由淺入深,由點(diǎn)到面,構(gòu)建知識體系

富平縣2019年文本類教育教學(xué)成果參評由淺入深，由點(diǎn)到面，構(gòu)建知識體系淺談高一數(shù)學(xué)教學(xué)I淺談高一數(shù)學(xué)教學(xué)I三1=1作者姓名鄒貴龍作者單位富平縣富平中學(xué)由淺入深，由點(diǎn)到面，構(gòu)建知識體系 淺談高一數(shù)學(xué)教學(xué)【摘要】高一數(shù)學(xué)是高中數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，它起著承前啟后的作用；高一數(shù)學(xué)的教學(xué)往往影響著學(xué)生整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，在新課改背景下各式教學(xué)模式層出不窮，但都離不開教學(xué)的基本規(guī)律：由淺入深；由已知到未知；由微觀到宏觀。本文根據(jù)高一學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況從兩個(gè)方面舉例論述了由淺入深，由點(diǎn)到面對高一數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性?！娟P(guān)鍵詞】知識銜接；橫向聯(lián)系；由淺入深；由點(diǎn)到面高一數(shù)學(xué)一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，一方面高一是學(xué)生為整個(gè)高中學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)的階段，這一年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好壞直接影響到學(xué)生今后學(xué)習(xí)的興趣和信心，另一方面由于數(shù)學(xué)這門課程本身具有很強(qiáng)的抽象性，相對難度較大，而從初中階段進(jìn)入高中階段，數(shù)學(xué)知識在概念的抽象性，在思維方法理性層面的跳躍，在整體數(shù)量的劇增等方面都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了過去任何階段所學(xué)習(xí)的知識，而且還有部分知識獨(dú)立性比較強(qiáng)。因此學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)中往往感到非常吃力。這種情況的出現(xiàn)，就需要教師在教學(xué)中能夠及時(shí)地通過良好的教學(xué)方式幫助學(xué)生以更簡單，更直接的方式完成數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)。探重視知識銜接，由淺入深數(shù)學(xué)這門學(xué)科有一個(gè)很大的特點(diǎn)就是前后知識的銜接性比較大，在實(shí)際教學(xué)中就要充分的利用好一點(diǎn)，讓學(xué)生通過學(xué)過的知識，由已知到未知，逐步接觸新知識，在新知識和舊知識之間架起一座橋梁，通過對比深入體會，加深理解，從而掌握新知識。1概念的銜接性概念的抽象性是高中數(shù)學(xué)知識的一大特點(diǎn)，這對習(xí)慣于簡單直觀概念的高一學(xué)生來講具有很大的難度，概念理解不到位，對于后面相關(guān)定理，公式的推導(dǎo)和證明及例題的掌握帶來很大的困難，但是高一許多概念都與小學(xué)和初中概念既有聯(lián)系有又區(qū)別。通過掌握這些聯(lián)系和區(qū)別，可以達(dá)到對新概念的掌握。例1函數(shù)的概念通過創(chuàng)設(shè)情境，逐步揭示課題提問：什么是變量？引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中變量間的相互依賴關(guān)系。“在一個(gè)變化過程中可以取不同數(shù)值的量稱為變量，變量間的依賴關(guān)系，時(shí)間與路程，海拔與氣溫之間的關(guān)系等”

提問：哪些依賴關(guān)系是函數(shù)關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生回憶初中函數(shù)的定義。初中函數(shù)定義：一般地，在某一變化過程中有兩個(gè)變量x和y，對于x在它允許取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么x叫做自變量，y叫做因變量，y是x的函數(shù)，記作：y=f(x)。初中以“變化過程中兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系”來定義函數(shù)，通常稱為變量說。它有一個(gè)重要特點(diǎn)：對于其中一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對應(yīng)時(shí)，才稱它們有函數(shù)關(guān)系。研究舊知識，掌握新知識顯然初中對函數(shù)的定義中，x與y都有其取值范圍，我們分別用兩個(gè)集合A,B表示，其中的對應(yīng)用f表示，例如正方形的邊長和面積的對應(yīng)關(guān)系f(x)=x2。于是我們得到髙中函數(shù)的定義：給定兩個(gè)非空數(shù)集A和B,如果按照某個(gè)對應(yīng)關(guān)系f,對于A中任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng)，那么把對應(yīng)關(guān)系f叫作定義在A上的函數(shù)。記作f:ATB或y=f(x)，其中我們把x的允許取值范圍，即集合A，叫作定義域，把y的取值范圍，即G=f(x),xea｝叫作值域。顯然髙中則建立在集合的基礎(chǔ)上，突出兩個(gè)變量的單值對應(yīng)，通常稱為“對應(yīng)說”。對比概念，加深理解觀察兩種定義不難發(fā)現(xiàn)，它們都強(qiáng)調(diào)其中一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一個(gè)變量都有唯一確定的值對應(yīng)；定義域和值域的意義是一致的。只是傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動變化觀點(diǎn)出發(fā)，對函數(shù)描述直觀，具體生動，定義域和值域隱含在定義中；髙中的定義從集合映射觀點(diǎn)出發(fā)，描述更廣泛，更具一般性，并且明確的提出兩個(gè)非空數(shù)集A和B，給出函數(shù)的定義域和值域的定義，因此髙中階段函數(shù)的定義解決了三個(gè)問題：什么是函數(shù)？什么是其定義域？什么是其值域？2知識點(diǎn)的銜接性概念的拓展和外延，知識點(diǎn)的深入和擴(kuò)充，使得髙中數(shù)學(xué)讓學(xué)生如墜霧里，趣味兒索然，對后面的課程更是無心聽下去，教師也會感到曲髙和寡。但所有知識的學(xué)習(xí)我們都秉著由易到難，由學(xué)過的內(nèi)容，探索將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，逐步深入。髙中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也一樣，教師要巧妙利用學(xué)生初中積累的知識培養(yǎng)髙中學(xué)習(xí)的興趣。例2任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義回顧舊知識，點(diǎn)燃學(xué)生興趣畫一個(gè)直角三角形如圖，讓學(xué)生根據(jù)初中知識在Ca黑板寫出銳角A的正弦和余弦：sinZA=a,cosZA=b。c cCa這樣對于任何一個(gè)銳角都可以得到一個(gè)正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值與之對應(yīng)。再讓學(xué)生寫出特殊角的三角函數(shù)值：sin30o=,cos30°= ,sin45°=222cos45o='2,sin60o二3,cos60。=丄。根據(jù)筆者經(jīng)驗(yàn)部分基礎(chǔ)較弱的學(xué)生222已經(jīng)忘了初中對銳角三角函數(shù)的定義及特殊銳角的三角函數(shù)值，此時(shí)就要直接告訴學(xué)生：正弦是對邊比斜邊，余弦是鄰邊比斜邊，再根據(jù)相關(guān)定理推導(dǎo)特殊銳角的三角函數(shù)值，從而讓學(xué)生對進(jìn)一步的學(xué)習(xí)感興趣。趁熱打鐵，引入新知在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，單位長為半徑建立單位圓。將銳角?的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x,y)，則當(dāng)角Q在第一象限時(shí)，由初中知識可以知道yxsina=—=x,cosa=—=x。11一般地，當(dāng)a為任意角時(shí)，定義點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y為a的正弦函數(shù)，記作 1a； x為為a的余弦函數(shù)，記作x※重視知識橫向聯(lián)系，由點(diǎn)到面初中數(shù)學(xué)教材信息含量相對較少，學(xué)生容易接受；而高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容比較豐富，知識量大，高中課程設(shè)置本身又比較緊湊，學(xué)生剛步入高中對大量零散知識的學(xué)習(xí)很不適應(yīng)。但教材的每個(gè)章節(jié)知識結(jié)構(gòu)都有內(nèi)在聯(lián)系的，公式與公式之間都有其推導(dǎo)過程，掌握了這個(gè)特點(diǎn)能夠加強(qiáng)學(xué)生對知識點(diǎn)的記憶，并對零散知識進(jìn)行整合，由點(diǎn)到面，形成宏觀認(rèn)識。1章節(jié)的相互聯(lián)系單個(gè)知識點(diǎn)的講解能夠使學(xué)生從微觀上把握知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，但隨著課程的深入知識的累積，節(jié)奏的加快，很多高一學(xué)生就會感到，應(yīng)接不暇，精神疲憊，往往只見樹木不見森林。對知識的整體把握不到位，從而會影響到，對單個(gè)知識的理解和應(yīng)用，尤其是綜合性問題的解決。例3集合集合是高中數(shù)學(xué)中最原始的概念，高中數(shù)學(xué)的運(yùn)算結(jié)果，大都需要使用集合語言來描述，所以正確使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力。①抓主干，建框架最簡單，最直接的做法就是翻看教材目錄，整理集合三大主干：集合的含義與表示，集合的基本關(guān)系，集合基本運(yùn)算。抓住這三點(diǎn)就等于掌握本章知識的主體。

集合與元素4「⑴元素與集合的關(guān)系：屬于(W)和不屬于(纟)集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性集合與元素4「⑴元素與集合的關(guān)系：屬于(W)和不屬于(纟)集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性集合的分類：按集合中元素的個(gè)數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集集合的表示方法：列舉法、描述法(自然語言描述、特征性質(zhì)描述)、圖示法、區(qū)間法子集：若xeAnxeB,貝IjA匸B,即A是B的子集。若集合A中有n個(gè)元素，則集合A的子集有2n個(gè)，真子集有(2n-1)個(gè)。任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A匸A對于集合A,B,C,如果A匸B,且B匸C,那么A匸C.空集是任何集合的(真)子集。關(guān)系1、2、3、4、集合4集合與集合4運(yùn)算4真子集：若A匚B且A工B(即至少存在xeB但x電A),貝山是B的真子集。00集合相等：A匸B且AoBoA=B定義：AcB={x/xeA且xeb}性質(zhì)：AcA=A，Ac0=0，AcB=BcA，AcBcA,AcBcB，AcBoAcB=A定義：AuB={x/xeA或xeB}性質(zhì)：AuA=A，Au0=A，AuB=BuA，AuBoA，AuBoB，AcBoAuB=B交集并集Card(AuB)=Card(A)+Card(B)-Card(AcB)定義：CA={x/xeU且x電A}=AU性質(zhì)：(CA)cA=0,(CA)uA=U，C(CA)=A，C(AcB)=(CA)u(CB)，U U UU U U UC(AuB)=(CA)c(CB)U U U②補(bǔ)細(xì)節(jié)，建立結(jié)構(gòu)圖在三大主體的框架下逐步完善各節(jié)知識點(diǎn)形成本章的結(jié)構(gòu)圖：探尋章節(jié)聯(lián)系，觀察知識的應(yīng)用集合學(xué)完之后，學(xué)生基本掌握了各個(gè)知識點(diǎn)，本章內(nèi)容之間的聯(lián)系，那么它在就今后的學(xué)習(xí)中有什么作用呢？與后面的內(nèi)容有什么聯(lián)系呢？以函數(shù)為例，函數(shù)的定義，定義域，值域以及單調(diào)區(qū)間的表示都離不開集合，如下圖所示：2公式或定理的相互聯(lián)系髙一教材的一大特點(diǎn)是公式和定理比較多，尤其是三角函數(shù)與立

體幾何，容易記錯(cuò)，記亂，甚至記不住，因此教給學(xué)生合適的記憶方法，能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)起到事半功倍的效果。其中熟悉這些公式或定理的相互聯(lián)系，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶，能夠記得更快，更牢。例4三角恒等變形①抓主線，由一到十本章內(nèi)容基本上是圍繞兩角差的余弦函數(shù)展開，逐步得到兩角和與差的其它三角函數(shù)，在此基礎(chǔ)推導(dǎo)出，兩角和與差的正切，2倍角公式，降冪公式等，所以要充分掌握兩角差的余弦函數(shù)，并會由它推導(dǎo)其余公式。②建結(jié)構(gòu)，識整體③A4⑧A-0代替E >A⑨-0代替0口代替B > >A⑤V@⑦①：1③A4⑧A-0代替E >A⑨-0代替0口代替B > >A⑤V@⑦①：1-(a-卩)代替a-p;②：同①； ③：S2a-P與C之比；a-P④:S與C之比；⑤：—-(a+P)代替a+P；⑥：同⑤；?:—-2a代替2a；a+卩a+卩 2 2⑧：S與C之比；⑨：a代替2a