中學(xué)高三數(shù)學(xué)試題

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B．附加題部分三、附加題部分（本大題共6小題,其中第21和第22題為必做題，第23～26題為選做題，請考生在第23～26題中任選2個小題作答，如果多做，則按所選做的前兩題記分．解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟．）21．（本小題為必做題，滿分12分）已知直線被拋物線截得的弦長為20，為坐標(biāo)原點．（1）求實數(shù)的值；（2）問點位于拋物線弧上何處時，△面積最大？22．（本小題為必做題，滿分12分）甲、乙、丙三個同學(xué)一起參加某狀元網(wǎng)校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合格者將成為該狀元網(wǎng)校的預(yù)錄取生（可在狀元網(wǎng)考中加分錄?。瑑纱慰荚囘^程相互獨(dú)立．根據(jù)甲、乙、丙三個同學(xué)的平時成績分析，甲、乙、丙三個同學(xué)能通過筆試的概率分別是0.6，0.5，0.4，能通過面試的概率分別是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三個同學(xué)中恰有一人通過筆試的概率；（2）設(shè)經(jīng)過兩次考試后，能被該狀元網(wǎng)校預(yù)錄取的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望．23．（本小題為選做題，滿分8分）如圖，在△中，是的中點，是的中點，的延長線交于.（1）求的值；（2）若△的面積為，四邊形的面積為，求的值．24．（本小題為選做題，滿分8分）已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）和圓的極坐標(biāo)方程：．（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系．25．（本小題為選做題，滿分8分）試求曲線在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中M=，N=．26．（本小題為選做題，滿分8分）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：．

參考答案A．必做題部分一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）1．2．共線3．44．5．6．57．8．9．16.410．11．712．13．214．二、解答題：（本大題共6小題,共90分．）15．（本小題滿分14分）解：（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，則BB1⊥AB，BB1⊥BC，3分又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，則AB=，則由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，6分又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，則AC⊥平面B1CB，所以有平面AB1C⊥平面B1CB；9分（2）三棱錐A1—AB1C的體積．14分（注：還有其它轉(zhuǎn)換方法）16．（本小題滿分14分）解：（1）即（）；7分（不注明定義域不扣分，或?qū)⒍x域?qū)懗梢残校?）由均值不等式得：（萬元）11分當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號．13分答：該企業(yè)10年后需要重新更換新設(shè)備．14分17．（本小題滿分14分）解：（1）由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為⊙M的半徑，則M在∠BOA的平分線上，同理，N也在∠BOA的平分線上，即O，M，N三點共線，且OMN為∠BOA的平分線，∵M(jìn)的坐標(biāo)為，∴M到軸的距離為1，即⊙M的半徑為1，則⊙M的方程為，4分設(shè)⊙N的半徑為，其與軸的的切點為C，連接MA、MC，由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，即，則OC=，則⊙N的方程為；8分（2）由對稱性可知，所求的弦長等于過A點直線MN的平行線被⊙截得的弦的長度，此弦的方程是，即：，圓心N到該直線的距離d=，-11分則弦長=．14分另解：求得B（），再得過B與MN平行的直線方程，圓心N到該直線的距離=，則弦長=．（也可以直接求A點或B點到直線MN的距離，進(jìn)而求得弦長）18．（本小題滿分14分）解：（1），令（）則，2分由于，則在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；（注：將單調(diào)遞增區(qū)間寫成的形式扣1分）（2）依題意，（），6分由周期性，；8分（3）函數(shù)（）為單調(diào)增函數(shù)，且當(dāng)時，，，此時有；10分當(dāng)時，由于，而，則有，即，又為增函數(shù)，當(dāng)時，12分而函數(shù)的最大值為，即，則當(dāng)時，恒有，綜上，在恒有，即方程在內(nèi)沒有實數(shù)解．14分19．（本小題滿分16分）解：（1），則，即曲線上任意一點處的切線的斜率的取值范圍是；4分（2）由（1）可知，6分解得或，由或得：；9分（3）設(shè)存在過點A的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B，，則切線方程是：，化簡得：，11分而過B的切線方程是，由于兩切線是同一直線，則有：，得，13分又由，即，即即，得，但當(dāng)時，由得，這與矛盾。所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點。16分20．（本小題滿分18分）解：（1）若，因為5，6，7，則5，6，7，由此可見，等差數(shù)列的公差為1，而3是數(shù)列中的項，所以3只可能是數(shù)列中的第1，2，3項，若，則，若，則， 若，則；4分（注：寫出一個或兩個通項公式得2分，全部寫出得4分）（2）首先對元素2進(jìn)行分類討論：①若2是數(shù)列的第2項，由的前5項成等比數(shù)列，得，這顯然不可能；②若2是數(shù)列的第3項，由的前5項成等比數(shù)列，得，因為數(shù)列是將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的，所以，則，因此數(shù)列的前5項分別為1，，2，，4，這樣，則數(shù)列的前9項分別為1，，2，，4，，，，8， 上述數(shù)列符合要求；10分③若2是數(shù)列的第項（），則，即數(shù)列的公差，所以，1，2，4<，所以1，2，4在數(shù)列的前8項中，由于，這樣，，，…，以及1，2，4共9項，它們均小于8，即數(shù)列的前9項均小于8，這與矛盾。 綜上所述，，12分其次，當(dāng)時，， ，，14分當(dāng)時，，因為是公差為的等差數(shù)列，所以，16分所以，此時的不符合要求。所以符合要求的一共有5個。18分B．附加題部分三、附加題部分：21．（必做題）（本小題滿分12分）解：（1）將代入得，2分由△可知，另一方面，弦長AB，解得；6分（2）當(dāng)時，直線為，要使得內(nèi)接△ABC面積最大，則只須使得，10分即，即位于（4，4）點處．12分22．（必做題）（本小題滿分12分）解：（1）分別記甲、乙、丙三個同學(xué)筆試合格為事件、、；表示事件“恰有一人通過筆試”則6分（2）解法一：因為甲、乙、丙三個同學(xué)經(jīng)過兩次考試后合格的概率均為，9分所以，故．12分解法二：分別記甲、乙、丙三個同學(xué)經(jīng)過兩次考試后合格為事件，則所以，，．于是，．23．（選做題）（本小題滿分8分）證明：（1）過D點作DG∥BC，并交AF于G點，2分∵E是BD的中點，∴BE=DE，又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，∴△BEF≌△DEG，則BF=DG，∴BF：FC=DG：FC，又∵D是AC的中點，則DG：FC=1：2，則BF：FC=1：2；4分（2）若△BEF以BF為底，△BDC以BC為底，則由（1）知BF：BC=1：3，又由BE：BD=1：2可知：=1：2，其中、分別為△BEF和△BDC