ch4-7二階常系數(shù)線性微分方程

復(fù)復(fù)y(n)

f(

解法:只要連續(xù)積分n次即得通解y

f(

y)

型不顯含未知函數(shù)y

令y

P(x)

Py

f(

y)右端不顯含自變量x.解法：

y

P(

則

dy

PdP二階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形y

p(x)y

q(x)y

f(x)特點:方程左邊關(guān)于y’’y’y都是一次當(dāng)fx)當(dāng)fx)

0時0時

由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)知非齊次線性微分方程的通解 對應(yīng)齊次線性微分方程的通解+非齊次線性微分方程的一個特解二階線性齊次

y

(x)yQ(x

0定理1若函

y1x

y2x)是方程(1的兩個解則y

C1

C2

(C1,C2

是任意常數(shù)也是(1的解

y

C2y定義:若在區(qū)間I上

y2(x)

常數(shù)則稱函

y1x)與y2x)I上線性無2如

y1x)

y2(x)是方程(1)的兩個性無關(guān)

C1

y2yP(x)yQ(x)y

的通第七節(jié)二階常系數(shù)線性微分一、二階常系數(shù)齊次線性微分方1、定n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形y(n)

y(

Pny

f(x)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形y

pyqy

pq為常二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)y

pyqy

f(x)2、二階常系數(shù)齊次線性方程解Euler

yerxy

pyqy

特征方程特征

p

p2,2根據(jù)△＝p2-4q的值，可分三種情況pp2pp2pp2

(特征根

r2 兩個線性無關(guān)的特解為y1

er1x

er2x得齊次方程的通

yCer1

Cer2x1212y

pyqy

特征方程有兩個相等的實

(特征根

p2

一特解

y1

ex設(shè)另一特解為

u(x)er1

代入原方程并化簡u

(2rp)u(r2prq)u

ux

則y2

得齊次方程的通

y

Cx)er1x22特征方程有一對共軛復(fù)

(特征根

r1

i

r2

iy1y2

e(i)e(i)

ex(cosxex(cosx

ii重新組

y1(

y

x,1y2

12i(y11

y2

x,得齊次方程的通1yex(CcosxCsinx).12寫出相應(yīng)的特征方程

yr2

pyqyprq求出特征根

根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解特征根的情通解的表達(dá)r1r1復(fù)根r1, yC1er1xC2er2y(C1C2x)er2 例1

y

3y4

特征方程r2

4

(r

0解

1

r24故所求通

yCex

e4x 例2

4y4

0的通解 特征方程

r2

4

(r

0解得

2故所求通

y

e2x例3

2y5

0的通解 特征方程

r2

50

12i故所求通解1yex1

cos2x

2x).復(fù)復(fù)微分方程定凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程注意:未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)不能缺少微分方程的稱為微分方程的階(與函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的幾次方無關(guān))微分方程的代入微分方程能使方程成為恒等式稱為微分方程的微分方程的解的分通解:微分方程的解中含有獨立的任意常特解：

dy

f(x)

g(

稱為可分離變量的微分方程齊次方dy

f(y

解法

uy 一階線性齊次方程

xP(x)yyCe

P(x)dxdy

P(x)

Q(x)

y=

Px

òQxò

P(x

dx+利用公式應(yīng)注意方程應(yīng)化 正確選擇P(x)和Q(x)對公式中的不定積分求解后不再加CelnP(x,elnP(x)等要化簡公式右邊括號內(nèi)外都有“l(fā)n|.|”時，絕對值可去掉例:

e

1dx

1e

1dx

eln

1elnx

dxCy(n)

f(x)

特點:右端僅含有自變量解法:只要連續(xù)積分n次即得通解y

f(x,

y) 特點不顯含未知函數(shù)y但顯x

令y

P(x)

Py

f(

y型方程不顯含x但顯y

令y

則y

Pyf(y) 特點方程不顯含x與令y

P(x)二階線性齊次

y

(x)yQ(x

0定理1若函

y1x

y2x)是方程(1的兩個解則y

C1

C2

(C1,C2

是任意常數(shù)也是(1的解

y

C2y定義:若在區(qū)間I上

y2(x)

常數(shù)則稱函

y1x)與y2x)I上線性無2如

y1x)

y2(x)是方程(1)的兩個性無關(guān)

C1

y2yP(x)yQ(x)y

的通寫出相應(yīng)的特征方程

yr2

pyqyprq求出特征根

根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解特征根的情通解的表達(dá)r1r1復(fù)根r1, yC1er1xC2er2y(C1C2x)er2 推廣

階常系數(shù)齊次線性方程解1y(n)1

p

y

pny1特征方程1

rn

prn1

pn1r

pn特征方程的通解中的對應(yīng)若是k重根k (C0C1xCk1 若是k重共軛復(fù)根jk[(C0C1xCk1 )cosx(DDx xk1)sinx]ex k例1求方程

y

6

10y

0的通解 特征方程

r36r

0解得r10

3i2故所求通解2y

e3x(Ccos

C3

例2求方程

y(4)

2y

5

0 特征方程

r4

2r

0解得

0

12i3故所求通解3y

C2

ex

cos2x

sin2x).思考求微分方思考題解

yyy2

y2ln

的通解y

yy

lny,y

ln

y2lny

y

ln

lny, y 121zln121

z

特征

通解

Cex

Cex

ln

yCe

Cex22二、二階常系數(shù)非齊次二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形y

pyqy

f(x)由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)知非齊次線性微分方程的通解 對應(yīng)齊次線性微分方程的通解+非齊次線性微分方程的一個特解二階常系數(shù)非齊次線

y

pyqy

f(x)對應(yīng)齊次方

y

py

yY

y難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法mf(xm

設(shè)Pmx

x

次多項式

e0

P(x)ex;

(

x,

(

sinx以上兩種的混合注：特解形式與f(x)的類型相同1

(x)

ex

x)

y

pyqy

f(x) 設(shè)非齊次方程特

y

Q(x)ex

代入原方程，Q(x)ex

(2

(x)ex

(2

(x)exQ(x)

)Q(x)(2

pq)Q(x)

設(shè)另一特解為

u(x)er1回y回

u

(2rp)uer1x(r2

q)uer1x 1

(x)

ex

x)

y

pyqy

f(x) 設(shè)非齊次方程特

y

Q(x)ex

代入原方程，

若不是特征方程的根 方程兩邊必須是同次多項則Q(x)與Pm(x)

Qx)

Qm(

y

Q(x)ex;m(其中QmxPmx同次的多項式m若是特征方程的單根m2m

p

2p

則Q’(x)與Pm(x)可設(shè)Q

Qm(

Q(x)m+1

則Qxx

(可設(shè)y

(x)ex;

若是特征方程的重

設(shè)

Q(x)ex2

p

2p

則Q’’(x與Pm(x)

Q(x)m+2 m(

y

x2Q

(x)ex

y

pyqy

f(x)P(x)em m

不是根y

xke

(x)

k

是單根m1(注:m1

是重根注意上述結(jié)論可推廣n階常系非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)綜上討

y

pyqy

f(x)P(x)e 1其特解可設(shè)為 不是1y

xke

(x)

k

是單根m(注:m

是重根特殊：y

py

m1 m1

不是根y

xkQ

(x)

k

0是單 0是重根例1求方

y

3y2

2

ex

的特y=x(

)ex例1求特解

y

2

xex

P(x)e1.1

解對應(yīng)齊次方程

y2y

y0特征方

r2

1特征

r1

對應(yīng)的齊次方程的通解

Y

x)ex1是二重根設(shè)原方程的特解

y*

x2(ax

Q(x)ex

(技巧則y*

b)x2

2bx]ex

ax3

將**,(),()

a 6

b 2Q(x)(2p)Q(x)

(2

p

(x)

特解

y*x2(ax1

b)ex1y*

(y*),(

)

x3 x2

a

b 原方程的一個特解

y*

ex6

ex2x3 x2故原方程的通解

y

x)ex

ex363

ex2y

C2)

(C2

1)x

x]ex,

(C1

3

(C1

5)e

y

x)ex

xex32632

xex.

(C1

3

(C1

5)e

C1

11

C 6C由C1

解15

C1 1C1 2所以原方程滿足初始條件的特解2y[2e

1(1

1)x]exe

xex363

xex.2、

(x)

ex[P

(x)cosx

Pnx)sinx]lf(x)l

ex[P

助n1]利 公l l

ei

ei eixei [l

(

n(

n(x),(x)互為(x),(x)互為共軛的m次復(fù)系數(shù)多項式mmax{l,P(x)e(i)x

(x)e(i)x 設(shè)

qy

),)由情形1

y

xkQe(i)xm1m12、

(x)

ex[P

cosx

Pnx)sinx]lyl

pyqy

P(x)e(i)x

特解y

xkQ

e(i)xm (i)

特解y

xkQ

e(i)xmym

qy

( y

xkex[Q

ei

eix

解的疊加原)])mR(2)(x)mxkex[R(1)(x)cosmR(2)(x)m 其中R(1xR(2x)是m實系數(shù)多

i不是

i

(特殊情形xkex{[Q(x)Q(xkex{[Q(x)Q(x)]cosx[Q(x)Q(x)]isinmmmm

f(x)

ex[P

(x)cosx

P(x)sinx],lnyln

xkex[R(1)(x)cosx

R(2)(x)sinx];mm其中R(1xR(2x)是mmmm 0 i不是1k1

i(xcos2x0sin2x)e0x例1求方

yxcos2x解特征方

r21

特征根

不是y

d)sin2x例 求方程yyxcos2x的通解解①對應(yīng)齊次方

y

y特征方程

r21

特征

i對應(yīng)齊次方程通解為

C1cos

C2sinx,②

l(x)

x,Pn(x)y*(axy*(axb)cos2x(cxd)sin2x.

不是特征方程的根設(shè)特解代入方程

3b

4c)cos2

(3cx

4a)sin2xcos2x,比較兩端同類項的系數(shù)，得

3a1,3b4c3c0,3d

解得

a3bcd9

3

xcos2x

9從而所求的通解為y

sinx

1xcos2x3

9混合例3求解混合

y4y

1(2

解特征方

r24特征

y21對應(yīng)的齊方的通y21

YC1cos2x

C2sin2x.y設(shè)設(shè)原方程的特解y設(shè)

y*

y*

則y*)

(y*

1111

4y

1x，2

4b11214a 解4b

a8b

1y y設(shè)(2)設(shè)

x(ccos2

dsin2y22則y*y22

(c

2dx)cos2

2cx)sin2x,2(y*2

4cx)cos2

(4c

4dx)sin2x,

4y

1cos2x，24dcos2x

4csin2x

1cos2x,24dcos2x

4csin2x

1cos2x,24d

c

1xsin24c

d 8故原方程的通解y

cos2

sin2x

1x8

1xsin2x.例4設(shè)f

為連續(xù)函數(shù)且滿足方程xf(x)

sinx0(xt

f(t求fx的表達(dá)式

(P92二P98三,四y即

ysin.f(x)

1(sinx2

x

12思考：12

f(x)

且滿足方f(x)

x

xf(求fx)的表達(dá)式（練習(xí)

二、小小

y

pyqy寫出相應(yīng)的特征方程

r2

prq求出特征根

根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解特征根的情通解的表達(dá)r1r1復(fù)根r1, yC1er1xC2er