線性代數(shù)教學改革課件

線性代數(shù)

教學改革

李尚志教授中國科學技術(shù)大學數(shù)學系線性代數(shù)

教學改革1空間為體,矩陣為用研究對象----幾何：線性空間(向量)研究工具----代數(shù)：矩陣運算向量(問題)--modeling矩陣語言描述矩陣運算解決向量(解答)與微積分的關(guān)系:

非線性--微積分

線性--線性代數(shù)空間為體,矩陣為用研究對象----幾何：線性空間(向量)2

抽象=?抽象=難得糊涂:忽略差別,提取共同點抽象=?抽象=難得糊涂:3從問題出發(fā)

以解決問題為線索

展開教學內(nèi)容從問題出發(fā)

以解決問題為線索

展開教學內(nèi)容4例:怎樣建立向量的坐標有方向和大小的量坐標化n數(shù)組向量與坐標運算的對應:

依賴于加法與數(shù)乘的運算律(8條公理)不直接依賴于平行四邊形法則基：坐標的唯一性—線性無關(guān),存在性—極大無關(guān)組向量---坐標:同構(gòu)坐標變換---數(shù)組空間中的坐標變換例:怎樣建立向量的坐標有方向和大小的量坐標化n數(shù)5例:解線性方程組方程(向量)-----系數(shù)組(坐標)互為線性組合(初等變換)同解變形(高斯消去法)只用到四則運算--數(shù)域的概念關(guān)于方程個數(shù)的討論:例:解線性方程組方程(向量)-----系數(shù)組(坐標)6方程個數(shù)有真假

—線性無關(guān)與線性相關(guān)

幾個方程?4個?

為何只剩2個?有假!--某方程是其余的線性組合--線性相關(guān)打假到底極大無關(guān)組貨真價實(秩)2個方程個數(shù)有真假

—線性無關(guān)與線性相關(guān)7秩(方程的真正個數(shù))的唯一性證明只依賴于運算律將方程換成任意向量

秩(方程的真正個數(shù))的唯一性8行列式的性質(zhì)det(u,v+w)=det(u,w)+det(u,w)det(u,v)=det(u,v+au)行列式的性質(zhì)det(u,v+w)=det(u,v)=det9幾何變換(x,y)(x’,y’)x’=f1(x,y),y’=f2(x,y)曲線C:x=x(t),y=y(t)

曲線C’:x=f1(x(t),y(t)),y=f2(x(t),y(t))幾何變換(x,y)(x’,y’)10線性變換x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y.由矩陣決定

畫圖觀察:直線,平行,垂直,長度,角度,圓?

線性變換x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y.11

旋轉(zhuǎn):2022/12/2

旋轉(zhuǎn):2022/12/112

2022/12/2

2022/12/113

向量方向的變化特征向量2022/12/2

向量方向的變化2022/12/114選取特征向量為基

---矩陣的對角化2022/12/2選取特征向量為基

---矩陣的對角化2022/15射影變換x’=x/(x-1),

y’=y/(x-1).

直線、相交、平行

？相交于x=1

的直線？圓(與x=1相離、切、交)

?射影變換x’=x/(x-1),16相交直線變成平行直線

相交直線變成平行直線

17圓變成圓錐曲線圓變成圓錐曲線18

謝謝！

謝謝！19

線性代數(shù)

教學改革

李尚志教授中國科學技術(shù)大學數(shù)學系線性代數(shù)

教學改革20空間為體,矩陣為用研究對象----幾何：線性空間(向量)研究工具----代數(shù)：矩陣運算向量(問題)--modeling矩陣語言描述矩陣運算解決向量(解答)與微積分的關(guān)系:

非線性--微積分

線性--線性代數(shù)空間為體,矩陣為用研究對象----幾何：線性空間(向量)21

抽象=?抽象=難得糊涂:忽略差別,提取共同點抽象=?抽象=難得糊涂:22從問題出發(fā)

以解決問題為線索

展開教學內(nèi)容從問題出發(fā)

以解決問題為線索

展開教學內(nèi)容23例:怎樣建立向量的坐標有方向和大小的量坐標化n數(shù)組向量與坐標運算的對應:

依賴于加法與數(shù)乘的運算律(8條公理)不直接依賴于平行四邊形法則基：坐標的唯一性—線性無關(guān),存在性—極大無關(guān)組向量---坐標:同構(gòu)坐標變換---數(shù)組空間中的坐標變換例:怎樣建立向量的坐標有方向和大小的量坐標化n數(shù)24例:解線性方程組方程(向量)-----系數(shù)組(坐標)互為線性組合(初等變換)同解變形(高斯消去法)只用到四則運算--數(shù)域的概念關(guān)于方程個數(shù)的討論:例:解線性方程組方程(向量)-----系數(shù)組(坐標)25方程個數(shù)有真假

—線性無關(guān)與線性相關(guān)

幾個方程?4個?

為何只剩2個?有假!--某方程是其余的線性組合--線性相關(guān)打假到底極大無關(guān)組貨真價實(秩)2個方程個數(shù)有真假

—線性無關(guān)與線性相關(guān)26秩(方程的真正個數(shù))的唯一性證明只依賴于運算律將方程換成任意向量

秩(方程的真正個數(shù))的唯一性27行列式的性質(zhì)det(u,v+w)=det(u,w)+det(u,w)det(u,v)=det(u,v+au)行列式的性質(zhì)det(u,v+w)=det(u,v)=det28幾何變換(x,y)(x’,y’)x’=f1(x,y),y’=f2(x,y)曲線C:x=x(t),y=y(t)

曲線C’:x=f1(x(t),y(t)),y=f2(x(t),y(t))幾何變換(x,y)(x’,y’)29線性變換x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y.由矩陣決定

畫圖觀察:直線,平行,垂直,長度,角度,圓?

線性變換x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y.30

旋轉(zhuǎn):2022/12/2

旋轉(zhuǎn):2022/12/131

2022/12/2

2022/12/132

向量方向的變化特征向量2022/12/2

向量方向的變化2022/12/133選取特征向量為基

---矩陣的對角化2022/12/2選取特征向量為基

---矩陣的對角化2022/34射影變換x’=x/(x-1),

y’=