建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)講義6

第三章地震作用和結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算一、課程內(nèi)容二、重點(diǎn)、難點(diǎn)和基本要求2022/12/11結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)第三章課程內(nèi)容§3-1概述§3-2單自由度彈性體系的地震反應(yīng)§3-3單自由度彈性體系的水平地震作用——地震反應(yīng)譜法§3-4多自由度彈性體系的地震反應(yīng)§3-5多自由度彈性體系的水平地震作用——振型分解反應(yīng)譜法§3-6底部剪力法和時(shí)程分析法§3-7水平地震作用下的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)§3-8結(jié)構(gòu)的豎向地震作用§3-9結(jié)構(gòu)自振周期的近似計(jì)算§3-10地震作用計(jì)算的一般規(guī)定§3-11結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算2022/12/12結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)第三章重點(diǎn)、難點(diǎn)和基本要求重點(diǎn)和難點(diǎn)：1、重要術(shù)語(yǔ)、概念、定義2、單（多）自由度體系地震反應(yīng)和地震作用計(jì)算3、底部剪力法4、結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算基本要求：掌握結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算基本方法2022/12/13結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)§3-4多自由度彈性體系的地震反應(yīng)一、多質(zhì)點(diǎn)和多自由度體系二、兩自由度彈性體系的自由振動(dòng)1、兩自由度運(yùn)動(dòng)方程的建立2、兩自由度彈性體系的運(yùn)動(dòng)微分方程組3、兩自由度彈性體系的自由振動(dòng)三、多自由度彈性體系的自由振動(dòng)1、n自由度體系運(yùn)動(dòng)微分方程組2、n自由度彈性體系的自由振動(dòng)四、振型分解法1、兩自由度體系振型分解法2、n自由度體系振型分解法2022/12/14結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)一、多質(zhì)點(diǎn)和多自由度體系在進(jìn)行建筑結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析時(shí)，除了少數(shù)質(zhì)量比較集中的結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化為單質(zhì)點(diǎn)體系外，大量的多層和高層工業(yè)與民用建筑、多跨不等高單層工業(yè)廠房等，質(zhì)量比較分散，則應(yīng)簡(jiǎn)化為多質(zhì)點(diǎn)體系來(lái)分析，這樣才能得出比較符合實(shí)際的結(jié)果。

一般，對(duì)多質(zhì)點(diǎn)體系，若只考慮其作單向振動(dòng)時(shí)，則體系的自由度與質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。2022/12/15結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)二、兩自由度彈性體系的自由振動(dòng)左圖為一兩自由度彈性體系在水平地震作用下，在時(shí)刻t的變形情況。Xg(t)為地震時(shí)地面運(yùn)動(dòng)的水平位移，質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2沿地面運(yùn)動(dòng)方向產(chǎn)生的相對(duì)于地面的水平位移分別為x1(t)和x2(t)，而相對(duì)速度則為和，相對(duì)加速度為

和

，絕對(duì)加速度分別為+和+。2022/12/16結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)1、兩自由度運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系相似，取質(zhì)點(diǎn)1作隔離體，則作用在其上的慣性力為：彈性恢復(fù)力為：阻尼力為：式中

k11——使質(zhì)點(diǎn)1產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點(diǎn)2保持不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)1處所需施加的水平力；k12——使質(zhì)點(diǎn)2產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點(diǎn)1保持不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)1處引起的彈性反力；c11——質(zhì)點(diǎn)1產(chǎn)生單位速度而質(zhì)點(diǎn)2保持不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)1處產(chǎn)生的阻尼力；c12——質(zhì)點(diǎn)2產(chǎn)生單位速度而質(zhì)點(diǎn)1保持不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)1處產(chǎn)生的阻尼力；m1——集中在質(zhì)點(diǎn)1上的質(zhì)量。

2022/12/17結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)2、兩自由度彈性體系的運(yùn)動(dòng)微分方程組根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，I1+R1+S1=0，經(jīng)整理得下列運(yùn)動(dòng)方程

同理對(duì)于質(zhì)點(diǎn)2:上二式就是兩自由度彈性體系在水平地震作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程組。上述列動(dòng)力平衡方程求解的方法常稱為剛度法。運(yùn)動(dòng)方程中的系數(shù)kij反映了結(jié)構(gòu)剛度的大小，稱為剛度系數(shù)。2022/12/18結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)3、兩自由度彈性體系的自由振動(dòng)

以兩自由度體系為例，令方程組等號(hào)右邊荷載項(xiàng)為零，由于阻尼對(duì)體系自振周期影響很小，故略去阻尼，即得該體系無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程組：設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)作同頻率、同相位的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則上列微分方程組的解為：式中

X1和X2——分別為質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2的位移振幅；

ω——振動(dòng)頻率；

φ——初相位。經(jīng)整理后得下列振幅方程：2022/12/19結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)1）、自振頻率和自振周期上式為Xl和X2的線性齊次方程組；體系在自由振動(dòng)時(shí)，X1和X2不能同時(shí)為零，否則體系就不可能產(chǎn)生振動(dòng)。為使上式有非零解，其系數(shù)行列式必須等于零，即：展開(kāi)行列式，可得ω2的二次方程：上式稱為頻率方程，解之得：由此可求得ω的兩個(gè)正實(shí)根，它們就是體系的兩個(gè)自振圓頻率。其中較小的一個(gè)用ωl表示，稱為第一頻率或基本頻率，較大的一個(gè)ω2稱為第二頻率。利用式可由ωl和ω2求得體系的兩個(gè)自振周期，即T1=2π/ω1和T2=2π/ω2，且T1＞T2，T1稱為第一周期或基本周期，T2稱為第二周期。2022/12/110結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)2）、主振型由于線性性齊次方方程組的的系數(shù)行行列式等等于零，，所以兩兩個(gè)頻率率方程并并不是獨(dú)獨(dú)立的，，振幅方方程的解解只能是是兩質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)位移振振幅的比比值，如如：或當(dāng)，，振幅比值值為：當(dāng)，，振幅比值值為：式中：——體系按頻頻率ωj(頻率序號(hào)號(hào)j=1，2)自由振動(dòng)動(dòng)時(shí)，質(zhì)質(zhì)點(diǎn)i(質(zhì)點(diǎn)編號(hào)號(hào)i=1，2)的位移振振幅。當(dāng)，，質(zhì)質(zhì)點(diǎn)位移移：和和當(dāng)，，質(zhì)質(zhì)點(diǎn)位移移：和和式中——體系按頻頻率ωj(頻率序號(hào)號(hào)j=1，2)自由振動(dòng)動(dòng)時(shí)，質(zhì)質(zhì)點(diǎn)i(質(zhì)點(diǎn)編號(hào)號(hào)i=1，2)的位移2022/11/2611結(jié)構(gòu)抗震震設(shè)計(jì)則在兩種種不同頻頻率的自自由振動(dòng)動(dòng)過(guò)程中中，兩質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的位位移比值值分別為為：當(dāng)時(shí)時(shí)，，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，上式中每每一比值值均與時(shí)時(shí)間無(wú)關(guān)關(guān)，且為為常數(shù)。。這就表表明，對(duì)對(duì)應(yīng)于各各個(gè)自振振頻率，，體系在在相應(yīng)自自由振動(dòng)動(dòng)過(guò)程中中的任意意時(shí)刻，，兩質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的位移移比值(或振動(dòng)動(dòng)曲線形形狀)始始終保持持不變，，且等于于Xj2／Xj1，改變的只只是位移移大小和和方向。。這種保保持質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)位移比比值不變變的振動(dòng)動(dòng)形式(或形狀狀)稱為為主振型型。當(dāng)體體系按第第一頻率率ω1振動(dòng)時(shí)的的振動(dòng)形形式稱為為第一主主振型(簡(jiǎn)稱第第一振型型或基本本振型)，而對(duì)對(duì)應(yīng)于第第二頻率率ω2的振動(dòng)形形式稱為為第二主主振型(簡(jiǎn)稱第第二振型型)。主振型是是彈性體體系的重重要固有有特征，，它們完完全取決決于體系系的質(zhì)量量和剛度度的分布布，體系系有多少少個(gè)自由由度就有有多少個(gè)個(gè)頻率，，相應(yīng)地地就有多多少個(gè)主主振型。。2022/11/2612結(jié)構(gòu)抗震震設(shè)計(jì)3）、自自由振動(dòng)動(dòng)方程的的通解兩自由度度彈性體體系自由由振動(dòng)方方程式的的通解為為其特解解即分別別對(duì)應(yīng)兩兩個(gè)自振振圓頻率率的質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)位移的的線性組組合，也也即：其中X11、X12、X21、X22、φ1、φ2由初始條條件確定定。由上式可可見(jiàn)，在在一般初初始條件件下，任任一質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的振動(dòng)動(dòng)都是由由各主振振型的簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)疊加而而成的復(fù)復(fù)合振動(dòng)動(dòng)。2022/11/2613結(jié)構(gòu)抗震震設(shè)計(jì)4）、質(zhì)質(zhì)點(diǎn)復(fù)合合振動(dòng)振振型曲線線和慣性性力兩自由度度彈性體體系分別別按頻率率ω1和ω2作簡(jiǎn)諧振振動(dòng)時(shí)，，兩個(gè)振振型的變變形曲線線及兩質(zhì)質(zhì)點(diǎn)上相相應(yīng)的慣慣性力如如圖所示示。慣性力可可表示為為，，其中中i為質(zhì)點(diǎn)編編號(hào)，j為振型序序號(hào)，而而且主振振型變形形曲線可可視為體體系上相相應(yīng)的慣慣性力引引起的靜靜力變形形曲線，，因?yàn)橛捎煽煽芍?，結(jié)結(jié)構(gòu)在任任一瞬時(shí)時(shí)的位移移就是等等于慣性性力所產(chǎn)產(chǎn)生的靜靜力位移移。在一般初初始條件件下，任任一質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的振動(dòng)動(dòng)都是由由各主振振型的簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)疊加而而成的復(fù)復(fù)合振動(dòng)動(dòng)。2022/11/2614結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)計(jì)5）、主振型型的正交性根據(jù)功的互等等定理，第一一主振型上的的慣性力在第第二主振型的的位移上所做做的功等于第第二主振型上上的慣性力在在第一主振型型的位移上所所做的功，這這樣可得到：：整理后得到：：由于ω1≠ω2，所以：上式所表示的的關(guān)系，稱為為主振型的正正交性，它反反映了主振型型的一種特性性，即體系各各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量量與其在兩個(gè)個(gè)不同振型上上的位移振幅幅的連乘積的的代數(shù)和為零零。物理意義是：：某一振型在在振動(dòng)過(guò)程中中所引起的慣慣性力不在其其它振型的位位移上作功。。這說(shuō)明某一一振型的動(dòng)能能不會(huì)轉(zhuǎn)移到到其它振型上上去，也就是是體系按某一一振型作自由由振動(dòng)時(shí)不會(huì)會(huì)激起該體系系其它振型的的振動(dòng)。2022/11/2615結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)計(jì)三、多自由度度彈性體系的的自由振動(dòng)1、n自由度體系運(yùn)運(yùn)動(dòng)微分方程程組2、n自由度彈性體體系的自由振振動(dòng)2022/11/2616結(jié)構(gòu)抗震設(shè)設(shè)計(jì)1、n自由度體系系運(yùn)動(dòng)微分分方程組把兩自由度度彈性體系系的運(yùn)動(dòng)微微分方程組組推廣到n自由度體系系，則其運(yùn)運(yùn)動(dòng)微分方方程組應(yīng)由由n個(gè)方程組成成，一般表表達(dá)式為:式中Cij——質(zhì)點(diǎn)j產(chǎn)生單位速速度，而其其它質(zhì)點(diǎn)保保持不動(dòng)時(shí)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)i處產(chǎn)生的阻阻尼力；kij——質(zhì)點(diǎn)j產(chǎn)生單位位位移，而其其它質(zhì)點(diǎn)保保持不動(dòng)時(shí)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)i處引起的彈彈性反力；；mi——集中在質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)i的質(zhì)量。求解上述運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程組組，一般采采用振型分分解法。該該法需要利利用多自由由度彈性體體系的振型型，它們是是由分析體體系的自由由振動(dòng)得來(lái)來(lái)的。為此此，須先討討論多自由由度體系的的自由振動(dòng)動(dòng)問(wèn)題。2022/11/2617結(jié)構(gòu)構(gòu)抗抗震震設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)2、、n自由由度度彈彈性性體體系系的的自自由由振振動(dòng)動(dòng)對(duì)于于n自由由度度體體系系，，由由上上式式可可得得其其自自由由振振動(dòng)動(dòng)方方程程組組：：（i=1，，2，，……，，n））設(shè)微微分分方方程程組組的的解解為為：：代入入上上式式，，經(jīng)經(jīng)整整理理后后得得：：…………………………………………………2022/11/2618結(jié)構(gòu)構(gòu)抗抗震震設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)1））、、自振振頻頻率率和和自自振振周周期期令方方程程的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式等等于于零零，，即即可可求求得得頻頻率率方方程程，，此此方方程程是是一一個(gè)個(gè)以以ω2為未未知知數(shù)數(shù)的的一一元元n次方方程程，，解解此此方方程程，，可可以以求求出出n個(gè)根根ω12、ωω22、、……、、ωωn2，即可可得得出出體體系系的的n個(gè)自自振振圓圓頻頻率率，，按按由由小小到到大大的的順順序序排排列列依依次次為為ω1<ω2<…<ωi<…<ωn。對(duì)應(yīng)的n個(gè)自振周周’期由由大到小小的順序序則為T1>T2>…>Ti>…>Tn。ω2、、…、ωn統(tǒng)稱為高高階頻率率。一般般說(shuō)來(lái)，，當(dāng)體系系的質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)數(shù)多于于3個(gè)時(shí)，頻頻率方程程的求解解就比較較困難，，常常不不得不借借助于一一些近似似計(jì)算方方法和電電子計(jì)算算機(jī)。2022/11/2619結(jié)構(gòu)抗抗震設(shè)設(shè)計(jì)2）、、主振型型和自自由振振動(dòng)方方程的的通解解對(duì)于n自由度度彈性性體系系，有有n個(gè)自振振頻率率，將將其依依次代代入頻頻率方方程可可求得得相應(yīng)應(yīng)的n個(gè)主振振型，，除第第一主主振型型外的的其它它振型型統(tǒng)稱稱為高高階振振型。。n自由度度彈性性體系系自由由振動(dòng)動(dòng)時(shí)，，任一一質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的振振動(dòng)都都是由由n個(gè)主振振型的的簡(jiǎn)諧諧振動(dòng)動(dòng)疊加加而成成，故故自由由振動(dòng)動(dòng)方程程的通通解可可寫(xiě)為為（i=1，2，……，n）式中——第j振型i質(zhì)點(diǎn)的的相對(duì)對(duì)位移移；——第j振型i質(zhì)點(diǎn)的的位移移振幅幅。2022/11/2620結(jié)構(gòu)抗抗震設(shè)設(shè)計(jì)3）、、主振型型的正正交性性對(duì)n自由度度彈性性體系系，主主振型型正交交性一一般可可表示示為（j≠k）它反映映了主主振型型的一一種特特性，，即體體系各各質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的質(zhì)質(zhì)量與與其在在不同同振型型上的的位移移振幅幅的連連乘積積的代代數(shù)和和為零零。其物理理意義義是：：某一一振型型在振振動(dòng)過(guò)過(guò)程中中所引引起的的慣性性力不不在其其它振振型的的位移移上作作功。。這說(shuō)明明某一一振型型的動(dòng)動(dòng)能不不會(huì)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移到到其它它振型型上去去，也也就是是體系系按某某一振振型作作自由由振動(dòng)動(dòng)時(shí)不不會(huì)激激起該該體系系其它它振型型的振振動(dòng)。。2022/11/2621結(jié)構(gòu)抗震設(shè)設(shè)計(jì)四、振型分分解法多自由度彈彈性體系在在水平地震震作用下的的運(yùn)動(dòng)方程程為一組相相互耦聯(lián)的的微分方程程，聯(lián)立求求解有一定定困難。振型分解法法就是通過(guò)過(guò)把體系的的位移反應(yīng)應(yīng)按振型加加以分解，，并利用各各振型相互互正交的特特性，將原原來(lái)耦聯(lián)的的微分方程程組變?yōu)槿羧舾苫ハ嗒?dú)獨(dú)立的微分分方程，從從而使原來(lái)來(lái)多自由度度體系結(jié)構(gòu)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)計(jì)算變?yōu)槿羧舾蓚€(gè)相當(dāng)當(dāng)于各自振振周期的單單自由度體體系結(jié)構(gòu)的的問(wèn)題，在在求得了各各單自由度度體系結(jié)構(gòu)構(gòu)的地震反反應(yīng)后，采采用振型組組合法即可可求出多自自由度體系系的地震反反應(yīng)。振型分解法法是求解多多自由度彈彈性體系地地震反應(yīng)的的重要方法法。2022/11/2622結(jié)構(gòu)抗震設(shè)設(shè)計(jì)1、兩自由由度體系振型分解法法將質(zhì)點(diǎn)m１及m２在地震作用用下任一時(shí)時(shí)刻的位移移x１(t)和x２(t)用其兩個(gè)振振型的線性性組合來(lái)表表示：上式實(shí)際上上是一個(gè)坐坐標(biāo)變換公公式，x１(t)和x２(t)為原來(lái)的幾幾何坐標(biāo)，，而新坐標(biāo)標(biāo)q１(t)和q２(t)稱為廣義坐坐標(biāo)，它們們也是時(shí)間間的函數(shù)。。上式也可理理解為是將將體系的位位移按振型型加以分解解，q１(t)和q２(t)實(shí)際上表示示了在任一一時(shí)刻的位位移中第一一振型和第第二振型所所占的分量量。由于體系的的振型是唯唯一確定的的，因此，，當(dāng)q１(t)和q２(t)確定后，x１(t)和x２(t)也將隨之而而定。2022/11/2623結(jié)構(gòu)抗震設(shè)設(shè)計(jì)對(duì)上式進(jìn)行行變換和整整理，且考考慮主振型型的正交性性，得到：：這里，解兩個(gè)解耦耦的方程可可分別求出出q１(t)和q２(t)，而當(dāng)q１(t)和q２(t)確定后，x１(t)和x２(t)也隨之而定定。2022/11/2624結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)計(jì)兩自由度體系系變形按振型型分解示意圖圖＝＋2022/11/2625結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)計(jì)2、n自由度體系振型分解法對(duì)n自由度體系，，各質(zhì)點(diǎn)在地地震作用下任任一時(shí)刻的位位移xi(t)也可用其各個(gè)振型型的線性組合合來(lái)表示，即即：