá)到最高，則每間應(yīng)定價(jià)為(

)A.20元 B.18元C.16元 D.14元每間每天定價(jià)20元18元16元14元住房率65%75%85%95%[微訓(xùn)練]要使收入每天達(dá)到最高，則每間應(yīng)定價(jià)為()每間每127解析每天的收入在四種情況下分別為20×65%×100＝1300(元)，18×75%×100＝1350(元)，16×85%×100＝1360(元)，14×95%×100＝1330(元).答案C解析每天的收入在四種情況下分別為20×65%×100＝1128解析若4x＝60，則x＝15>10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若1.5x＝60，則x＝40<100，不合題意.故擬錄用25人.答案C解析若4x＝60，則x＝15>10，不合題意；若2x＋10129題型一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型【例1】商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數(shù)是羊毛衫標(biāo)價(jià)的一次函數(shù)，標(biāo)價(jià)越高，購買人數(shù)越少.把購買人數(shù)為零時(shí)的最低標(biāo)價(jià)稱為“無效價(jià)格”，已知無效價(jià)格為每件300元.現(xiàn)在這種羊毛衫的成本價(jià)是100元/件，商場以高于成本價(jià)的價(jià)格(標(biāo)價(jià))出售.問： (1)商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元？ (2)通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結(jié)果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件多少元？題型一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型130解(1)設(shè)購買人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤為y元，則x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300).∴利潤y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100，300])，∵k<0，∴x＝200時(shí)，ymax＝－10000k，即商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件200元.(2)由題意得k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商場要獲取最大利潤的75%，每件標(biāo)價(jià)為250元或150元.解(1)設(shè)購買人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤為y131規(guī)律方法利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)(1)方法：根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法及利用函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題.(2)注意：取得最值時(shí)的自變量與實(shí)際意義是否相符.規(guī)律方法利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)132【訓(xùn)練1】為了發(fā)展電信事業(yè)，方便用戶，電信公司對移動(dòng)電話采用不同的收費(fèi)方式，其中所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天)的通話時(shí)間x(分)與通話費(fèi)用y(元)的關(guān)系如圖所示.(1)分別求出通話費(fèi)用y1，y2與通話時(shí)間x之間的函數(shù)解析式；(2)請幫助用戶計(jì)算在一個(gè)月內(nèi)使用哪種卡便宜.【訓(xùn)練1】為了發(fā)展電信事業(yè)，方便用戶，電信公司對移動(dòng)電話采133北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章《函數(shù)應(yīng)用》§2《實(shí)際問題中的函數(shù)模型》課件134北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章《函數(shù)應(yīng)用》§2《實(shí)際問題中的函數(shù)模型》課件135解(1)由已知，由價(jià)格乘以銷售量可得：解(1)由已知，由價(jià)格乘以銷售量可得：136(2)由(1)知①當(dāng)0≤t≤10時(shí)，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為t＝5，該函數(shù)在t∈[0，5]上遞增，在t∈(5，10]上遞減，∴ymax＝1225(當(dāng)t＝5時(shí)取得)，ymin＝1200(當(dāng)t＝0或10時(shí)取得)；②當(dāng)10<t≤20時(shí)，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，圖象開口向上，對稱軸為t＝45，該函數(shù)在t∈(10，20]上遞減，∴ymax＝1200(當(dāng)t＝10時(shí)取得)，ymin＝600(當(dāng)t＝20時(shí)取得).由①②知ymax＝1225(當(dāng)t＝5時(shí)取得)，ymin＝600(當(dāng)t＝20時(shí)取得).(2)由(1)知①當(dāng)0≤t≤10時(shí)，y＝－t2＋10t＋1137規(guī)律方法應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?yīng)每一段自變量取值范圍的并集.(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.規(guī)律方法應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)138北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章《函數(shù)應(yīng)用》§2《實(shí)際問題中的函數(shù)模型》課件139解(1)當(dāng)0<x<4