立體幾何中點到直線的距離、點到平面的距離的計算專題學(xué)案匯編

立體幾何中點到直線的距離、點到平面的距離的計算班級：姓名：小組：【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解立體幾何中點到直線的距離、點到平面的距離的概念.掌握各種距離的計算方法.【重點、難點】重點：點到直線、點到平面距離公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.難點：把空間距離轉(zhuǎn)化為向量知識求解.【學(xué)法指導(dǎo)】空間距離包括：點到點、點到線、點到面、線到線、線到面、面到面之間的距離其中以點到面的距離最為重要，其他距離，如線到面、面到面的距離均可轉(zhuǎn)化為點到面的距離，用向量法來求解。【預(yù)習(xí)感知】兩點間的距離的求

法.設(shè)a=(a.,a2,a3)，^U|a|=,若A(Xj,y1,Z1),B(x2,y2,z2),貝SdAB=IAB|=,答案：pa1+a2+a；p(x.—X2f+(y—+(旨一zf點到直線距離的求法設(shè)I是過點P平行于向量s的直線，A是直線I外定點.作AA'±I,垂足為A',則點A到直線I的距離d等于線段AA'的長度，而向量PA在s上的投影的大小|PAso|等于線段PA的長度，所以根據(jù)勾股定理有點A到直線I的距離d=d=；|PA|2-|PASQ|2.點到平面的距離的求法設(shè)n是過點P垂直于向量n的平面，A是平面n外一定點.作AA'±n,垂足為a，則點A到平面n的距離d等于線段AA'的長度，而向量PA在n上的投影的大小|PAn°|等于線段AA'的長度，所以點A到平面n的距離d=d=|PAno|?【預(yù)習(xí)檢測】1.已知直線I過定點A(2,3,1),且方向向量為n=(0,1,1),則點P(4,3,2)到l的距人以B.才C.今D.2離為()~>n—1【解PA=(—2,0,—1),|PA|=?5,PAR|=.‘2，則點P到直線I的距離d=PA|2-叫制26—=【答案】A圖2—6—42.如圖2—6—4所示，正方體ABCD—A1B1CQ1的棱長為1,0是底面A1B1CQ1的中心，貿(mào)so到屆面ABC1D1的距離是（【解析】建立如圖所示坐標(biāo)系，則D(0,0,0),A.(i,0,i),0(2Ji),則DAi=(i,0,i),—iiAiO=(—2,2,0),由題意知DAi為122平面ABCiDi的法向量，=2_4二0到平面ABCiDi的距離為“IDAAQ|d=-二|DAi|【答案】B3.已知長方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=6,BC=4,BBi=3,則點Bi到平面AiBCi的距離為.【解析】【解析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，貝SAi(4,0,3),Bi(4,6,3),B(4,6,0),Ci(0,6,3),AiCi=(—4,6,0),AiB=(0,6,—3),BCi=(—4,0,3),AiBi=(0,6,0),

IA1B1n[_1A/29InA1C1=0,設(shè)平面棉的法向量為n=(x,y,z)油一nA1B=0,24解=(1,2，g)?【答【自主探究】122929【答【自主探究】122929求點到直線的距離如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD-ABCD,AB=1,BC=1,AA=2,求點B到直線AC的距離.［分析］可利用坐標(biāo)向量法求出點B到直線A'C的距離.［解析］畫出空間直角坐標(biāo)系如圖,因為AB=1,BC=1,AA'=2,所以A(0,0,2),C(1,1,0),B(1,0.0).計算直線AC的方向向量AC=(1,1,—2);找到直線AC上一點C(1,1,0)；求點B(1,0,0)到直線AC上一點C(1,1,0)的向量BC=(0,1,0)；BC在aC上的投影為BCI=(0/農(nóng)°J1'1,-2吒;12+12+-22|A'C|所以點B到|A'C|"2"A'C21530IBc|2-|Bc「J、/1-6=6二爺.|A'C|點面距已知正方形ABCD的邊長為4,E、F分別是AB、AD的中點，GC上平面且|GC|=2,ABCD,求點B到平面EFG的距離.［分析］在用向量方法求證垂直問題或求距離時，可以建立空間直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運算求解，也可直接通過向量運算進(jìn)行求解.還可利用等積法求解.［解析］解法一：（轉(zhuǎn)化法）連接AC,BD交于點。，設(shè)AC與EF交于H,連接GH,VE>F分別為AB.AD的中點，二EF//BD.?/BDG平面GEF,二BD//平面GEF-…點B到平面EFG的距離即為點0到平面EFG的距離.vABCD是正方形，?AC±BD,「.EF±AC.vGC上平面ABCD,又EFu平面ABCD,A???GC±EF,_EF±平面GCH.AvEF面GEF,?平面GEF工平面GCH.B過0點作OM±GH于M,B點到平面則OM上平面GEF，因此OM是O點到平面GEFB點到平面GEF的距離.v正方形ABCD邊長為4,?-|CH|=4AC|=4乂42=32.v|GC|=2,且GC±CA,「.|GH|=4+18=22.vRfOMHsRt△GCH,?IOM1=1GC1血?|OH|—|GH|,…IomI-ii.???點B到平面EFG的距離為211解法二：（等體積法）連接BG,BF，可知VGvGGE3EF—V日GEF，vE為AB的中點，?Sabef=2S-ABF=}2X2x4=2.G連接AC交EF于H，連接GH,vEF±AC,GC±EF，二EF工平面GCH，二EF±GH.3v|GC|=2,|AC|=42,a|CH|=4X42=32,…|GH|=GC2+CH2=4+18=22.1isYEF=2X|EF|X|GH|=2A22X22=2.11設(shè)點B到平面GEF距離為h11由VG-BEF=VB_GEF，得3"lGC^S°BEF=3'hXSAGEF'?-3X2X2=hx2A/11，解得h=二;1.B點到平面GEF的距離為U?解法三：(向量法)如圖所示，以C為原點，分別以CD、CB、CG所在的直線為x軸、y輒z軸建立坐標(biāo)系，則B(0,4,0),E(