線性相關(guān)的證明的方法

線性相關(guān)的證明的方法偵=0oa線性相關(guān)a與P的對應(yīng)分量成比例oa與P線性相關(guān)含零向量的向量組線性相關(guān)向量組a「a2，..,a〃(M>2)線性相關(guān)o該組中至少有一個(gè)向量可由其余的m-1向量線性表示部分線性相關(guān)則整體線性相關(guān)設(shè)向量組a,a,...,a可由向量組P,P,...,&線性表示12n12n如果r>s,則氣七…吃線性相關(guān)如果a1,a2,.a線性無關(guān)，則r<s該向量的秩小雨該向量個(gè)數(shù)o向量組線性相關(guān)n個(gè)n維的向量管構(gòu)成的行列式=0O向量組線性相關(guān)注：.對氣,a2,...a線性相關(guān)o存在不全為零的數(shù)K「K2,...K,使得K凸+K2a+Ka=0a,a,...a線性相關(guān)oa,a,...a中有一向量是其余向量的線性組合。12n12n設(shè)a,a,...a線性相關(guān)，其中a=(aI,...aK,...,aM)，則P,P,...p也線性相關(guān)，12niiii12r其中p.=(aI,...aK),i=1,2,...r,k^m.若向量組的部分向量組是線性相關(guān)的，則此向量組必線性相關(guān)一個(gè)n級行列式等于零o它的n個(gè)行(列)構(gòu)成的向量組線性相關(guān)具體模式：對a,a,a，假設(shè)存在一組數(shù)K,K,...K使得Ka+...Ka=012n12n11nn利用已知條件，代人1中的向量方程，將問題轉(zhuǎn)化為已知向量組的關(guān)系式來確定K1,K2,?..,K.的取值關(guān)系，進(jìn)一步判定氣，a?，...，a。的線性相關(guān)例3.1.1判斷P能否由％，氣,氣，氣線性表示，若可以，給出線性表示式。其中P=(1,2,1,),a1=(1,1,1J,氣=(1,1,-1,-1，氣=(1,-1,1,-1，a4=(1,-1,-1，1。解：考慮a1,a2,a3,a4為系數(shù)列向量，P為常數(shù)列向量的非其次線性方程組'X+X+X+X=1,X、X2—X3—X4=2,<123X1—X2+X3—X4=1,X—X2—X3+X4=1.易求得D=-16,D=-20,D=-4,D=4,D=4.由克拉默法則，得到上述方程組的唯1234_D5X=2D1為X1=襯=4二寸="4D1X4D1X=—3=3D—4=寸二二-—4故P=5a+1a—1a—1-a41424344例3.1.3設(shè)向量組％，a】，，氣(s>2)線性相關(guān)，且P=a+a,P=a+a,?..,。=a+a，討論向量組P,P，?邛的線性相TOC\o"1-5"\h\z112223ss112s關(guān)性。證明設(shè)KP+KP+???+KP=0,即1122ssK(a+a)+K(a+a)+..?+K(a+a)=0,112223ss1亦即(%+K)%+(K1+K2)a2+..+(k1+K)a=0.由題設(shè)a1,a2<-.,as線性無關(guān)，可知必有K+K=0,K+K、=0,K1+K=0.方程組(3)的系數(shù)行列式為100■-01100■-01110…00011…00000…11為奇數(shù)時(shí)，D=2豐0,即可見，當(dāng)故向量組",^線性相關(guān)；當(dāng)s=1+(-g『s為奇數(shù),|0,s為偶數(shù).(3)中未知量K1,K2，???Ks必全為零，為偶數(shù)時(shí)，D=0,即存在不全為零的K2，..?Ks使(3)成立。所以向量組七3.L4設(shè)a3.L4設(shè)ai，a2,勺線性無關(guān)，試問常數(shù)m,k滿足什么條件時(shí)，向量組一a,ma—a,2132"勺線性無關(guān)？線性相關(guān)?解：設(shè)+X(ma—a)+X(a—a)=0,231313(k+k)a+1(k+k)a+?.?+(k+k)a=0—X(k+k)a+1因氣，0^,a3線性無關(guān),故＜kX—X=°,2因氣，0^,a3線性無關(guān),故＜kX—X=°,2mX—X=0.3其系數(shù)行列式D=km—1.(1)當(dāng)km-1。0即km。1時(shí),以上方程有非零解。所以Xi=X2=X3=0,故ka—a,(2)當(dāng)km—ma—a,1=0,即a1—a3線性無關(guān).km=1時(shí)，以上方程有非零解，所以ka—a,ma—a,氣―a線性相關(guān).例3.1.5設(shè)a...a線性相關(guān)，若a，…，a,a線性相關(guān)，則a可用1r1rr+1r+1證明由ar+i線性相關(guān),故存在一組不全為零的數(shù)『匕1使得ka+???+ka+ka=011rrr+1r+1則（4）式中kr+1。0,否則若kr+1=0，則必有…%不全為零，有（4）有a，?氣線性相關(guān)，矛盾。故kr+1。0,從而a=_】％a—..._%a，命題得證.r+1k1krTOC\o"1-5"\h\zr+1r+1例3,17設(shè)P=2a—a，P=a+a，P=—a+3a?試證P，。，。線性表示.112212312123證明：顯然向量組P，P，P可由a，a線性表示，且前組所含向量的個(gè)數(shù)3大于后組所12312含向量的個(gè)數(shù)2做%服%線性相關(guān).例3.1.8試求：任意m個(gè)n維向量組氣，氣，…，a^，當(dāng)m>n時(shí)，是線性相關(guān)的。證明：因?yàn)槿我鈔維向量a=（a，a，,a）可由n維基本向量組￡，￡，,，￡線性表12n12n示.a=a￡+a￡+???+a￡，1122nn故任意m個(gè)n維向量組a，a，,a可由向量組￡，￡，,，￡線性表示，且m>n.故12m12na1，a2，?..am線性相關(guān).3.1.9設(shè)七是一個(gè)任意的4為向量，a=(2,21，0，0)，a=(4,31，4，0)，a=(1，40，2，0），若向量組p，p，p，p可由向量組a1234，a，a，a線性表示，試證明向量組1234性相關(guān).證明:P，P可由向量組a，a，a，34123a線性表示，試證明向量組P，P，&，&線41234顯然a=a+2a，故a，a，32423a線性相關(guān)，于是a，a，a，a線性相關(guān)，4123