教學(xué)設(shè)計(jì)完整版：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)導(dǎo)入新課教師出示投影膠片1：印度泰姬陵(TajMahal)是世界七大建筑奇跡之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的經(jīng)典之作，這個(gè)古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑風(fēng)格，是印度伊斯蘭教文化的象征.陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕.傳說(shuō)當(dāng)時(shí)陵寢中有一個(gè)等邊三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層(如下圖)，奢華之程度，可見(jiàn)一斑.你知道這個(gè)圖案中一共有多少顆寶石嗎？(這問(wèn)題賦予了課堂人文歷史的氣息，縮短了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的距離，引領(lǐng)學(xué)生步入探討高斯算法的階段)生只要計(jì)算出1+2+3+…+100的結(jié)果就是這些寶石的總數(shù).師對(duì)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求這100個(gè)數(shù)的和.怎樣求這100個(gè)數(shù)的和呢？這里還有一段故事.教師出示投影膠片2：高斯是偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，高斯十歲時(shí)，有一次老師出了一道題目，老師說(shuō)：“現(xiàn)在給大家出道題目：1+2+…100=?”過(guò)了兩分鐘，正當(dāng)大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂(lè)乎時(shí)，高斯站起來(lái)回答說(shuō)：“1+2+3+…+100=5050.”教師問(wèn)：“你是如何算出答案的？”高斯回答說(shuō)：因?yàn)?+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5050.師這個(gè)故事告訴我們什么信息？高斯是采用了什么方法來(lái)巧妙地計(jì)算出來(lái)的呢？生高斯用的是首尾配對(duì)相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50個(gè)101，所以1+2+3+…+100=50×101=5050.師對(duì)，高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組，第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組，第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組，第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組，…，每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個(gè)101就等于5050了.高斯算法將加法問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果.作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀(guān)察，敢于思考，所以他能從一些簡(jiǎn)單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西.師問(wèn)：數(shù)列1，2，3，…，100是什么數(shù)列？而求這一百個(gè)數(shù)的和1+2+3+…+100相當(dāng)于什么？生這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，1+2+3+…+100這個(gè)式子實(shí)質(zhì)上是求這數(shù)列的前100項(xiàng)的和.師對(duì)，這節(jié)課我們就來(lái)研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和的問(wèn)題.推進(jìn)新課［合作探究］師我們?cè)倩氐角懊娴挠《忍┘Я甑牧陮嬛械牡冗吶切螆D案中，在圖中我們?nèi)∠碌?層到第21層，得到右圖，則圖中第1層到第21層一共有多少顆寶石呢?生這是求“1+2+3+…+21”奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的和的問(wèn)題，高斯的方法不能用了.要是偶數(shù)項(xiàng)的數(shù)求和就好首尾配成對(duì)了.師高斯的這種“首尾配對(duì)”的算法還得分奇、偶個(gè)項(xiàng)的情況求和，適用于偶數(shù)個(gè)項(xiàng)，我們是否有簡(jiǎn)單的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢?生有!我用幾何的方法，將這個(gè)全等三角形倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形.平行四邊形中的每行寶石的個(gè)數(shù)均為22個(gè)，共21行.則三角形中的寶石個(gè)數(shù)就是.師妙得很!這種方法不需分奇、偶個(gè)項(xiàng)的情況就可以求和，真是太好了!我將他的幾何法寫(xiě)成式子就是：1+2+3+…+21，21+20+19+…+1，對(duì)齊相加(其中下第二行的式子與第一行的式子恰好是倒序)這實(shí)質(zhì)上就是我們數(shù)學(xué)中一種求和的重要方法——“倒序相加法”.現(xiàn)在我將求和問(wèn)題一般化：(1)求1到n的正整數(shù)之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：這問(wèn)題在前面思路的引導(dǎo)下可由學(xué)生輕松解決)(2)如何求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn?生1對(duì)于問(wèn)題(2)，我這樣來(lái)求：因?yàn)镾n=a1+a2+a3+…+an，Sn=an+an-1+…+a2+a1，再將兩式相加，因?yàn)橛械炔顢?shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì)：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，所以.(Ⅰ)生2對(duì)于問(wèn)題(2)，我是這樣來(lái)求的：因?yàn)镾n=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+［a1+(n-1)×d］，所以Sn=na1+［1+2+3+…+(n-1)］d=na1+d,即Sn=na1+d.(Ⅱ)［教師精講］兩位同學(xué)的推導(dǎo)過(guò)程都很精彩，一位同學(xué)是用“倒序相加法”，后一位同學(xué)用的是基本量來(lái)轉(zhuǎn)化為用我們前面求得的結(jié)論，并且我們得到了等差數(shù)列前n項(xiàng)求和的兩種不同的公式.這兩種求和公式都很重要,都稱(chēng)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類(lèi)比，這里的上底是等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，下底是第n項(xiàng)an，高是項(xiàng)數(shù)n,有利于我們的記憶.［方法引導(dǎo)］師如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)為n，第n項(xiàng)為an，則求這數(shù)列的前n項(xiàng)和用公式(Ⅰ)來(lái)進(jìn)行，若已知首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)為n，公差d，則求這數(shù)列的前n項(xiàng)和用公式(Ⅱ)來(lái)進(jìn)行.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個(gè)量？生每個(gè)公式中都是5個(gè)量.師如果我們用方程思想去看這兩個(gè)求和公式，你會(huì)有何種想法?生已知其中的三個(gè)變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個(gè)變量(知三求二).師當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可表示為n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，且這二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)的2倍就是公差.［知識(shí)應(yīng)用］(直接代公式)計(jì)算：(1)1+2+3+…+n；(2)1+3+5+…+(2n-1)；(3)2+4+6+…+2n；(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.(讓學(xué)生迅速熟悉公式，即用基本量觀(guān)點(diǎn)認(rèn)識(shí)公式)請(qǐng)同學(xué)們先完成(1)～(3)，并請(qǐng)一位同學(xué)回答.生(1)1+2+3+…+n=；(2)1+3+5+…+(2n-1)==n2；(3)2+4+6+…+2n==n(n+1).師第(4)小題數(shù)列共有幾項(xiàng)？是否為等差數(shù)列？能否直接運(yùn)用Sn公式求解？若不能，那應(yīng)如何解答？(小組討論后，讓學(xué)生發(fā)言解答)生(4)中的數(shù)列共有2n項(xiàng)，不是等差數(shù)列，但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分開(kāi)，可看成兩個(gè)等差數(shù)列，所以原式=[1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.生上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個(gè)規(guī)律，兩項(xiàng)結(jié)合都為-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.師很好！在解題時(shí)我們應(yīng)仔細(xì)觀(guān)察，尋找規(guī)律，往往會(huì)尋找到好的方法.注意在運(yùn)用求和公式時(shí)，要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，否則會(huì)引起錯(cuò)解.課堂練習(xí)等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項(xiàng)的和是54？(學(xué)生板演)解：設(shè)題中的等差數(shù)列為{an}，前n項(xiàng)和為Sn,則a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,由公式可得-10n+×4=54.解之,得n1=9,n2=-3(舍去).所以等差數(shù)列-10，-6，-2，2…前9項(xiàng)的和是54.(教師對(duì)學(xué)生的解答給出評(píng)價(jià))課堂小結(jié)師同學(xué)們，本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容?生①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1：,②等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2：.師通過(guò)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們從中體會(huì)到哪些數(shù)學(xué)的思想方法?生①通過(guò)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)我們了解了數(shù)學(xué)中一種求和的重要方法——“倒序相加法”.②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三個(gè)變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個(gè)變量.師本節(jié)課我們通過(guò)探究還得到了等差數(shù)列的性